椭圆的焦点弦长公式推导 二级结论

椭圆的焦点弦长公式

F1F2?2ab2222a?ccos?及其应用

在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：

若椭圆的焦点弦F1F2所在直线的倾斜角为?，a、b、c分别表示椭圆的长半轴长、

2ab2222短半轴长和焦半距，则有F1F2?a?ccos?。

上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。

例1、已知椭圆的长轴长AB?8，焦距F1F2?42，过椭圆的焦点F1作一直线交椭圆于P、Q两点，设?PF1X??(0????)，当?取什么值时，PQ等于椭圆的短轴长？

分析：由题意可知PQ是椭圆的焦点弦，且a?4，c?22，从而b?22，故由焦

2ab2222点弦长公式F1F2?a?ccos?及题设可得：

2?4?(22)16?8cos?22?42，解得

cos???2?2，即??arccos2?2或??arccos2?2。

例2、在直角坐标系中，已知椭圆E的一个焦点为F（3，1），相应于F的准线为Y轴，

16?直线l通过点F，且倾斜角为，又直线l被椭圆E截得的线段的长度为，求椭圆E的

35方程。

分析：由题意可设椭圆E的方程为

(x?c?3)a22?(y?1)b22?1，又椭圆E相应于F的

椭圆的焦点弦长公式

F1F2?2ab2222a?ccos?及其应用

在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：

若椭圆的焦点弦F1F2所在直线的倾斜角为?，a、b、c分别表示椭圆的长半轴长、

2ab2222短半轴长和焦半距，则有F1F2?a?ccos?。

上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。

例1、已知椭圆的长轴长AB?8，焦距F1F2?42，过椭圆的焦点F1作一直线交椭圆于P、Q两点，设?PF1X??(0????)，当?取什么值时，PQ等于椭圆的短轴长？

分析：由题意可知PQ是椭圆的焦点弦，且a?4，c?22，从而b?22，故由焦

2ab2222点弦长公式F1F2?a?ccos?及题设可得：

2?4?(22)16?8cos?22?42，解得

cos???2?2，即??arccos2?2或??arccos2?2。

例2、在直角坐标系中，已知椭圆E的一个焦点为F（3，1），相应于F的准线为Y轴，

16?直线l通过点F，且倾斜角为，又直线l被椭圆E截得的线段的长度为，求椭圆E的

35方程。

分析：由题意可设椭圆E的方程为

(x?c?3)a22?(y?1)b22?1，又椭圆E相应于F的

关于抛物线焦点弦的弦长公式补充

(1)已知：抛物线的方程为

y2?2px(p?0)，过焦点F的弦AB交抛物线于A B两点，

且弦AB的倾斜角为?，求弦AB的长。 解：由题意可设直线AB的方程为y?k(x?p?)(??)将其代入抛物线方程整理得：

224k2x2?(4pk?8p)x?12pk122?0 ，且k?tan?

?pk?2p，

x2设A,B两点的坐标为(x,y),(x,y) 则：x?x2212k21x2?p42

|AB|?1?k2(x1?x2)2?4x1x2?2p(sin?)2

当???2时，斜率不存在，sin??1，|AB|=2p.即为通径

而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。

(2)已知：抛物线的方程为

x2?2py(p?0)，过焦点的弦AB交抛物线于A,B两点，

直线AB倾斜角为?，求弦AB的长。

解：设A,B的坐标为(故AB的方程为y?x1,y),(x2,y)，斜率为k(k?tan?)，而焦点坐标为(0,)，

12p2p?kx，将其代入抛物线的方程整理得： 22x2?2pkx?p?0,从而x1?x2?2pk,x1x2??p，

22弦长为：|

直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)

椭圆的简单几何性质(三)直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)

椭圆的简单几何性质(三)前面我们用椭圆方程发现了一些椭圆的 几何性质 , 可以体会到坐标法研究几何图形 的重要作用 , 其实通过坐标法许多几何图形 问题都可以转化为方程知识来处理. 当然具体考虑问题,我们的思维要灵活, 用形直觉,以数解形,数形结合思维这能大大 提高分析问题、解决问题的能力. 本节课 , 我们来学习几个有关直线与椭 圆的综合问题.

直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)

问题1:直线与圆的位置关系有哪几种？

怎么判断它们之间的位置关系？ d=r 几何法： d>r 代数法： <0 =0

d<r

>0

直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)

直线与椭圆的位置关系的判定问题2:椭圆与直线的位置关系？

Ax+By+C=0 代数法 2 2 由方程组： x y 2 1 ----求解直线与二次曲线有 2 a b 2 mx +nx+p=0(m≠ 0) 关问题的通法。

= n2-4mp>0 =0 <0方程组有两解 方程组有一解 方程组无解 两个交点 一个交点 无交

椭圆周长公式的推导、证明、检验、评价与应用

-----------三探椭圆周长的计算（终结篇）

四川省美姑县中学 周钰承

★ 关键词：椭圆周长，标准公式，近似计算，初等公式。

★ 内容提要：本文搜集了各种椭圆周长公式。无论是标准公式还是近似公式，

本文将对部分公式给予证明，或推导，或否定，或检验、评价与应用，希

望广大读者喜欢。

★ 目录：一、椭圆周长标准公式的推导与椭圆周长准确值的计算 二、两个高精度的椭圆周长初等公式 三、椭圆周长公式集锦与评价

一、椭圆周长的标准公式的推导与椭圆周长精确值的计算

宇宙间宏观物体的运动轨迹大都是椭圆，但其周长不能准确的计算出来。经过数学家的计算与证明，最终得出椭圆周长没有准确的初等公式，但可以用椭圆积分的级数形式表示。下面对椭圆周长的一个标准公式进行证明和计算。

在平面直角坐标系内，椭圆的标准方程是：

xa22?yb22?1，a?0,b?0.

参数方程是： x?acos?,y?bsin?,?0???2?? 函数图像为：

若某条光滑曲线，能用参数方程表示：

x?X?t?，y?Y?t?

??t??，该曲线长度可表示为：

L?22????????X't?Y'tdt

圆锥曲线 焦点弦长公式 极坐标参数方程 快 准 稳

圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标方程）

圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?

定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F，设倾斜角为 的直线l经过F，且与圆锥曲线交于A、B两点，记圆锥曲线的离心率为e，通径长为H，则

（1）当焦点在x轴上时，弦AB的长|AB|

H

； 22

|1 ecos |

（2）当焦点在y轴上时，弦AB的长|AB|

推论：

H

.

|1 e2sin2 |

|AB| （1）焦点在x轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，

当A、B不在双曲线的一支上时，|AB|

H

；

1 e2cos2

H

；当圆锥曲线是抛物线时，

e2cos2 1

|AB|

H

. 2

sin

H

；

1 e2sin2

|AB| （2）焦

圆锥曲线 焦点弦长公式 极坐标参数方程 快 准 稳

圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标方程）

圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?

定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F，设倾斜角为 的直线l经过F，且与圆锥曲线交于A、B两点，记圆锥曲线的离心率为e，通径长为H，则

（1）当焦点在x轴上时，弦AB的长|AB|

H

； 22

|1 ecos |

（2）当焦点在y轴上时，弦AB的长|AB|

推论：

H

.

|1 e2sin2 |

|AB| （1）焦点在x轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，

当A、B不在双曲线的一支上时，|AB|

H

；

1 e2cos2

H

；当圆锥曲线是抛物线时，

e2cos2 1

|AB|

H

. 2

sin

H

；

1 e2sin2

|AB| （2）焦

[很全]抛物线焦点弦的有关结论

知识点1：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦。设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则

p2（1）x1x2?；（2）y1y2??p2

4证明：如图，

（1）若AB的斜率不存在时，

p2p依题意x1?x2?,?x1x2?

24A y x o B F p??若AB的斜率存在时，设为k,则AB:y?k?x??，与y2?2px联立，得

2??p?k2p22?222k?x???2px?kx?k?2px??0

24??2??p2p2?x1x2?. 综上：x1x2?.

44yy（2）?x1?1,x2?2，?y12y22?p4?y1y2??p2,

2p2p但y1y2?0,?y1y2??p2 （2）另证：设AB:x?my?p与y2?2px联立，得y2?2pmy?p2?0,?y1y2??p2 222知识点2：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦。设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则（1）AB?x1?x2?p;（2）设直线AB的倾斜角为?，则AB?证明：（1）由抛物线的定义知

ppAF?x1?,BF?x2?,

222p。 sin2?A y ?AB?AF?BF?x1?x2?p （2）若??900

[很全]抛物线焦点弦的有关结论

知识点1：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦。设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则

p2（1）x1x2?；（2）y1y2??p2

4证明：如图，

（1）若AB的斜率不存在时，

p2p依题意x1?x2?,?x1x2?

24A y x o B F p??若AB的斜率存在时，设为k,则AB:y?k?x??，与y2?2px联立，得

2??p?k2p22?222k?x???2px?kx?k?2px??0

24??2??p2p2?x1x2?. 综上：x1x2?.

44yy（2）?x1?1,x2?2，?y12y22?p4?y1y2??p2,

2p2p但y1y2?0,?y1y2??p2 （2）另证：设AB:x?my?p与y2?2px联立，得y2?2pmy?p2?0,?y1y2??p2 222知识点2：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦。设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则（1）AB?x1?x2?p;（2）设直线AB的倾斜角为?，则AB?证明：（1）由抛物线的定义知

ppAF?x1?,BF?x2?,

222p。 sin2?A y ?AB?AF?BF?x1?x2?p （2）若??900

圆锥曲线的极坐标方程

知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹．

以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系．

ep 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： ??.

1?ecos? 其中p是定点F到定直线的距离，p＞0 ． 当0＜e＜1时，方程表示椭圆；

当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；

当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.

ep

1+ecos?则0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线

ep（2 ）若??

1-esin?当 0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线

当 e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线

ep（3）??

1+esin?当 0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口