反函数

【课 题】反函数

【课 时】2节

【授课教材】广东省技工学校教材《数学》第二版 广东教育出版社 【教学目的】1、使学生了解反函数产生的背景，正确理解反函数的定义，

掌握反函数的定义和表示法；

2、会求一些简单函数的反函数及其定义域； 3、理解互为反函数的图象间的关系；

【教学重点】反函数的定义和求法，互为反函数的图象间的关系.； 【教学难点】反函数的定义和求法 【教学方法】讲授法、启发式为主 【教 具】三角尺 【授课过程】

一、复习引入 （10分钟） 1、复习：⑴老师提问：函数的定义

并画图说明y=f(x)含义， 如图

定义域D 值域M

板书题目：⑵快速口头回答下列函数的定义域：①y=x+1; ②y=2x-3;③y=5/(3x-1); ④y=x+2; ⑤y=(x+2)/(2x-1). 2、引入：阅读p18 1、2、3、4段

（讲解）由物体作匀速直线运动的位移公式s=vt,（其中速度v是常量）s是时间t的函数；可以变形为t=s/v，这时，位移s是自变量，时间t是位移s的函数.

又如，

函数的单调性、凹凸性、反函数

C单调性：能准确判断初等函数复合后的函数的单调性，能根据数形

结合解题。

d凹凸性：理解函数图像凹凸性的代数意义，原理就是比较曲线上不

重合两点值域的算术平均数与两点中点的函数值的大小。

比较f?x1??2f?x2??x?x2?与f?1?的大小2??

反函数的几个性质：

1.原函数与反函数单调性一致； 2.原函数与反函数关于y=x对称；

3.原函数的值域是反函数的定义域，原函数的定义域是反函数的值域

?(3a?1)x?4a，x?1f(x)???)上的减函数，那么a的取值范围是 例1．已知 是(??，?logx，x?1a??1??11??1?1? A（0，1） B ?0，? C ?，? D ?，3737??????解析：分段函数是R上的严格递减函数要满足两个条件： 1：分段函数的每一段是递减的； 2：左段函数的最小值?右段函数的最大值；

?(3a?1)x?4a，x?1?f(x)??是R上的严格递减函数，logx，x?1a??3a?1?011???a??0?a?173?(3a?1)?1?4a?log1a? ?

例2. 已知函数f(x)?3?axa?1(a?1)，

函数

§2.4.2 互为反函数的函数图象间的关系

教学目标

1.使学生了解互为反函数的函数图象间的关系

2.通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索、猜想、论证的思维习惯。

教学重点

互为反函数的函数图象间的关系。

教学方法

学生自学

教学过程

（I）复习回顾

师：请同学们回忆一下反函数的定义、反函数的求法。

生：（略）

师：这节课我们来研究互为反函数的函数图象间的关系（板书课题）。

（II）讲授新课

师：同学们对这个内容已经进行了预习，并且亲自动手做函数的图象，能够得出什么结论呢？ 生：（学生作答，教师板书）函数y= f (x)的图象与它的反函数y= f (x)的图象关于直线y=x对称。

师：有没有其它不同意见或者感到困惑的问题呢？

（结合学生的回答，指出注意的问题。）

注意：（1）这个结论是由特殊到一般归纳出来的，未经过严格的证明。为了不增加难度，现在不作证明，以后同学会自己证明的；

（2）这一结论是在同一坐标系下，且横轴（x）与纵轴（y轴）长度单位一致的情况下得出的；

（3）函数y= f (x)与y= f (x)的图象关于直线y=x对称，而不是函数y= f (x)与x= f (y)的图象关于直线y=x对称；

（4）函数y= f (x)和函数x= f (y)图象是同一个图

反比例函数 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关 -1系可以表示成 (k为常数，k≠0）的形式（或y=kx， k≠0），那么称y是x的反比例函数． k1、在反比例函数y=x中，因为x≠0，y≠0所以双曲线与坐标轴无限接近，但永不与x轴y轴 2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】 4、反比例函数中比例系数k的几何意义： k反曲线y=x（k≠0）上任意一点P向两坐标轴作垂线交于A,B 两线PA,PB与坐标轴围成的图形面积 ，即如图： AOBP= S△AOP= 【名师提醒：k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】 5．画反比例函数的图象时要注意的问题： （1）画反比例函数图象的方法是描点法；画反比例函数的图象要注意自变量的取值范围是x≠0，因此，不能把两个分支连接起来； （2）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以，画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势

高中反函数

高中反函数

引 例公里， 公里/小时的速 甲、乙两地相距30公里，某人以 公里 小时的速 乙两地相距 公里 某人以10公里 度从甲地到乙地， 度从甲地到乙地， 1、将路程 s(公里)表示成时间 t(小时)的函数； 、 (公里) (小时)的函数；

2、将时间 t(小时)表示成路程 s(公里)的函数。 、 (小时) (公里)的函数。

高中反函数

定 义反函数的概念： 反函数的概念：一般地，对于函数 y=f (x) ,设它的定义域为D,值域为A, 如果对A中任意一个值 y ,y

在D中总有唯一确定 x 值和它对应，且满足 y=f (x) , 唯一确定的 唯一确定 这样得到的 x 关于 y 的函数叫做 y=f (x) 的反函数 反函数， 反函数 记作：x = f-1

(y)

在习惯上， 表示， 表示， 在习惯上，自变量用 x 表示，而函数用 y 表示，所以把它 改写为： 改写为： y = f -1 ( x ),(x∈A)

高中反函数

探究1)反函数的三要素与原函数的三要素是何关系？ 反函数的三要素与原函数的三要素是何关系？ 三要素与原函数的三要素是何关系

2)反函数的反函数是什么？ 反函数的反函数是什么？

3)任意一个函数都有反函数吗？ 任意一个函数都有反函数吗

反函数在高考中常见题型分析

高考对反函数要求是：理解掌握反函数的概念，明确反函数意义、常见符号、求反函数方法、互为反函数间的关系等.难度不大，但逢试必考.本文归纳整理近年来高考试题中出现的题型,供复习时参考. 1、求原函数的定义域

例1(92高考上海卷)函数f(x)反函数是f(x)?1?x?1?x?0?，求f(x)定义域 解：原出数定义域是反函数值域，f(x)?1?x?1?x?0?的值域是??1,??，故函数f(x)定义域是??1,??

2、求反函数定义域

例2、函数f(x+1)=log(x+2)+x2+2x+3的定义域?1,7?，求反函数定义域 解：f(x+1)的值域?7,68?，f(x+1)与f(x)的值域相同，反函数定义域是?7,68?

注：从另角度看，f(x)=log(x+1)+x2+2的值域是其反函数的定义域，但是此时它的定义域是?2,9?，不要误认为是?1,7?,从而出现f(x)的值域不是?7,68?错误.

3、求函数的值

例3、(2004广西卷)已知函数y?f(x)是奇函数，当x?0时，f(x)?3x?1，设f(x)的反函数是y?g(x)，则g(?8)? .

解：易求当x?0时，f(x)?

归海木心 QQ:634102564

7、反函数

一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）

1．设函数f(x)＝1－1?x2(－1≤x≤0)，则函数y＝f－1(x)的图象是 （ ） A. y B. y 1 C. y D. y 1 1 x 1 O x

－1 －1 －1 O x O 1 x 2．函数y=1－x?1(x≥1)的反函数是 A．y=(x－1)2＋1，x∈R B．y=(x－1)2－1，x∈R C．y=(x－1)2＋1，x≤1

D．y=(x－1)2－1，x≤1

3．若f(x－1)= x2－2x＋3 (x ≤1)，则f－

1(4)等于

A．2 B．1－2 C．－2 D．2－2 4．与

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第三讲函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数

一、函数的单调性：

1、定义：对于给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1,x2∈D,当x1 f(x2)，则称f(x)是区间上的减函数。如果函数y= f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y= f(x)在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f(x)的单调区间。D

2、函数单调性的证明方法：通常根据定义，其步骤是：1）任取x1，x2∈D，且x1

f?x1??f?x2??0??0??增?减? 任意x1,x2∈

x1?x2f?x2??f?x1??0?，并变形，（4）判定f(x1)－ f(x2)的符号，或比f?x1?f?x2?较与1的大小， 4）根据定义作出结论。

f?x1?有

时

也

根

据

导

数

。

（注：逆命题不x?D,f/?x??0?f?x?在D上递增，f/?x??0?f?x?在D上递减。成立）

3、常见函数的单调性：

（1） 一次函数y=kx+b（k≠0） 1）当k>0时，f(x)在R上是增函数。2）当k<0时，f(x)

在R上是减函数。 （2） 二次函数y=ax+bx+c 1）当a>o时，函数f(x)的图象开口向上，在（－∞，－上是减函数，在[－

2b）2ab，＋∞）上是

利用反函数确定新的一元二次方程

数学组 林福凯

经过中学数学教学洗礼的人都会知道：方程的根是由原方程各项的系数决定的。因此，根与系数之间存在着密切的联系！其中就有重要的数学命题——“韦达定理及其逆定理”，即：已知x1,x2是关于x的方程f(x)?ax2?bx?c?0（a,b,c为常数，a?0），以下简称方程f(x)?0，则x1,x2满足x1?x2?反之，y1,y2满足y1?y2??h(y)?ay2ca。

ba,y1?y2?ca，则以y1,y2为根的关于y的方程

?by?c?0（a,b,c为常数，a，以下简称方程h(y)?0。 ?0）

此命题在中学数学教学中占有举足轻重的地位和作用，并在各省，地市高考，中考的数学命题中深受命题者的青睐，因此，数学教学中应强调熟练掌握并会应用它进行解题！

本人经过多年的数学教学总结，研究发现：解决“不解方程，确定一个方程

h(y)?0，使它的两根分别是已知方程f(x)?0两根的什么关系”的类型问题，通

常地，人们采用“韦达定理及其逆定理”知识进行解题，此解法以下简称“韦达定理法”。但笔者认为：并非“韦达定理法”是解决此类问题的唯一捷径！现将研究发现的解决此类问题的新方法——“反函数法”呈现如下：

设x是方程f(x)?

利用反函数确定新的一元二次方程

数学组 林福凯

经过中学数学教学洗礼的人都会知道：方程的根是由原方程各项的系数决定的。因此，根与系数之间存在着密切的联系！其中就有重要的数学命题——“韦达定理及其逆定理”，即：已知x1,x2是关于x的方程f(x)?ax2?bx?c?0（a,b,c为常数，a?0），以下简称方程f(x)?0，则x1,x2满足x1?x2?反之，y1,y2满足y1?y2??h(y)?ay2ca。

ba,y1?y2?ca，则以y1,y2为根的关于y的方程

?by?c?0（a,b,c为常数，a，以下简称方程h(y)?0。 ?0）

此命题在中学数学教学中占有举足轻重的地位和作用，并在各省，地市高考，中考的数学命题中深受命题者的青睐，因此，数学教学中应强调熟练掌握并会应用它进行解题！

本人经过多年的数学教学总结，研究发现：解决“不解方程，确定一个方程

h(y)?0，使它的两根分别是已知方程f(x)?0两根的什么关系”的类型问题，通

常地，人们采用“韦达定理及其逆定理”知识进行解题，此解法以下简称“韦达定理法”。但笔者认为：并非“韦达定理法”是解决此类问题的唯一捷径！现将研究发现的解决此类问题的新方法——“反函数法”呈现如下：

设x是方程f(x)?