材料力学弯曲变形思维导图

1、剪力的正负号规定：

判断方法：(两种方法)

? 左上右下为正

? 使研究对象顺时针转动为正

具体计算时：(黑色表示外力，蓝色表示内力)

F?FFS

FS?FFS

FFS 2、弯矩的正负号规定：

判断方法：(两种方法)

? 左顺右逆为正 ? 上凹下凸为正

具体计算时：（黑色表示外力，红色表示内力）

m受拉 MMm受拉 正： 负：

mM受拉 M受拉 m直接求解剪力和弯矩的法则：

1、 任意截面上的剪力=??一侧横向力代数值? 横向力：包含载荷、约束力、分布力、集中力 代数值：左上右下为正，反之为负

2、 任意截面上的弯矩=??一侧外力对截面形心之矩的代数值? 外力：包含载荷、约束力、分布力、集中力、集中力偶 代数值：左顺右逆为正，反之为负 截面形心：所求截面的截面形心

绘制剪力弯矩图的方法(从左往右绘制)： 载荷 剪力图 水平线 斜直线 斜直线 弯矩图 斜直线 抛物线 抛物线 q?0q?0q?0 q?0 F S ? 0 处，为极值点 M (不一定为最值) 极值剪力图突变，突变方向与力方向一致，并且 突变高度=集中力大小 集中力作用处 转折 弯矩图突变，顺时针为正，逆时针为负， 突变高度=集中力偶大

弯 曲 变 形 答 案

一、概念题

1. D。 2. B。 3. D。 4. A。 5. C。 6. D。 7. C。 8. B。 9. D。 10. B。 11. A。 12.C。 13.C。

3Fl315ql415ql414. 。15.（C）。16. 8。17. 4。18. ?；?。19. 增加了横截面对中

256EI2384EI2384EI性轴的惯性矩。20.x?0,vA?0;x?l,vB?二、计算题 1.解：M(x1)??ql。 2Kqlllqll(??x1)??(3l?4x1)，（0?x1?） 24282M(x2)??q(l?x2)?(l?x2)lq??(l?x2)2，（?x2?l）

222EIv(x1)???ql(3l?4x1)dx1dx1?C1x1?D， 81qEIv(x2)???(l?x2)2dx2dx2?C2x2?D2,

2l边界条件：x1?0,v1?0,?1?0;x1??x2,v1?v2,?1??2，

241ql47ql3得：f??，???

384EI48EI2.解：

??y2??y?y1?y2?y1?y2qM????A?a??A?a?y2ql3mlMa2

??a??a?24EI3EI2EIqal2?(5l?6a)24EI

学习材料力学必备课件

作者：王吉民

2010年8月

学习材料力学必备课件

(Deflection of Beams)

梁的位移——挠度和转角 §6-1 梁的位移 挠度和转角 §6-2 挠曲线的微分方程 §6-3 用积分法求梁的位移 §6-4* 用奇异函数法求解梁的位移 §6-5 用叠加法求梁的位移 §6-6 梁内的弯曲应变能 §6-7 简单超静定梁 §6-8 梁的刚度条件与合理刚度设计

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(Deflection of Beams)

§6-1 梁的位移——挠度和转角 梁的位移——挠度和转角研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的： 对梁作刚度校核； 研究目的：①对梁作刚度校核； ②解超静定梁(变形几何条件提供补充方程); 解超静定梁(变形几何条件提供补充方程) ③施工中起拱。 施工中起拱。

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(Deflection of Beams)

弯曲变形的描述回顾： 拉压杆的变形： 回顾： 拉压杆的变形：伸长或缩短 ( l) )b

F

b1

F

l l1

圆轴扭转的变形： 圆轴扭转的变形：相对转动 (扭转

第六章

一、 是非判断题

弯曲变形

1． 梁的挠曲线近似微分方程为EIy’’=M（x）。 （√） 2． 梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面，转角为

零。 （×） 3． 两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受载荷相

同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。 （×） 4． 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的曲率最大值发生在转角等

于零的截面处。 （×） 5． 若梁上中间铰链处无集中力偶作用，则中间铰链左右两侧截面

的挠度相等，转角不等。 （√） 6． 简支梁的抗弯刚度EI相同，在梁中间受载荷F相同，当梁的跨

度增大一倍后，其最大挠度增加四倍。 （×） 7． 当一个梁同时受几个力作用时，某截面的挠度和转角就等于每

一个单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。 （√） 8．

4-1(4-1) 试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。 解：（a）

b）

c）

（ （

（d）

=

（e）

f）

（（g）

（h）

=

返回

4-2(4-2) 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解：（a）

（b）

时

时

（c）

时

时

（d）

（e）

时，

返回

4-7(4-15) 试作图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图。

返回

4-8(4-18) 圆弧形曲杆受力如图所示。已知曲杆轴线的半径为R，试写出任意横截面C上剪力、弯矩和轴力的表达式（表示成 角的函数），并作曲杆的剪力图、弯矩图和轴力图。

解：（a）

（b）

返回

4-9(4-19) 图示吊车梁，吊车的每个轮子对梁的作用力都是F，试问： （1）吊车在什么位置时，梁内的弯矩最大？最大弯矩等于多少？

（2）吊车在什么位置时，梁的支座反力最大？最大支反力和最大剪力各等于多少？

解：梁的弯矩最大值发生在某一集中荷载作用处。

，得：

当 时，

当M极大时： ，

则 ，故，

故 为梁内发生最大弯矩的截面

故：

=

返回

4-10(4-21) 长度

4-1(4-1) 试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。 解：（a）

b）

c）

（ （

（d）

=

（e）

f）

（（g）

（h）

=

返回

4-2(4-2) 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解：（a）

（b）

时

时

（c）

时

时

（d）

（e）

时，

时，

（f）AB段：

BC段：

（g）AB段内：

BC段内：

（h）AB段内：

返回

4-3(4-3) 试利用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。

BC段内：

CD段内：

返回

4-4(4-4) 试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。

返回

4-5(4-6) 已知简支梁的剪力图如图所示。试作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。 返回

4-6(4-7) 试根据图示简支梁的弯矩图作出梁的剪力图与荷载图。

返回

4-7(4-15) 试作图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图。

返回

4-8(4-18) 圆弧

第六章 弯曲变形

6．1 写出图示各梁的边界条件。

(a)

vA?0 vB?0 vA?0 vB?0

vA?0 vB??l vA?0 vB??c?

ql 2c6.4用积分法求图示各梁的挠曲线方程、端截面转角?A和?B、跨度中点的挠度和最大挠度。 设EI＝常量。

(a) 解：求出A、B处的约束反力为：RA?mm RB? llmx 以A点为坐标原点，则弯矩方程为：M(x)?l11m''M(x)?x 梁AB的挠曲线微分方程为：v?EIEIlm2'x?C 由积分法求梁的转角及挠度方程：??v?2EIlm3x?Cx?D v?6EIL

14

－－

ml D＝0 6EImm(x3?l2x);转角方程为:??(3x2?l2) 则梁AB的挠曲线方程为：v?6EIl6EIl梁的边界条件：vA?0、 vB?0，由此求出积分常数：C??mlmlml2x=0:?A??; x=l: ?B?

4-1(4-1) 试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。 解：（a）

b）

c）

（ （

（d）

=

（e）

f）

（（g）

（h）

=

返回

4-2(4-2) 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解：（a）

（b）

时

时

（c）

时

时

（d）

（e）

时，

时，

（f）AB段：

BC段：

（g）AB段内：

BC段内：

（h）AB段内：

返回

4-3(4-3) 试利用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。

BC段内：

CD段内：

返回

4-4(4-4) 试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。

返回

4-5(4-6) 已知简支梁的剪力图如图所示。试作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。 返回

4-6(4-7) 试根据图示简支梁的弯矩图作出梁的剪力图与荷载图。

返回

4-7(4-15) 试作图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图。

返回

4-8(4-18) 圆弧

弯曲内力

1. 长l的梁用绳向上吊起，如图所示。钢绳绑扎处离梁端部的距离为x。梁内由自重引起的最大弯矩|M|max为最小时的x值为： x(A) l/2； (B) l/6； (C) (2?1)l/2； (D) (2?1)l/2。

2. 多跨静定梁的两种受载情况如图(a)、(b)所示。下列结论中哪个是正确的？ (A) 两者的剪力图相同，弯矩图也相同； (B) 两者的剪力图相同，弯矩图不同； (C) 两者的剪力图不同，弯矩图相同； (D) 两者的剪力图不同，弯矩图也不同。 3. 图示(a)、(b)两根梁，它们的 (A) 剪力图、弯矩图都相同； (B) 剪力图相同，弯矩图不同； (C) 剪力图不同，弯矩图相同； (D) 剪力图、弯矩图都不同。

aa(a)aaa(b)aqa2xlMel(a)alMea(b)qqqa24. 图示梁，当力偶Me的位置改变时，有下列结论： (A) 剪力图、弯矩图都改变； (B) 剪力图不变，只弯矩图改变； (C) 弯矩图不变，只剪力图改变； (D) 剪力图、弯矩图都不变。

qFqMeaaaMeBl/25. 图示梁C截面弯矩MC = ；为使MC =0，则Me= ；

弯曲应力

1. 圆形截面简支梁A、B套成，A、B层间不计摩擦，材料的弹性模量EB?2EA。求在外力偶矩Me作用下，A、B中最大

MeMe2ddlBA?Amax有4个答案： ?Bmin1111(A)； (B)； (C)； (D)。

64108正应力的比值答：B

2. 矩形截面纯弯梁，材料的抗拉弹性模量Et大于材料的抗压弹性模量Ec，则正应力在截面上的分布图有以下4种答案：

M(A)(B)(C)(D)答：C

3. 将厚度为2 mm的钢板尺与一曲面密实接触，已知测得钢

1尺点A处的应变为?，则该曲面在点A处的曲率半径

1000为 mm。 答：999 mm

4. 边长为a的正方形截面梁，按图示两种不同形式放置，在相同弯矩作用下，两者最大

(?)正应力之比maxa? 。

(?max)b答：1/2

2 mmA?Oaaz(a)(b)yth/2tzh/2tbz5. 一工字截面梁，截面尺寸如图，h?b, b?10t。试证明，此梁上,下翼缘承担的弯矩约为截面上总弯矩的88%。

BMy2MMt4, M1??y(ybdy)?1 820?证：?? IzIz?A3IzM1t41?1 820???88% Iz?6