近世代数第一章作业及答案
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近世代数第一章答案
近世代数第一章基本概念答案
§ 1 . 集合
1.B?A,但B不是A的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 由题设以及真子集的定义得,A的每一个元都属于B,因此A?B.于是由
B?A A?B
得A?B.所以上述情况在A=B时才能出现.
2. 假设A?B,A?B?? A?B??
解 (i) 由于A?B,所以A的每一个元都属于B,即A的每一个元都是A和B的共同元,因而由交集的定义得
A?A?B
但显然有
A?B?A
所以
A?B?A
(ii) 由并集的定义,A?B的每一个元素都属于A和B之一,但A?B,所以A?B的每一元素都属于B:
A?B?B
另一方面B?A?B,所以A?B?B.
§ 2 . 映射
1. A={1,2,?,100}.找一个A?A到A的映射.
解 用?a,b?表示A?A的任意元素,这里a和b都属于A .按照定义做一个满足要求的映射即可,例如 ?: ?a,b?→a 就是这样的一个,因为?替A?A的任何元素?a,b?规定了一个唯一的象a,而a?A.
读者应该自己再找几个A?A到A的映射. 2.在你为习题1所找的映射之下,是不是A的每一个元都是A?A的一个元的象?
解 在上面给出的映射?之下,A的每一个元素都
近世代数作业
练 习 题
第一次作业
1、设A={x| x?R, |x|?5},B={x|x?R, -6?x<0}.求A?B,A?B,A?B,B?A。 2、设A,B是U的子集,规定A+B=(A?B)?(B?A)。证明: (1) A+B=B+A (2) A+?=A (3) A+A=?。
3、求下列集合的所有子集: (1) A={a, b, ?} (2) B={?} (3) C={1}
4、设f:A?B和g:B?C是映射,证明: (1) 如果f和g是单射,则gf是单射 (2) 如果f和g是满射,则gf是满射 (3) 如果gf是单射,则f是单射 (4) 如果gf是满射,则g是满射.
5、对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射f, g ,h: f: x?3x g: x?3x+1 h: x?3x+2 (1) 计算fg, gf, gh, hg, fgh (2) 分别求f, g, h的一个左逆映射 (3) 求f, g, h的一个共同的左逆映射
(4) 求f, g的一个共同的左逆映射,但不是h的左逆映射。 6、设R是实数集合,在R?R上规定二元关系“~”为:
(a, b)~ (c, d)?a+d=b+c
证明“~”是R上的一个等价关系。
7、设A={a, b, c, d, e}, S={{a},{b},{c, d, e}},求A上的一个等价关
近世代数作业
练 习 题
第一次作业
1、设A={x| x?R, |x|?5},B={x|x?R, -6?x<0}.求A?B,A?B,A?B,B?A。 2、设A,B是U的子集,规定A+B=(A?B)?(B?A)。证明: (1) A+B=B+A (2) A+?=A (3) A+A=?。
3、求下列集合的所有子集: (1) A={a, b, ?} (2) B={?} (3) C={1}
4、设f:A?B和g:B?C是映射,证明: (1) 如果f和g是单射,则gf是单射 (2) 如果f和g是满射,则gf是满射 (3) 如果gf是单射,则f是单射 (4) 如果gf是满射,则g是满射.
5、对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射f, g ,h: f: x?3x g: x?3x+1 h: x?3x+2 (1) 计算fg, gf, gh, hg, fgh (2) 分别求f, g, h的一个左逆映射 (3) 求f, g, h的一个共同的左逆映射
(4) 求f, g的一个共同的左逆映射,但不是h的左逆映射。 6、设R是实数集合,在R?R上规定二元关系“~”为:
(a, b)~ (c, d)?a+d=b+c
证明“~”是R上的一个等价关系。
7、设A={a, b, c, d, e}, S={{a},{b},{c, d, e}},求A上的一个等价关
《近世代数》作业参考答案
《近世代数》作业参考答案
一.概念解释
1.代数运算:一个集合A?B到集合D的映射叫做一个A?B到D 的代数运算。 2.群的第一定义:一个非空集合G 对乘法运算作成一个群,只要满足:
1)G对乘法运算封闭;
2)结合律成立:a(bc)?a(bc)对G中任意三个元a,b,c都成立。 3)对于G的任意两个元a,b来说,方程ax?b和ya?b都在G中有解。 3.域的定义:一个交换除环叫做一个子域。
4.满射:若在集合A到集合A的映射?下,A的每一个元至少是A中的某一个元的象,则称?为A到A的满射。
5.群的第二定义:设G为非空集合,G有代数运算叫乘法,若:(1)G对乘法封闭;
(2)结合律成立;(3)单位元存在;(4)G中任一元在G中都有逆元,则称G对乘法作成群。 6.理想:环R的一个非空子集N叫做一个理想子环,简称理想,假若: (1)a,b?N?a?b?N(2)a?N,r?N?ra?N,ar?N
7.单射:一个集合A到A的映射,?:a?a,a?A,a?A,叫做一个A到A的单射。
若:a?b?a?b。
8. 换:一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。
9. 环:一个环R若满足:(1)R至少包含一个不等于零的元。 (2)R有单位元。
(3)R的每
近世代数一
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一、单项选择题(每小题3分,共12分)
1.设A=R(实数集),B=R+(正实数集) υ:a→10a+1,?a∈A 则?是从A到B的( )。 A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射 2.剩余类加群Z6中,元素[1]的阶是( )。 A.1 B.2 C.3 D.6 3.7阶循环群的生成元个数是( )。 A.1 B.2 C.6 D.7
?a0??4.设R=??那么R关于矩阵的加法和乘法构成环,则这个矩阵环是( )。 ?0b?a、b?Z?,
????A.有单位元的可换环 B.无单位元的可换环 C.无单位元的非可换环 D.有单位元的非可换环 二、填空题(每小题3分,共24分)
1.设集合A含有m个元,则A的子集共有_____个. 2.每一个有限群都和一个_____群同构. 3.设a、b是群G的两个元,则(ab)-2=_____.
4.在3次对称群S3中与元(1 2 3)不可交换的元有_____个. 5.剩余类环Zm是无零因子环
近世代数答案
1:证明::实数域R上全体n阶方阵的集合Mn(R),关于矩阵的加法构成一个交换群。 证:(1)显然,Mn(R)为一个具有“+”的代数系统。 (2)∵矩阵的加法满足结合律,那么有结合律成立。 (3)∵矩阵的加法满足交换律,那么有交换律成立。 (4)零元是零矩阵。?A∈Mn(R),A+0=0+A=A。 (5)?A∈Mn(R),负元是-A。A+(-A)=(-A)+A=0。 ∴(Mn(R),+)构成一个Abel群。
2:证明:实数域R上全体n阶可逆方阵的集合GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。这个群称为n阶一般线形群。
证明:显然GLn(R)是个非空集合。
对于任何的A,B∈GLn(R),令C=AB, 则C=|AB|=|A||B|≠0,所以C∈GLn(R)。
⑴因为举证乘法有结合律,所以结合律成立。 ⑵对任意A∈GLn(R),AE=EA,所以E是单位元。
⑶任意的A∈GLn(R),由于∣A∣≠0,∴A的逆矩阵A,满足
?1AA?1?A?1A?E且∴A的逆元是 A?1.所以,GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。
3:证明:实数域R上全体n阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这
近世代数的答案
近世代数习题解答
第二章 群论
1 群论
1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?
证 不是一个群,因为不适合结合律.
2. 举一个有两个元的群的例子.
证 G?{1,?1} 对于普通乘法来说是一个群.
3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件
4'. G至少存在一个右单位元e,能让ae?a 对于G的任何元a都成立
5'. 对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元a?1,能让 aa?1?e 证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由aa?1?e 得a?1a?e 因为由4'G有元a'能使a?1a'?e 所以(a?1a)e?(a?1a)(a?1a')
?[a?1(aa?1)]a'?[a?1e]a'?a?1a'?e 即 a?1a?e
(2) 一个右恒等元e一定也是一个左恒等元,意即 由 ae?a 得 ea?a ea?(aa?14,5来作群的定义:
近世代数答案(一、二三章)
Chapter 1
1、proof Let A,B,C be sets .Suppose that x∈B,we get x∈A∩B or
x?A?B?A,and x?A?C or x?A?C?A since A?B?A?C and A?B?A?C.so x∈C and B?C.Similarly ,we have C?Band so B=C .
2、proof ① First,consider x?A?(B?A).Then x?A or x?B,but x?A.This
implies if x is not an element of A ,then x?B.Hence x?A?B and
A?(B?A)?A?B.
Conversely, if x?A?B,then by definition , x?A or x?B.
This generates two cases:
(a1) If x?A,clearly x?A?(B?A);
(b2) If x?B,then either x?A or not . i.e.,either x?B and x?A or
x?B but x?A, in either case, we h
近世代数复习
近世代数复习
一、单项选择题(20分)
1、下面的代数系统(G,*)中,( )不是群。
A. G为整数集合,*为加法 B. G为偶数集合,*为加法 C.G为有理数集合,*为加法 D. G为有理数集合,*为乘法 2、设A={所有实数},A的代数运算a?b=a+2b( ) A.适合结合律但不适合交换律;B.不适合结合律但适合交换律; C.既适合结合律又适合交换律;D.既不适合结合律又不适合交换律 3、在整数加群Z中,不包含15Z的子群是( )。 (A) 3Z (B) 5Z (C) 3Z或5Z (D)13Z 4. 设a,b,c和x都是群G中的元素且xa?bxc,acx?xac,那么
2?1x?( )
A. bc?1a?1; B.c?1a?1; C.a?1bc?1; D.b?1ca。
5、设G=Z,对G规定运算o,下列规定中只有( )构成群。 (A) aob=a+b-2 (B) aob=a? b 数的乘法)
6、设H (B) ab1∈H (C) a1b∈H - - (C) aob=2? a+3?
近世代数第二章答案
近世代数第二章群论答案
§1. 群的定义
1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群? 解:不是,因为普通减法不是适合结合律。 例如
3??2?1??3?1?2 ?3?2??1?1?1?0 3??2?1???3?2??1 2.举一个有两个元的群的例。 解:令G??e,a?,G的乘法由下表给出
首先,容易验证,这个代数运算满足结合律 (1) ?x?y?z?x?y?z????????x,y,z?G
因为,由于ea?ae?a,若是元素e在(1)中出现,那么(1)成立。(参考第一章,§4,习题3。)若是e不在(1)中出现,那么有
?aa?a?ea?a a?aa??ae?a
而(1)仍成立。
其次,G有左单位元,就是e;e有左逆元,就是e,a有左逆元,就是a。所以G是一个群。
读者可以考虑一下,以上运算表是如何作出的。
3.证明,我们也可以用条件Ⅰ,Ⅱ以及下面的条件IV?,V?来做群的
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定义:
IV? G里至少存在一个右逆元a?1,能让
ae=a 对于G的任何元a都成立;
V? 对于G的每一个元a,在G里至