极坐标下旋转曲面的面积

§4 旋转曲面的面积 (一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式． (二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式． 基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积． ———————————————————— 一 微元法 用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x)的变化区间 有关的量，且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成n个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到 的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x处的值， 为小区间的长度),那么就把 称为量 的元素并记做 ，即 dU?f(x)dx 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式： b?f(x

§4 旋转曲面的面积 (一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式． (二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式． 基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积． ———————————————————— 一 微元法 用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x)的变化区间 有关的量，且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成n个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到 的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x处的值， 为小区间的长度),那么就把 称为量 的元素并记做 ，即 dU?f(x)dx 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式： b?f(x

高等数学(2)标准化作业—22 班级 姓名 学号

第五节 对坐标的曲面积分

一、填空题

1．设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度场为

?????????????v(x,y,z)?P(x,y,z)i?Q(x,y,z)j?R(x,y,z)k，?为速度场中一片有向曲面，则

单位时间内通过?流到指定侧的流量

?=??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy．

?2．设?是z?x2?y2在0?z?1之间部分的外侧表面，则

??R(x,y,z)dxdy=???R?x,y,x2?y2?D?dxdy,D2xy:x?y2?1，

xy??P(x,y,z)dydz=?????P?z2?y2,y,z??P??z2?y2,y,z?D???yz?dydz，

Dyz:0?z?1,?z?y?z，

??Q(x,y,z)dzdx==?Qx,z2?x2,z?Qx,?z2?x2,z?dzdx ???D???????xz?Dxz:0?z?1,?z?x?z．

（化为二重积分） 二、计算题

1．设?是x?y?z?1被三个坐标面所截第一卦限部分的上侧， 求

极坐标常见题型

一、极坐标方程与直角坐标方程的互化

互化条件：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同.

??2?x2?y2?x??cos??互化公式：? 或 ? yy??sin???tan??(x?0)x?θ的象限由点(x,y)所在的象限确定. 例1(2007海南宁夏)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为??4cos?，???4sin?． (I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

(II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．

解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．

(I)x??cos?，y??sin?，由??4cos?得?2?4?cos?．所以x2?y2?4x． 即x2?y2?4x?0为⊙O1的直角坐标方程． 同理x2?y2?4y?0为⊙O2的直角坐标方程．

?x2?y2?4x?0?x1?0?x2?2(II)解法一:由?2解得，? ?2?y1?0?y2??2?x?y?4y?0即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2,－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y=－x．

?x2?y2?4x?0解法二: 由?2,两式相减得－4x-4y=

极坐标常见题型

一、极坐标方程与直角坐标方程的互化

互化条件：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同.

??2?x2?y2?x??cos??互化公式：? 或 ? yy??sin???tan??(x?0)x?θ的象限由点(x,y)所在的象限确定. 例1(2007海南宁夏)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为??4cos?，???4sin?． (I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

(II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．

解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．

(I)x??cos?，y??sin?，由??4cos?得?2?4?cos?．所以x2?y2?4x． 即x2?y2?4x?0为⊙O1的直角坐标方程． 同理x2?y2?4y?0为⊙O2的直角坐标方程．

?x2?y2?4x?0?x1?0?x2?2(II)解法一:由?2解得，? ?2?y1?0?y2??2?x?y?4y?0即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2,－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y=－x．

?x2?y2?4x?0解法二: 由?2,两式相减得－4x-4y=

§2.2 曲面的方程

一、普通方程

如果一个方程F(x, y, z) = 0或z=f (x, y) 与一个曲面?有着关系：(1) 满足方程的(x, y, z)是曲面?上点的坐标；(2) 曲面?上的任何一点的坐标(x, y, z)满足方程，则方程F(x, y, z)＝0叫做曲面?的普通方程，而曲面?叫做方程F (x, y, z)＝0的图形.

二、参数方程

1．设在两个变数u, v的变动区域内定义了双参数矢函数

= (u, v) 或 (u, v)=x(u, v)

+y(u, v)

+z(u, v)

,

其中x(u, v), y(u, v), z(u, v)是变矢(u, v)的分量，它们都是变数u, v的函数，当u, v取遍变动区域的一切值时，径矢

= (u, v)=x(u, v)+y(u, v)+z(u, v)

的终点M(x(u, v), y(u, v), z(u, v))所画成的轨迹，一般为一张曲面.

2. 如果取u, v (a≤u≤b, c≤v≤d)的一切可能取的值，径矢

(u, v)的终点M总在一个曲面上；反过来，在这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的径矢, 而这径矢可由u, v的值(a≤u≤b, c≤v≤d)通过

(u, v)=x(

§2.2 曲面的方程

一、普通方程

如果一个方程F(x, y, z) = 0或z=f (x, y) 与一个曲面?有着关系：(1) 满足方程的(x, y, z)是曲面?上点的坐标；(2) 曲面?上的任何一点的坐标(x, y, z)满足方程，则方程F(x, y, z)＝0叫做曲面?的普通方程，而曲面?叫做方程F (x, y, z)＝0的图形.

二、参数方程

1．设在两个变数u, v的变动区域内定义了双参数矢函数

= (u, v) 或 (u, v)=x(u, v)

+y(u, v)

+z(u, v)

,

其中x(u, v), y(u, v), z(u, v)是变矢(u, v)的分量，它们都是变数u, v的函数，当u, v取遍变动区域的一切值时，径矢

= (u, v)=x(u, v)+y(u, v)+z(u, v)

的终点M(x(u, v), y(u, v), z(u, v))所画成的轨迹，一般为一张曲面.

2. 如果取u, v (a≤u≤b, c≤v≤d)的一切可能取的值，径矢

(u, v)的终点M总在一个曲面上；反过来，在这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的径矢, 而这径矢可由u, v的值(a≤u≤b, c≤v≤d)通过

(u, v)=x(

第二课时 极坐标与平面直角坐标的互化

一、 教学目标

掌握极坐标与直角坐标的互化

二、教学重点

对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解及运用

三、教学难点

极坐标与直角坐标的互化的运用

四、教学过程

1. 创设情境引入

Ｔ：上节课学习了极坐标,到现在就接触了两类坐标,直角坐标和极坐标.两类坐标之间有什么关系呢?他们之间又怎样换算?先来看下面的例子.

假设点M 在平面直角坐标系中的的坐标为(),x y ,现在以直角坐标的原点作为极点, ox 正半轴为极轴,建立极坐标系,假设点M 的极坐标为(),ρθ

则由三角函数的知识我们可以得到这样的关系:

cos sin x y θθ

ρρ??=??=?（这里注意解释点M 在不同象限也是成立的）

ρ,tan (0)y x x

θ=≠ 这里规定:0,02ρθπ≥≤<

Ｔ：于是直角坐标和极坐标之间就建立了以上的关系，根据这个关系我们就可以进行极坐标与直角坐标之间的就换算。

Ｔ：但同学们应该注意两种坐标之间满足上面的换算关系需要什么前提？

Ｔ：（１）极坐标的极点和直角坐标的原点相同；

（２）而极坐标的极轴与直角坐标的ｘ正半轴要相同；

（３）两坐标取相同的长度单位。

否则不能用上面的换算公式。

根据上面的换算公式来解一下例１

例1．（1）把点M 的极坐标)3

2,

旋转坐标公式推导

x' cos y' sin

其中 sin x cos y x,y表示物体相对于旋转点旋转 的角度之前的坐标,x',y'表示物体逆时针旋转 后相对于旋转点的坐标

从数学上来说，此公式可以用来计算某个点绕着另外一点旋转一定角度后的坐

,,,,,cd, 标，例如：A(x,y)绕B(a,b)旋转 角度后的位置为C(c,d)，则xyab

有如下关系式：

1．设A点旋转前的角度为 ，则旋转(逆时针)到C点之后角度为

2．求A，B两点的距离：dist1=|AB|=y/Sin( ) x/Cos( )

3．求C，B两点的距离：dist2=|CB|=d/Sin( ) c/Cos( )

4．显然dist1=dist2，设dist1=R所以：

R=y/Sin( ) x/Cos( ) d/Sin( ) c/Cos( )

5．由三角函数两角和差公式知：

旋转坐标公式推导

n ) Si(

s ) Co(

所以得出：

S(i n)C(o s)C ( o)sC ( o)s C(o )s (S i)n SinSin

c=RCos( ) RCos( )Cos( ) RSin( )Sin( ) xCos( ) ySin(

2013极坐标、参数方程

5、选修44:-坐标系与参数方程

极坐标系中，已知圆心C (3,)6π

，半径r=1．

（1）求圆的极坐标方程；（2）若直线为参数）t t y t x (21231???

????=+-=与圆交于B A ,两点，求AB 的中点M 与点P （-1，0）的距离．

（1、1)23(23322=-+???

? ??-y x 2

、1232t t PC +==+

解：（1）由已知得圆心)6sin 3,6cos 3(π

πC ，半径1，圆的方程为1)23(23322=-+???

? ??-y x 2分 即0833322=+--+y x y x 所以极坐标方程为08sin 3cos 332=+--θρθρρ 5分

（1）

把直线方程代入圆方程得26)90,30t t -++=?=> 7分 设21,t t 是方程两根

126)t t ∴+=-

所以1232t t PC +=

= 10分

5、已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参

数方程为

cos,

sin,

x t

y t

α

α

=

?

?

=

?

（t为参数，α为直线l的倾斜角）。圆C的极坐标方程为

28cos120.

ρρθ

-+=

（1）若直线l与圆C相切，求α的值；

（2）若