正规子群的直积

世 课程：姓名： 学号： 专业：

代 数》论文

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《近 《近世代数》

全特征子群，特征子群，正规子群的关系

内容：1）引入群的定理

2）表述其关系 3）证明并且举例

4）总结

摘 要： 本论文通过对近世代数的一些基本定理及相关性质的阐述，如：全

特征子群，特征子群，正规子群等等。从而推导出全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。本文的结构是先从相关的定理及相关性质着手，然后根据定理及相关性质来推导全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。本文先从全特征子群开始研究，依次为特征子群，正规子群。经过本文对全特征字群，特征子群，正规子群的研究，我发现了其规律：全特征子群包含与特征子群，特征子群包含于正规子群;全特征子群特征子群 正规子群。

一、有关群的定理

定理1 设H是群G的一个子群，如果H对G的每个自同态映射都不变，既对每个自同态映射θ都有

θ（H）∈H， 则称H为群G的一个全特征子群。

定理2 设H是群G的一个子群，a∈G。则称群G的子集aH=｛ax|x∈H｝为群H关于子群H的一个左陪

群的直积（Direct Product of Group）

群的直积是群论中的重要概念，也是研究群的重要手段之一，利用群的直积可以从已知的群构出新的群，可以用小群构造大群，也可以将一个群用它的子群来表示，这一节介绍子群的直积及其基本性质。

定义1 设G1,G2是群，G?{(a1,a2)|a1?G1,a2?G2)为集合G1与G2为的卡氏积（Cartesian product）,在G中定义乘法运算

(a1,a2)?(b1,b2)?(a1b1,a2b2),(a1,a2),(b1,b2)?G。

则G关于上述定义的乘法构成群，称为群G1与G2的外直积（external direct product），记作G?G1?G2，G1、G2称为G的直积因子(factor of the direct product)。

当G1、G2是加群时，G1与G2的外直积也可记作G1?G2。 定理1 设G?G1?G2是群G1与G2的外直积，则 （1）

G是有限群的充分必要条件是G1与G2都是有限群，并且，当G是有限群时，??有|G|?|G1||G2|；

（2） （3） （4）

G是交换群的充分必要条件是G1与G2都是交换群。 G1?G2?G2?G1；

若令A1?{(a1,e2

矢量的直积——并矢

矢量的直积是矢量之间最简单的一种乘法运算，其结果是张量，所以也叫做矢量的张量积，俗称并矢。举例说明如下：

设三维白线性空间中的任意两个矢量的线性表出分别为

与

则两个矢量的直积就是一个并矢，属于二阶张量的一种，可记为

注意：并矢的先后次序一般不可交换。即

并矢既不是点积，也不是叉积，而是矢量的直积或直乘。因为其结果已经超出了原来的矢量空间，所以属于外积的一种。所谓直积运算就是一个矢量的所有线性组合项遍乘另一个矢量的所有线性组合项，类似于多项式乘法。如上例即

可见三维空间中的一个二阶张量共有9个分量。本例的基矢都是自然基矢（协变基矢），分量都是逆变分量，所以这个张量属于一个二阶逆变张量。

如果用爱因斯坦求和约定，上述并矢（二阶张量）还可以简洁地表示为

注意：两对哑标相乘时必须区别开。

其中基矢的并矢 叫做基张量，本例中的基张量是两个基矢的并矢，所以属于二阶基张

叫做张量的分量。对于两个n维矢量的并矢，有时也用完整

量。基张量对应的线性组合系数的一组

个分量表示其运算结果（一个二阶张量），即

矢量的直积运算还可以采用分量矩阵形式表示。如上例可表示为

一组9个基张量也可以用矩阵表示为

矢量的直积运算可以推广到多个矢量的并矢，即高阶张

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积家手表更换电池,说到更换电池,就肯定是石英表,更换电池应该注意些什么呢?石英手表和机械手表的内部构成不同,远没有机械表复杂,所以,石英手表更换电池是可以自己换的,但是机械表就不同,因为机械表不用跟换电池,机械表都是上弦或者是现在的自动上弦手表,这也是因为机械手表和石英手表走时所用的动能不同.

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因为石英表的机芯如果损坏维修起来更为复杂,因为石英表机芯很难维修,但是如果是正常使用基本是不会出现问题的,这个倒是不用特别担心.所以,如果有时间,可以

分类号：X169 U D C：D10621-408-(2011)0261-0 密 级：公 开 编 号：2007042029

XXX 学位论文

PSO-PPR颗粒物源解析技术研究

论文作者姓名： 申请学位专业： 申请学位类别： 指导教师姓名（职称）： 论文提交日期：

XXX 环境工程 工科学士 XXX（副教授） 2011年06月 日

PSO-PPR颗粒物源解析技术研究

摘 要

针对投影寻踪回归法（PPR）在实现大气颗粒物源解析过程中中需要调整的参数较多、程序编辑工作量大的问题，应用粒子群算法（PSO）将PPR模型的参数优化，得到各污染源对大气颗粒物的优化贡献率。这种新方法应用于成都市大气颗粒物的源解析结果与其他多种源解析法得出的结果基本一致，理论分析和应用实践表明该方法应用于大气颗粒物源解析研究具有可行性并且具有方便、准确和实用性强等特点。

关键词：大气颗粒物；源解析；投影寻踪回归；粒子群算法

Technology Research of Projection Pursuit Regression Source Apportionment of Atmosp

%------------------------------------------------ %-----------------------------初始格式化-------- clear all； clc；

format long；

%----------给定初始化条件------------ c1=1.4962； %学习因子1 c2=1.4962； %学习因子2 w=0.7298； % 惯性权重 MaxDT=1000； %最大迭代次数

D=10； %搜索空间维数（未知数个数） N=30； %初始化群体个体数目

eps=10^（-6）；%设置精度（在已知最小值时候用）

%------初始化种群的个体（可以在这里限定位置和速度的范围）----- for i=1：N for j=1：D

x（i，j）=random；%随机初始化位置 v（i，j）=random；%随机初始化速度 end end

%---------------先计算各个粒子的适应度，并初始化Pi和Pg---- for i=1：N

p（i）=fitness（x（i，：），D）； y（i，：）=x（i，：）； en

子群乘积集阶的算法

一、阶的定义

1、设G使一个群。由于G对乘法满足结合律，因此由第一章可知，在G中任意取定n个元素a1,a2,a3,?,an 后，不管怎样加括号，其结果都是相等的，所以

a1,a2,a3,?,an

总有意义，它是G中一个确定的元素。

下面我们对群中元素引入指数的概念。

任取a∈G，n是一个正整数，规定

a =e，a =a1,a2,a3,?,an a =(a ) =a1,a2,a3,?,an .

由此不难推出通常熟知的指数运算规则在群中也成立：

a a =a , (a ) =a ,

其中m,n为任意整数。

定义1 设a为群G 的一个元素，使 a =e

的最小正整数n，叫做元素a的阶。

如果这样的n不存在，则称a 的阶为无限。

元素a的阶常用A表示。

二、陪集的定义

定义 1 设H是群G的一个子集，a∈G。则称G的子集

aH=｛ax︱x∈H｝

为群G关于子群H的一个左陪集.而称

Ha=｛ax︱x∈H｝

为群G关于群H的一个左陪集.

由此可知，不管是左陪集或右陪集，它们都是群的一种特殊的子集。也就是这种特殊的子集在群的讨论中占着很重要的地位。

例如，H=｛(1),(12)｝是三次对称群S

太原理工大学硕士研究生学位论文

混沌布尔粒子群算法的研究

摘 要

智能进化算法，即人们通过从不同角度模拟生物系统而开发的有助于推动现代科技发展的新兴学科。现阶段天线设计的方法已经不同于原有的单一设计方法，目前的主要趋势是利用智能进化算法对天线进行自动优化设计。粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)作为一种群体智能优化算法的典型模式，通过模拟鸟群和鱼群群体运动行为模式进行搜索，具有结构简单，强鲁棒性，收敛速度快、实现方便等特点，近年来得到了迅速发展，在电路设计、函数优化、动态问题求解和神经网络训练等领域都有着广泛应用。

光子晶体(Photonic Crystals or Photonic Bandgap，PBG)是一种有光学领域所提出的，由介质或者金属材料进行周期性排列的结构，属于介电材料的一种，并且具有频率带隙的特性。自20世纪80年代末提出概念以来受到了广泛关注。光子晶体最主要的特性是光子禁带，大多数光子晶体的应用都是基于禁带效应，因此设计具有尽可能大的禁带的光子晶体具有重要的意义。光子晶体的概念起初是由光学领域的研究提出来的，由于光波也属于电磁波谱，与微波频段的波一起遵从Maxwell方程，所以光子晶

资本公积金是企业的一种准资本.它可供企业无偿、无限期地运用。主要包括接受捐赠资产、法定资产重估增值、资本溢价、资本折算差额等。

盈余公积金分为法定盈余公积、任意盈余公积和公益金。法定盈余公积是按税后利润扣除国家允许扣除因素之后的10%计算。任何一个企业必须提取。任意盈余公积可以根据企业需要决定是否提取和提取比率，如果提取一般应该指定用途。公益金也是从税后利润中按国家或企业规定的比例提取，用途是为职工兴办集体福利，如购建职工住宅、俱乐部等。

资本公积:资本公积是指由股东投入、但不能构成“股本”或“实收资本”的资金部分，主要包括股本溢价、接受捐赠实物资产、投入资本汇兑损益、法定财产重估增值以及投资准备金等。资本公积的主要用途有两个，—是转赠资本，二是弥补亏损。

比如:公司在工商登记的注册资本为100万元，但股东实际投入到企业的资金为120万元，其中的100万元，就为实收资本，多出的20万元就为盗本公积。

盈余公积:盈余公积是指公司按照规定从净利润中提取的各种积累资金。盈余公积是根据其用途不同分为公益金和一股盈余公积两类。公益金专门用于公司职工福利设施的支出。按现行规定，上市公司按照税后利润的5%至10%的比例提取法定公益金。

一般盈余公积分为两种:一是法定

太原理工大学硕士研究生学位论文

混沌布尔粒子群算法的研究

摘 要

智能进化算法，即人们通过从不同角度模拟生物系统而开发的有助于推动现代科技发展的新兴学科。现阶段天线设计的方法已经不同于原有的单一设计方法，目前的主要趋势是利用智能进化算法对天线进行自动优化设计。粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)作为一种群体智能优化算法的典型模式，通过模拟鸟群和鱼群群体运动行为模式进行搜索，具有结构简单，强鲁棒性，收敛速度快、实现方便等特点，近年来得到了迅速发展，在电路设计、函数优化、动态问题求解和神经网络训练等领域都有着广泛应用。

光子晶体(Photonic Crystals or Photonic Bandgap，PBG)是一种有光学领域所提出的，由介质或者金属材料进行周期性排列的结构，属于介电材料的一种，并且具有频率带隙的特性。自20世纪80年代末提出概念以来受到了广泛关注。光子晶体最主要的特性是光子禁带，大多数光子晶体的应用都是基于禁带效应，因此设计具有尽可能大的禁带的光子晶体具有重要的意义。光子晶体的概念起初是由光学领域的研究提出来的，由于光波也属于电磁波谱，与微波频段的波一起遵从Maxwell方程，所以光子晶