行列式计算题型技巧总结

WORD 格式整理

专业技术参考资料 计算技巧及方法总结

一、 一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做

1、二阶行列式

2112221122

211211a a a a a a a a -= 2、三阶行列式

33

3231232221

131211

a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式601504

3

21-

解 =-6

015043

21601??)1(52-?+043??+)1(03-??-051??-624??-

4810--=.58-=

但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。

计算上三角形行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ

ΛΛΛΛ

Λ

Λ221122*********= 下三角形行列式 nn

n n a a a a a a ΛΛΛ

ΛΛΛ

Λ

21222111000.2211nn a a a Λ=

行列式的几种常见计算技巧和方法

2.1 定义法

适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．

00例1 计算行列式

040030020010. 00?24项，但由解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有4！于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是a1j1a2j2a3j3a4j4．显然，如果j1?4，那么a1j1?0，从而这个项就等于零．因此只须考虑j1?4的项，同理只须考虑

j2?3,j3?2,j4?1的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有

??6，所以此项取正号．故 a14a23a32a41，而??432100040030020010??4321?=??1?a14a23a32a41?24. 002.2 利用行列式的性质

即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法

上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：

1

a1100?0a11a21a31?an1a12a220?00a22a32?an21a13?a1na23?a2na33?a3n?a11a22?ann，?00???ann?000?a11a22?ann.

行列式的几种常见计算技巧和方法

2.1 定义法

适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．

00例1 计算行列式

040030020010. 00?24项，但由解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有4！于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是a1j1a2j2a3j3a4j4．显然，如果j1?4，那么a1j1?0，从而这个项就等于零．因此只须考虑j1?4的项，同理只须考虑

j2?3,j3?2,j4?1的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有

??6，所以此项取正号．故 a14a23a32a41，而??432100040030020010??4321?=??1?a14a23a32a41?24. 002.2 利用行列式的性质

即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法

上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：

1

a1100?0a11a21a31?an1a12a220?00a22a32?an21a13?a1na23?a2na33?a3n?a11a22?ann，?00???ann?000?a11a22?ann.

第一章 行列式

行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。

§1.1 n阶行列式定义和性质

1.二阶行列式

定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）

a11a21a12?a11a22?a12a21 a22称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数aij称为行列式的元素,它的第一个下标i称为行标,表明该元素位于第i行,第二个下标j称为列标, 表明该元素位于第

2j列.位于第i行第j列的元素称为行列式的(i,j)元。2阶行列式由2个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!?2项，且正负项的各数相同。

应用：解线性方程

例1：二阶线性方程组

?a11x1?a12x2?b1??a21x1?a22x2?b2 且a11a22?a12a21?0. 解：D?

a11a21a11a12a22b1D1,D?a11a22?a12a21，D1??a11b2?b1a21

x2?D2. Db1b2a12a22?b1a22?a12b2，

D2

特殊行列式及行列式计算方法总结

一、 几类特殊行列式

1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式

a11a21anna12a220n(n?1)2a1n00000?0an1an100an?1,2an20a2,n?1a1na2n?000an10a2,n?100a1n00 0an?1,n?1an?1,nan,n?1ann?(?1)a1na2,n?13. 分块行列式（教材P14例10）

一般化结果：

An0m?n0n?mBmCn?mBmAnCm?n??AnCm?nAn0n?mBm?An?Bm

Cn?mBm0m?n?(?1)mnAn?Bm

4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！

以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算

二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】

1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；

2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；

3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算

——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并

特殊行列式及行列式计算方法总结

一、 几类特殊行列式

1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式

a11a21?ann?(?1)a12?a1na22??0n(n?1)20000?an2????0a2,n?1?an,n?1a1na2n?an?1,nann?000??000a1n00 0?0???00an10?a2,n?1an?1,2?an?1,n?1an1?a1na2,n?1?an13. 分块行列式（教材P14例10）

一般化结果：

An0m?n0n?mBmAnCm?nCn?mBm??AnCm?nAn0m?n0n?mBm?An?Bm

Cn?mBm?(?1)mnAn?Bm

4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！

以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算

二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】

1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；

2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；

3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算

——适用于

行列式的计算方法

摘要：行列式计算的技巧性很强．理论上，任何一个行列式都可以按照定义进行计算，但是直接按照定义计算而不借助于计算机有时是不可能的．本文在总结已有常规行列式计算方法的基础上，对行列式的计算方法和一些技巧进行了更深入的探讨．总结出“定义法”、“化三角形法”、“滚动消去法”、“拆分法”、“加边法”、“归纳法”、“降级法”、“特征值法”等十几种计算技巧和途径． 关键词： 行列式 计算方法

行列式是研究某些数的“有规”乘积的代数和的性质及其计算方法.它起源于解线性方程, 以后逐步地应用到数学的其它领域.行列式的计算通常要根据行列式的具体特点,采用相应的计算方法. 这里介绍几种常见的,也是行之有效的计算方法. 1.对角线法则

对角线法则是行列式计算方法中最为简单的一种，记忆起来很方便，但它只适用于二阶和三阶行列式，四阶及以上的行列式就不能采用此方法． 2.定义法

根据行列式定义可知，如果所求的行列式中含的非零元素特别少(一般不多于2n个) ，可以直接利用行列式的定义求解，或者行列式的阶数比较低(一般是2阶或者3阶) ．如果对于一些行列式的零元素(若有)分布比较有规律，如上(下) 三角形行列式

行列式及其计算

行列式的定义：

a11方法一：n阶行列式Dn?a12a22...an2...a1n...a2n.........ann?p1p2...pna21...an1?(?1)?(p1p2...pn)a1p1a2p2...anpn

（1）n阶行列式是n!项的代数和；（2）每一项是取自不同行不同列的n个元素的乘积

a1p1a2p2...anpn（p1p2....pn是1,2,?,n的一个排列）；（3）当p1p2....pn是偶排列时, a1p1a2p2...anpn带正号, 当p1p2....pn是奇排列时, a1p1a2p2...anpn带负号.

方法二：定义二阶行列式D2=a11a21a12a22=a11a22-a12a21，假设我们已经定义了n?1阶

a11行列式，称由n行n列n个数构成的D?2a12a22...an2...a1n...a2n.........ann为n阶行列式.定义D的值

a21...an1为：D?a1n(?1)1?nM1n?a2n(?1)2?nM2n???ann(?1)n?nMnn

?a1nA1n?a2nA2n???annAnn. 其中Mij是D?aijn中划去元素aij所在的第i行与第j列

行列式计算7种技巧7种手段

【说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读

一7种技巧:

【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式 技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=Da11a21?an1a12a22?an2???a1na2n?ann?a11a12?a1na21a22?a2n???an1an2?annT

技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号 a11a21?an1a12a22?an2???a1na2n?ann??a21a11?an1a22a12?an2???a2na1n?ann

技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面

行列式及其计算

行列式的定义：

a11方法一：n阶行列式Dn?a12a22...an2...a1n...a2n.........ann?p1p2...pna21...an1?(?1)?(p1p2...pn)a1p1a2p2...anpn

（1）n阶行列式是n!项的代数和；（2）每一项是取自不同行不同列的n个元素的乘积

a1p1a2p2...anpn（p1p2....pn是1,2,?,n的一个排列）；（3）当p1p2....pn是偶排列时, a1p1a2p2...anpn带正号, 当p1p2....pn是奇排列时, a1p1a2p2...anpn带负号.

方法二：定义二阶行列式D2=a11a21a12a22=a11a22-a12a21，假设我们已经定义了n?1阶

a11行列式，称由n行n列n个数构成的D?2a12a22...an2...a1n...a2n.........ann为n阶行列式.定义D的值

a21...an1为：D?a1n(?1)1?nM1n?a2n(?1)2?nM2n???ann(?1)n?nMnn

?a1nA1n?a2nA2n???annAnn. 其中Mij是D?aijn中划去元素aij所在的第i行与第j列