琴生不等式证明

第四章 微积分中值定理与证明 4.1 微分中值定理与证明

一 基本结论

1．零点定理：若f(x)在[a,b]连续，f(a)f(b)?0，则???(a,b)，使得f(?)?0． 2．最值定理：若f(x)在[a,b]连续，则存在x1,x2使得f(x1)?m,f(x2)?M．其中

m,M分别是f(x)在[a,b]的最小值和最大值．

3．介值定理：设f(x)在[a,b]的最小值和最大值分别是m,M，对于?c?[m,M]， 都存在???[a,b]使得f(?)?c．（或者：对于?c?(m,M)，都存在???(a,b)使得

f(?)?c）

4．费玛定理：如果x0是极值点，且f(x)在x0可导， 则 f?(x0)?0．

5．罗尔定理：f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，f(a)?f(b)，则???(a,b)使得

f?(?)?0．

6．拉格朗日定理：f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，，则???(a,b)使得

f(b)?f(a)?(b?a)f?(?)．

) 7．柯西定理：f(x)，g(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且g?(x)?0，则???(a,b使得

f(b)?f(a)f?(?)?．

g(b)?g(a)g?(?)8．泰勒公

则称为琴生不等式加权形式为:

(凸函数);

(凹函数).

其中 ai≥0(i=1,2,……,n),且凸函数的概念：

【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有

，那么f(x)为凸函数。 同样，如果不等式中等号只有

时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数 琴生不等式说，

对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≥f((x1+x2+...+xn)/n)

对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≤f((x1+x2+...+xn)/n)

如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有x1=x2=...=xn才成立

2证

如今我们看看如何证明琴生不等式，下面只对凸函数加以证明。 首先我们对n是2的幂加以证明，用数学归纳法 假设对于

琴生不等式成立，那么对于

(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n

=((f(x1)+f(x2)+...+f(x(n/2)))/(n/2)+(f(x(n/2+1))+...+f(xn))/(n/2))/2 ≥(f

第1篇：不等式证明,均值不等式

1、设a,b?R，求证：ab?(ab)?aba?b2?abba

2、已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)＞6abc

3、(a?b?c)(1119??)? a?bb?cc?a

24、设a,b?R?，且a?b?1，求证：(a?)?(b?)?

5、若a?b?1，求证：asinx?bcosx?

16、已知a?b?1，求证：a?b?

7、a,b,c,d?R求证：1＜?441a21b225 2221 8abcd+++＜2 a?b?db?c?ac?d?bd?a?c

111

18、求证2?2?2???2＜2 123n

1111????＜1

9、求证：?2n?1n?22n

10、求下列函数的最值

（1） 已知x＞0，求y?2?x?

（2） 已知x＞2，求y?x?4的最大值（-2） x1的最小值（4） x?

2111（3） 已知0＜x＜，求y?x(1?2x)的最大值（） 2216

11、若正数a,b满足ab?(a?b)?1则a?b的最小值是（）

（2?2333）

12、已知正数a,b求使不等式(a?b)?k(a?b)成立的最小k值为（）（4）

1

3、求函数y?

14、二次函数f(x)?x?ax?x?a的两根x1,x2

凸函数和琴生不等式

1..(02成都模拟试题)若函数y?sinx在区间(0,?)上是凸函数，那么在?ABC中，sinA?sinB?sinC的最大值为A

32313 B C D

2222分析：

?y?sinx在(0,?)上是凹函数，则：1A?B?C3(sinA?sinB?sinC)?sin()?sin60??33233sinA?sinB?sinC?2当且仅当sinA?sinB?sinC时，即A?B?C??3时，取等号；2.若a1,a2,?an是一组实数，且a1?a2???an?k(k为定值)，试求：a1?a2???an的最小值分析：?f(x)?x2在(??,??)上是凸函数a1?a2???an2k21222?(a1?a2???an)?()?2nnnk2222?a1?a2???an?n当且仅当a1?a2???an时，取等号2223.已知xi?0,(i?1,2,?,n)，n?2,x1?x2???xn?1，求证：(1?1n11)?(1?)n???(1?)n?n(n?1)nx1x2xn1111111证：?[(1?)n?(1?)n???(1?)n]?n(1?)n(1?)n?(1?)nnx1x2xnx1x

自己原创的。

河南开封市高级中学jason_1108@

利用排序不等式证明AM-GM不等式AM-GM不等式若a1,a2, ,an>0，则

a1+a2+ +an≥n

等号当且仅当a1=a2= =an时成立a1a2 an

证明：令G=a1a2 an，则原不等式等价于

a1+a2+ +an≥nG

构造数列

A=

B= aaaaa a,, ,2GGGnGG2Gn,, ,a1a1a2a1a2 an

显然，两组数列中的元素有着一一对应的关系，即A中第K大的元素在B中所对应的元素是第K小的元素。所以，A、B两组数列中的元素对应相乘再相加所得结果是两组数列的反序和，即为n。

另一方面，A、B两组数列错位相乘为两组数列的乱序和，即乱序和是a1+a2+ +an。G

由排序不等式，乱序和大于等于逆序和，即

a1+a2+ +an≥nG

原不等式得证。

高中数学几个重要不等式的证明。

四、排序不等式

【】

（一）概念9： 设有两组实数

a1，a2， ，an （1） b1，b2， ，bn （2） 满足

a1 a2 an （3） b1 b2 bn （4） 另设

,cn （5） c1，c2，是实数组（2）的一个排列，记

逆序积和S a1bn a2bn 1 anb1 乱序积和S' a1c1 a2c2 ancn 似序积和S'' a1b1 a2b2 anbn 那么

S S' S'' 且等式成立当且仅当 a1 a2 an

或者

b1 b2 bn

证明【9】：

1，预备知识

引理1（Abel变换） 设（1）（2）为任意两组有序的实数组，令

k

B0 0，Bk 那么

n

b,

i

i 1

n 1

akbk anBn (ak 1 ak)Bk

k 1

k 1

事实上：

n

n

akbk

k 1

a

k 1n 1

k

(Bk Bk 1) an(Bn Bn 1) an 1(Bn 1 Bn 2) a1B1

安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文

不等式证明的若干方法

作者：金克川 指导老师：杨翠

摘要 无论在初等数学还是高等数学中,不等式都是十分重要的内容.而不等式的证明则是不等式知识的

重要组成部分.在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法.在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等.在高等数学不等式的证明中经常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫尔德不等式等等.从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步的探讨和研究不等式的证明. 通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯.

关键词 不等式 比较法 数学归纳法 函数

1引言 在数学的学习过程中，不等式证明是一个非常重要的内容，这些内容在初等数学和

高等数学中都有很好的体现.在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但是人们对于不等式的

中原工学院

1 常用方法

1.1比较法（作差法）[1]

在比较两个实数a和b的大小时，可借助a?b的符号来判断.步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）.变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等.

例1 已知：a?0，b?0，求证：证明

a?b2a?b2?ab.

b)2?ab?a?b?2ab2a?b2?ab?(a?2?0，

故得 1.2作商法

.

在证题时，一般在a，b均为正数时，借助作商——变形——判断（大于1或小于1）.

例2 设a?b?0，求证：aabb?abba. 证明 因为 a?b?0， 所以 而

abaab?1或

ab?1来判断其大小，步骤一般为：

?1，a?b?0.

baababb?a?????b?a?b?1，

故 aabb?abba. 1.3分析法（逆推法）

从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆.

例3 求证：

柯西不等式的证明及应用

（河西学院数学系01（2）班 甘肃张掖 734000）

摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。

关键词：柯西不等式 证明 应用 中图分类号： O178

Identification and application of Cauchy inequality

Chen Bo

（department of mathematics , Hexi university zhangye gansu 734000）

Abstract: Cauchy-inequality is a very important in equation, flexible ingenious application it, can make some comparatively difficult problems easily solved . This text prove inequality, solve triangle rele

长江师范学院本科毕业论文·高等数学在中学不等式证明中的运用 1.引言

不等式作为一个重要的分析工具和分析手段，在数学中具有举足轻重的地位. 可用推理性或探索性证明不等式。推理性问题即是指在特定条件下，阐述论证过程,揭示内在规律,基本方法有比较法、分析法、综合法；在中学阶段，探索性问题大多是与自然数有关的证明问题，常采用观察-归纳-猜想-证明的思路，以数学归纳法完成证明。不等式是中学数学的基础和重要组成部分，它和函数、三角、数列、几何、极限等知识关系密切，相互渗透、相互作用，所以在高考中一直是考查的重点内容。由于在高中阶段我们学习的这部分知识都比较零散和难懂，很多同学都无法攻克不等式这一难关。

在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证明，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公式法、函数的凹凸性法、柯西施瓦茨不等式。

此文将把同学们学过的不同阶段的代数、几何、三角等方面的知识纵横联系、融会贯通，对中学数学中常用的一些证明方法进行归纳、总结，从而使读者在读完此文之后能够比较系统的、深入的掌握一些规律，学会一些方