一元二次方程根与系数的关系推导

兰州文理学院学生毕业设计

题 目：《探索一元二次方程根与系数的关系》的教学设计

作 者： 郑品君

指导老师： 胡 萍

师范学院 学院 数学系 系 数学教育 专业 2011 级 三 年制 一 班

2014年 1 月 2 日

《探索一元二次方程根与系数的关系》的教学设计

一、教学目标

1、知识与技能目标：理解掌握一元二次方程ax2?bx?c?0 (a?0)的两根

x1,x2与系数a、b、c之间的关系.

2、过程与方法目标：能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数以及会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差.

3、情感态度与价值观目标：在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法.

二、重难点

根与系数的关系是重点，由于式子的抽象性，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生理解和掌握的难点.

三、教学过程 （一）问题引探

问题1.在方程

一元二次方程的根与系数的关系

说 课 稿

四川省邻水中学实验学校 何志军

一. 设计理念：

一元二次方程根与系数的关系，体现“做数学”的理念，充分展现知识的形成过程，从而突破本节课教学设计中，我始终把对知识的学习与师生的共同活动与交流相结合，为学生提供自主学习的空间和活动机会，让学生动手、动口、动眼、动脑进行探索，鼓励学生主动探索，大胆地猜想，大胆地表述，在合作交流中获取的难点。在构思这节课时，感到教材中所提供的方法固然能更加直接的引出根与系数的关系，但忽略了定理最初形成的过程（即：为何要检验两根之和，两根之积？）。因此我根据前面所学内容，从判断两个数是不是一元二次方程的两根入手，再引导学生观察并发现数字系数的一元二次方程的根与系数的关系。此时所得出的恰好是二次项系数为数字系数的方程，这种方程有这种规律，是不是对二次项系数不为数字系数的方程也同样有这种规律呢？于是引出下文，并推及到一元二次方程根与系数的关系的出现与证明。然后加入对数学家韦达的介绍，及我国古代数学家在根与系数关系上的贡献，激发学生的爱科学，用科学的情感，提高学生对学习的兴趣。最后，再由学生自主小结，谈体会，给整节课画上圆满的句号。

二．教材分析 1.教材的地位和

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一元二次方程根与系数关系中考强化练习题

（时间：90分钟） 姓名：_________

一、填空：

1、 如果一元二次方程ax?bx?c=0(a?0)的两根为x1，x2，那么x1+x2= ，

2x1x2= .

2、如果方程x2?px?q?0的两根为x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2= . 3、方程2x?3x?1?0的两根为x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2= . 4、如果一元二次方程x?mx?n?0的两根互为相反数，那么m= ；如果两根互为倒数，那么n= .

5方程x2?mx?(n?1)?0的两个根是2和－4，那么m= ，n= . 6、以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以3?1，3?1为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以3?222和3?2

一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练

对于一元二次方程

，当判别式△＝

时，其求根

公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：

；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，

即当，时，那么则是的两根。一元

二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，

也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程在的三种情况，以及应用求根公式求出方程而分解因式，即

根的判别式

的两个根

存，进

。下面就对应用韦达定理可能出现的问题

举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。

一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。

例1：已知关于的方程（1）关于的方程（2）

有两个不相等的实数根，且

没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整

数解？

分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。

解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，

∴

解得；

∵方程（2）没有实数根，

∴

解得

；

于是，同时满足方程（1

实系数一元二次方程 导入：a、b、c R 解一元二次方程 ax 2 bx c 0 (a 0)

配

b 2 b2 4ac (x ) 2a 4a 2 b 1 当 0时 x1,2 2 a 2a b 2 当 0时 x1,2 2a b 3 当 0时 x1,2 i 2a 2a注：、必须是实系数一元二次方程； 1

方

2、当 0时，

方程有两个共轭 虚根；3、当 0时， 根与系数满足韦达定理； 4、ax 2 bx c a( x x1 )( x x2 )

补充例题：

1、若关于x的一元二次方程x2 2kx k 0有虚根，则实数k的取值范围 ( 1,0) 是 ______ 4k 2 4k 0

{ 1} 值范围是 ______

2、已知关于x的一元二次方程x2 2ix (a 1) 0有实数解，则实数a的取

a ( , 2] 典型错解 x02 2ix0 (a 1) 0 正确解： 设方程的实根为x0 x02 a 1 2x0i 0 4i 2 4(a

实系数一元二次方程 导入：a、b、c R 解一元二次方程 ax 2 bx c 0 (a 0)

配

b 2 b2 4ac (x ) 2a 4a 2 b 1 当 0时 x1,2 2 a 2a b 2 当 0时 x1,2 2a b 3 当 0时 x1,2 i 2a 2a注：、必须是实系数一元二次方程； 1

方

2、当 0时，

方程有两个共轭 虚根；3、当 0时， 根与系数满足韦达定理； 4、ax 2 bx c a( x x1 )( x x2 )

补充例题：

1、若关于x的一元二次方程x2 2kx k 0有虚根，则实数k的取值范围 ( 1,0) 是 ______ 4k 2 4k 0

{ 1} 值范围是 ______

2、已知关于x的一元二次方程x2 2ix (a 1) 0有实数解，则实数a的取

a ( , 2] 典型错解 x02 2ix0 (a 1) 0 正确解： 设方程的实根为x0 x02 a 1 2x0i 0 4i 2 4(a

设计者：陈武校

目 录

1、《一元二次方程根与系数的关系》说课稿...................................... 2 2、《一元二次方程根与系数的关系》教学设计.................................... 5 3、《一元二次方程根与系数的关系》导学案...................................... 9

第 1 页 共 11 页

《一元二次方程根与系数的关系》说课稿

单位：博罗县福田东湖学校 说课者：陈武校

尊敬的各位评委老师上午好：

我是来自福田东湖学校的陈武校，今天我要说课的内容是《一元二次方程根与系数的关系》。下面，我将从说教材、说教法学法、说教学过程、说板书设计这四个部分进行说课。

第一部分：说教材

首先，说本课的地位和作用。

一元二次方程根与系数的关系是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，也是方程理论的重要组成部分。

其次，说教学目标。

根据本教材的结构和内容分析，结合着九年级学生他们的认知结构及其心理特征，我

一元二次方程的公共根与整数根

知识点睛

一、公共根问题

二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．

二、整数根问题

对于一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的实根情况，可以用判别式??b2?4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．

方程有整数根的条件：

如果一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有整数根，那么必然同时满足以下条件：

⑴ ??b2?4ac为完全平方数；

⑵ ?b?b2?4ac?2ak或?b?b2?4ac?2ak，其中k为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．

另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数)

三、方程根的取值范围问题

先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．

例题精讲

一、一元二次方程的公共根

【例1】 求k的值，使得一元二次方程x2?kx?1?0，x2?x?(k?2)?0有相同的根，并求两个方程的根．

?ABC【例2】

一元二次方程的公共根与整数根

知识点睛

一、公共根问题

二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．

二、整数根问题

对于一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的实根情况，可以用判别式??b2?4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．

方程有整数根的条件：

如果一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有整数根，那么必然同时满足以下条件：

⑴ ??b2?4ac为完全平方数；

⑵ ?b?b2?4ac?2ak或?b?b2?4ac?2ak，其中k为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．

另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数)

三、方程根的取值范围问题

先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．

例题精讲

一、一元二次方程的公共根

【例1】 求k的值，使得一元二次方程x2?kx?1?0，x2?x?(k?2)?0有相同的根，并求两个方程的根．

?ABC【例2】

一元二次方程根的判别式、 根与系数的关系练习题

1、方程kx2?3x?2?0有两个相等的实数根，则

k 。

2、若关于x的方程kx2?4x?3?0有实数根，则k的非负整数值是 。

3、关于x的方程mx2?2?3m?1?x?9m?1?0有

两个实数根，则m的范围是 。

4、已知k>0且方程3kx2?12x?k??1有两个相等的实数根，则k= 。

5、当 k

不小于?14时，方程

?k?2?x2??2k?1?x?k?0根的情况是 。

6

、

如

果

关

于

x

的

方

程

?m?2?x2?2?m?1?x?m?0只有一个实数根，那么

方程mx2??m?2?x??4?m??0的根的情况

是 。

7、如果关于x的方程mx2?2?m?2?x?m?5?0没有实数根，那么关于x的方程?m?5?x2?2?m?2?x?m?0的

实

根

个

数

是 。

8、如果方程2x2?mx?4?0的两根为x1,x2，且

1x?1?2，求实数 m的值。 1x2

9、已知方程x2??2k?1?x?k2?2?0的两实根

的平方和等于11，求k的值。

10、m取什么值时，方程?m?2?x2?2x?1?0有