高中数学不等式应用题

高中数学复习系列---不等式（柯西不等式）

【柯西不等式的主要内容】 1. 柯西主要贡献简介：

柯西（Cauchy），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等. 2.二维形式的柯西不等式： 若a,b,c,d?R，则 当且仅当 时, 等号成立. 变式1.若a,b,c,d?R，则a2?b2?c2?d20

|ac?bd|或a2?b2?c2?d2ac?bd；

0

变式2.若a,b,c,d?R，则a2?b2?c2?d2(a?c)2?(b?d)2 ；

变式3.（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则： (x1?x2)2?(y1?y2)2?(x2?x3)2?(y2?y3)2?3. 一般形式的柯西不等式：设n为大于1的自然数，

0

ai,bi?R(i?1,2,…,n)，

则： .当且

彝

解题技巧与方法躲I

拇不赘燕窬咿欺篇蕤嘹蟋康◎朱亚呖 (南省衡东县第一中学湖柯西不等式是个非常著名的不等式，新教材中出现在越来越多与之有关的应用 .活而巧妙地运用柯西不等式灵解决相关数学问题，往可以收到事半功倍的效果 .往相关定理柯西不等式是指下面的定理： 定理设 a,, =1 2…, )则 b E R(,, n,一

4 10 ) 24 0

( )果，,≥1 2如 ):且+,++ .

+

:,E: 2i N~ i

≥

、

证明

注意到++

:,由柯西不等式， 2又得

n

H

、

而.

+ - z 1 y 1 -。≥

+

+

(。i≤∑ n ( 6.∑ ) ( ∑ b ) )当数组 a,:…, 6,…,不全为 0时，号成。0, 0,。b, 6等立当且仅当 b=A 1≤n,中 A为实常数 . a(≤i )其二、西不等式的证明柯常用的证明柯西不等式的方法有： 1 .配方法利用判别式证明

丽

而

+

+ V一 (++ 1所不 、 /以 Yz÷ z

等式得证.

若∑。:, n一一n=,等显成 . 0则。: 0不式然立i= 1

2 .求函数的最值 () 1设++=10求 _,,)= x+ y+1z的 Y 0,厂 y ( 3 4 2最大值. 解由柯西不等式，得( x

彝

解题技巧与方法躲I

拇不赘燕窬咿欺篇蕤嘹蟋康◎朱亚呖 (南省衡东县第一中学湖柯西不等式是个非常著名的不等式，新教材中出现在越来越多与之有关的应用 .活而巧妙地运用柯西不等式灵解决相关数学问题，往可以收到事半功倍的效果 .往相关定理柯西不等式是指下面的定理： 定理设 a,, =1 2…, )则 b E R(,, n,一

4 10 ) 24 0

( )果，,≥1 2如 ):且+,++ .

+

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≥

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证明

注意到++

:,由柯西不等式， 2又得

n

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而.

+ - z 1 y 1 -。≥

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(。i≤∑ n ( 6.∑ ) ( ∑ b ) )当数组 a,:…, 6,…,不全为 0时，号成。0, 0,。b, 6等立当且仅当 b=A 1≤n,中 A为实常数 . a(≤i )其二、西不等式的证明柯常用的证明柯西不等式的方法有： 1 .配方法利用判别式证明

丽

而

+

+ V一 (++ 1所不 、 /以 Yz÷ z

等式得证.

若∑。:, n一一n=,等显成 . 0则。: 0不式然立i= 1

2 .求函数的最值 () 1设++=10求 _,,)= x+ y+1z的 Y 0,厂 y ( 3 4 2最大值. 解由柯西不等式，得( x

成都市和圆教育教案

教师： 学生： 年级： 时间: 年 月 日

成都市和圆教育名师 1 对 1 作业辅导

教育专线：65030765 地址：成都青羊区培风东街 435 号(三十七中斜对面)

4.

2008 年 5 月 12 日，汶川发生了里氏 8.0 级地震，给当地人民造成了巨大的损失.某中学全体师生积极 捐款，其中九年级的 3 个班学生的捐款金额如下表：

老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息： 信息一：这三个班的捐款总金额是 7700 元； 信息二：二班的捐款金额比三班的捐款金额多 300 元； 信息三：一班学生平均每人捐款的金额大于 48 元，小于 51 元. .. .. 请根据以上信息，帮助老师解决： (1) 二班与三班的捐款金额各是多少元? (2) 一班的学生人数是多少?

5.

某学校计划组织 385 名师生租车旅游，现知道出租公司有 42 座和 60 座客车，42 座客车的租金为每辆 320 元，60 座客车的租金为每辆 460 元. (1) 若学校单独租用这两种客车各需多少钱? (2) 若学校同时租用这两种客车 8 辆(可以坐不满),而且比单独租用一种车辆节省

1、 某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每

间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。

2、 有10名菜农,每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩,已知甲种蔬菜每亩可收入

0.5万元,乙种蔬菜每亩可收入0.8万元,若要使总收入不低于15.6万元,则应该如何安排人员？

3、 出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内需付10元车费),达到或超过5km

后,每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计),现在某人乘这种出租 汽车从甲地到乙地支付车费17.2元,从甲地到乙地的路程大约是多少?

4、 在双休日,某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园,公司先派一个

人去了解船只的租金情况,这个人看到的租金价格表如下:

那么,怎样设计租船方案才能使所付租金最少?(严禁超载)

5、 (2001安徽)某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的

工人月工资分别为600元和1000元.现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？

6、 某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人月工资分别为

600元和1000元.现要求乙种

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4.

2008 年 5 月 12 日，汶川发生了里氏 8.0 级地震，给当地人民造成了巨大的损失.某中学全体师生积极 捐款，其中九年级的 3 个班学生的捐款金额如下表：

老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息： 信息一：这三个班的捐款总金额是 7700 元； 信息二：二班的捐款金额比三班的捐款金额多 300 元； 信息三：一班学生平均每人捐款的金额大于 48 元，小于 51 元. .. .. 请根据以上信息，帮助老师解决： (1) 二班与三班的捐款金额各是多少元? (2) 一班的学生人数是多少?

5.

某学校计划组织 385 名师生租车旅游，现知道出租公司有 42 座和 60 座客车，42 座客车的租金为每辆 320 元，60 座客车的租金为每辆 460 元. (1) 若学校单独租用这两种客车各需多少钱? (2) 若学校同时租用这两种客车 8 辆(可以坐不满),而且比单独租用一种车辆节省

高中数学压轴题系列——导数专题——超越不等式放缩

1.（2010?大纲版Ⅰ）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．

（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；（Ⅱ）证明：（x﹣1）f（x）≥0． 解：（Ⅰ）

，xf′（x）=xlnx+1，

题设xf′（x）≤x2+ax+1等价于lnx﹣x≤a．令g（x）=lnx﹣x，则

当0＜x＜1，g′（x）＞0；当x≥1时，g′（x）≤0，x=1是g（x）的最大值点，g（x）≤g（1）=﹣1 综上，a的取值范围是[﹣1，+∞）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=﹣1即lnx﹣x+1≤0． 当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x+1=xlnx+（lnx﹣x+1）＜0； 当x≥1时，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）= 所以（x﹣1）f（x）≥0．

2.（2010?大纲版Ⅱ）设函数f（x）=1﹣e﹣x． （Ⅰ）证明：当x＞﹣1时，f（x）≥解：（1）当x＞﹣1时，f（x）≥

；（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤

，求a的取值范围．

=

≥0

当且仅当ex≥1+x 令g（x）=ex﹣x﹣1，则g'（x）=ex﹣1

当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数 当x≤0时g

广东省一级学校-陆丰市林启恩纪念中学亲情奉献,高中数学资料

第一课时 3.1 不等关系与不等式（一）

一、教学目标

1．使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）

产生的实际背景的前提下，能列出不等式与不等式组.

2. 学习如何利用不等式表示不等关系，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；

3．通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，

通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生的学习方式，提高学习质量。

二、教学重、难点

重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理

解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

难点：正确理解现实生活中存在的不等关系. 用不等式（组）正确表示出不等关系。 三、教学过程

（一）[创设问题情境]

问题1：设点A与平面 的距离为d，B为平面 上的任意一点，则d≤AB。

问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。根据市场调查，若单价每提高0.1

元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？ 分析：若杂志的定价为x元，则销售的总

高二数学

不等关系；一元二次不等式的解法同步练习

（答题时间：60分钟）

一、选择题

1、若a，b是实数，且a>b，则下列结论成立的是（ ）

b11

A. a2 b2 B. 1 C. lg(a b) 0 D. ()a ()b

a22

*2、若a<0，－1<b<0，则（ ）

A. a ab ab2 B. ab2 ab a C. ab b ab2 D. ab ab2 a *3、设a>b>1，P

lgalgb,Q

1a b(lga lgb),R lg()，则（ ） 22

A. R<P<Q B. P<Q<R C. Q<P<R D. P<R<Q

2

2） （4， ）*4、若ax2 bx c 0的解集是（ ，，则对于函数f(x) ax bx c 应有（ ）

A. f(5) f(2) f( 1) C. f( 1) f(2) f(5)

B. f(2) f(5) f( 1) D. f(2) f( 1) f(5)

**5、函数f(x)

x 4

的定义域是（ , )，则实数a的取值范围是（ ） 2

ax 4ax

江苏省泰兴中学高一数学教学案(97)

必修5_03 不等式的综合应用

班级 姓名

目标要求

1、 证明不等式的基本思想方法；2、基本不等式的应用； 3、不等式在函数、方程等问题中应用 难点重点

重点：基本不等式的应用

难点：不等式的证明，以及不等式的综合应用 典例剖析

例1．（1）若x?0,y?0，求证：

114??. xyx?y（2）若a?b?c，求证：

114??. a?bb?ca?c例2．若关于x的方程4?a?2?a?1?0有实数解，求实数a的取值范围.

例3、某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一吨产品需要电力、煤、劳动力及产值如下表所示：

品种 甲 乙 电力（千度） 2 8 煤（吨） 3 5 劳动力（人） 产值（千元） 5 2 7 10 xx 1

该厂的劳动力满员200人，根据限额每天用电不得超过160千度，用煤不得超过150吨时，问每天生产这两种产品各几吨，才能创造最大经济价值？

例4．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.求该厂