数学建模例题和答案

一、人体重变化

某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克? 天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。 一、 问题分析

人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。

二、 模型假设

1、 以脂肪形式贮存的热量100%有效

2、 当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存 3、 假设体重的变化是一个连续函数 4、 初始体重为W0

三、 模型建立

假设在△t时间内：

体重的变化量为W（t+△t）-W(t)；

身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t）） 将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量；

转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt；

四、 模型求解

d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686 W(0)=W0 解得：

(-69t/41686)

5429-69

逻辑分析,构建数学模型,适合非专业学生

题目：体检时间安排的合理性讨论

某高校教职工（现教职工1604人）每二年到医院体检中心体检。体检时间早晨7：00——8：30，单位安排见体检安排表。体检项目：内科、外科、眼科、五官科、血压、血常规、胸片、心电图、腹部B超等，体检各项所需时间（不含等待时间，下同）：内科1-2分钟、外科1-2分钟、眼科1-3分钟、五官科1-3分钟、血压2-3分钟、血常规（抽血）1-2分钟、胸片1-2分钟、心电图1-3分钟、腹部B超2-5分钟。用于体检的医生（设备）数量：内科2个、外科1个、眼科1个、五官科1个、血压1个、血常规（抽血）2个、胸片2个、心电图2个、腹部B超3个。 体检程序：体检者体检当天在体检中心取体检表（所需时间1-2分钟，有两个窗口），再按规定的体检项目自行前往体检各科室进行相应检查（体检项目无先后顺序），体检结束后将体检表交体检中心服务台。

假定教职工一般在7：00——8：00到中心体检，且每个人当天做完所有（或部分）检查，不会改天再来；因有课、有事不能按照单位安排时间内体检的，则在学校体检时间范围内自行选择体检时间；每个机关处室人数大约8-12人，后勤管理处、后勤服务总公司大约120人。

请你建立模型分析在规

逻辑分析,构建数学模型,适合非专业学生

题目：体检时间安排的合理性讨论

某高校教职工（现教职工1604人）每二年到医院体检中心体检。体检时间早晨7：00——8：30，单位安排见体检安排表。体检项目：内科、外科、眼科、五官科、血压、血常规、胸片、心电图、腹部B超等，体检各项所需时间（不含等待时间，下同）：内科1-2分钟、外科1-2分钟、眼科1-3分钟、五官科1-3分钟、血压2-3分钟、血常规（抽血）1-2分钟、胸片1-2分钟、心电图1-3分钟、腹部B超2-5分钟。用于体检的医生（设备）数量：内科2个、外科1个、眼科1个、五官科1个、血压1个、血常规（抽血）2个、胸片2个、心电图2个、腹部B超3个。 体检程序：体检者体检当天在体检中心取体检表（所需时间1-2分钟，有两个窗口），再按规定的体检项目自行前往体检各科室进行相应检查（体检项目无先后顺序），体检结束后将体检表交体检中心服务台。

假定教职工一般在7：00——8：00到中心体检，且每个人当天做完所有（或部分）检查，不会改天再来；因有课、有事不能按照单位安排时间内体检的，则在学校体检时间范围内自行选择体检时间；每个机关处室人数大约8-12人，后勤管理处、后勤服务总公司大约120人。

请你建立模型分析在规

一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)

1．模型

模型指为了某种特定目的将原型的某一部分信息简化，压缩，提炼而构成的原型替代物。如地图，苯分子图。

2．数学模型

由数字、字母、或其他数学符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的数学结构。具体地说，数学模型也可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构称之为数学模型，如概率论的功利化定义

3．抽象模型

抽象模型也称为物理模型，主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律，如波浪水箱中的舰艇模型用来模拟波浪冲击下舰艇的航行性能，风洞中的飞机模型用来试验飞机在气流中的空气动力学特征。

二、简答题（每小题满分8分，共24分）

1．模型的分类

按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类。形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等；抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等

2．数学建模的基本步骤

1、建模的准备：确立建模课题的过程；

2、根据建模的目的对原型进行抽象、简化。有

第一章

4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。试构造模型并求解。

答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为f(a)和g(a)。f和g都是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a，f(a)和g(a)中至少有一个不为零。不妨设g(0)?0,f(0)?0。当椅子旋转90°后，对角线互换，

f(π/2)?0,g(π/2)?0。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证

明如下的数学命题：

已知f(a)和g(a)是a的连续函数，对任意a,f(a)?g(a)?0,且g(0)?f(π/2)?0，

f(0)?0,g(π/2)?0。证明存在a0，使f(a0)?g(a0)?0

证：令h(a)?f(a)?g(a),则h(0)?0和h(π/2)?0， 由f和g的连续性知h也是连续函数。 根据连续函数的基本性质，

必存在a0（0＜a0＜π/2）使h(a0)?0，即f(a0)?g(a0)?0 因为f(a0)?g(a0)?0，所以f(a0)?g(a0)?0

8

第二章

7.

10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。

第三章

5.根据最优定

参观世博会

摘要

本文是关于2010年上海世博会期间门票价格制定和日参观人数预测的问题。上海世博会从2010年5月1号至10月31号，为期184天，整个会期将会吸引大批游客前来参观，为了综合考虑世博会的经济效益与社会效应，我们需要制定一个合理的票价系统，平衡客流量与门票收入。

问题一中，为了对现行的票价系统建立数学模型，我们分析了影响票价的十个因素，分别是：是否是指定日，是否是优惠票，是否是夜票，是否是三次票，是否是七次票，是否受消费水平的影响，是否能缓解客流高峰，是否是预售第一期门票，是否是预售第二期门票，是否是预售第三期门票。通过回归分析，建立了票价与十个因素之间线性回归模型：

y=161.8947+104.5263x1-68x2+0x3+313.6842x4+813.6842x5

+0x6-71.8947x7-28.2105x8-18.2105x9-7.3684x10;

问题二中，首先我们知道影响日参观人数的因素很多且具有不确定性，在已知5,6,7,8月份的日参观人数的前提下，为了预测9月10号至9月14号的日参观人数，我们对已知数据进行预处理，筛选出6月1号—7月31号，8月7号—8月28号这83天的数据建立灰色系统预测模型，求

1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面

（2）长方形桌的四条腿长度相同

（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。

现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D处，A、B,C、D的初始位置在与x轴平行，再假设有一条在x轴上的线ab,则ab也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab与x轴的夹角记为?。

容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令

f(?)为A、B离地距离之和，

唯一确定。由假设（1），

g(?)为C、D离地距离之和，它们的值由?f(?),g(?)均为?不妨设

的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故

f(?)g(?)=0必成立（??）

2.某种山猫在较好的，中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别是1.68%，0.55%，-4.5%。假设开始时有100只山猫，按以下情况分别讨论山猫数量逐年变化的过程及趋势：

（1）三种自然环境下25年的变化过程，结果要列表并图示；

解：首先讨论紫檀环境下山猫的数量的演变。记k年山猫的数量为xk，设自然条件下的年平均增长率为r(相当于假设年增长率r为常数)，则列式得： Xk+1=xk*(1+r)，k=0,1,2,…… 解为等比数列

Xk=x0*(1+r)k ，k=0,1,2,……

在以下的Matlab的程序里，分别取r=0.0168,0.0055,-0.045，取初始值x0 =100，用循环语句迭代计算出25年不同自然环境下山猫的数量的演变过程，将结果列表并绘图：

n=25;r=[.0168,.0055,-.045];x=[100,100,100]; for k=1:n

x(k+1,:)=x(k,:).*(1+r); end

disp('自然条件下（b=0）山猫的数量的演变')%列表 自然条件下（b=0）山猫的数量的演变

disp(' 年 较好 中等 较差') %每列项目的名称 年 较好 中等 较差

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第一部分 课后习题

1. 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学

生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：

（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。

（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表： A B C 1 235 333 432 2 117.5 166.5 216 3 78.3 111 144 4 58.75 83.25 108 5 … … 86.4 … 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。

如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。

（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。

2. 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g

装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用

1.据世界卫生组织1995 年调查报告显示，70％的肺癌患者都有吸烟史。 这说明，吸烟将极大增加患肺癌的危险。

以下哪项，如果是真的，将严重削弱上述结论？

（A）有吸烟史的人在199 多年超过世界总人口的65％。 （B）1995 年世界吸烟的人数比1994 年增加了70％。 （C）被动吸烟被发现同样有致肺癌的危险。

（D）没有吸烟史的人数在1995 年超过世界总人口的40％。 （E）1995 年未成年吸烟者的人数有惊人的增长。 答案是（A）。

【分析】因为如果有吸烟史的人在1995 年超过世界总人口的65％，由题干，这个百分比已经接近于有吸烟史的肺癌患者占整个肺癌患者的比例，又考虑到事实上患肺癌的主要是成年人，因此，吸烟史的肺癌患者占整个肺癌患者的比例，绝不会高于有吸烟史的人占世界总人口的比例。这说明吸烟并没有增加患肺癌的危险。其余各项均不能削弱题干的结论。

2.有一逻辑推理单选题的四个选择答案分别是： （1）作案者是甲。 （2）作案者是乙。 （3）作案者是丙。 （4）作案者是甲或乙。

设该题是成立的，则该题的正确答案应是： （A）（1）。 （B）（2）。 （C）（3）。 （D）（4）。 （E）无法确定。 答案是（C）。

【分析】单选题的四个