2021年全国初中数学竞赛试题初二

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第十五讲 相似三角形(一)

两个形状相同的图形称为相似图形，最基本的相似图形是相似三角形．对应角相等、对应边成比例的三角形，叫作相似三角形．相似比为1的两个相似三角形是全等三角形．因此，三角形全等是相似的特殊情况，而三角形相似是三角形全等的发展，两者在判定方法及性质方面有许多类似之处．因此，在研究三角形相似问题时，我们应该注意借鉴全等三角形的有关定理及方法．当然，我们又必须同时注意它们之间的区别，这里，要特别注意的是比例线段在研究相似图形中的作用．

关于相似三角形问题的研究，我们拟分两讲来讲述．本讲着重探讨相似三角形与比例线段的有关计算与证明问题；下一讲深入研究相似三角形的进一步应用．

例1 如图2-64所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．

分析 由于BC是△ABC与△DBC的公共边，且AB∥EF∥CD，利用平行线分三角形成相似三角形的定理，可求EF． 解 在△ABC中，因为EF∥AB，所以

同样，在△DBC中有

①＋②得

设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得

初中数学竞赛试卷（初二年级）

一、选择题（每题4分，共32分，每题仅有一个正确选项，请将正确选项填入表格内 ） 1．直线y?2x?3不经过

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知(a?b)2?8， (a?b)2?12，则a2?b2 的值为

A．4 B． 8 C．10 D．20

3. 某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至少可打

A.7折 B.8折 C.9折 D.9.5折

4. 星期天晚饭后，小红从家里出去散步，如图描述了她散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系，依据图象，下面描述符合小红散步情景的是

A．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了

B．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了 C．从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了

D．从家出发，散了一会儿步，就

2005年全国初中数学联赛决赛试卷

一、选择题：(每题7分，共42分) 1

、化简：

的结果是＿＿。

A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数

2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。 A、78.5 B、97.5 C、90 D、102 3、设r≥4，a＝1－1，b

，

rr+1c

，则下列各式一定成立的是＿＿。

A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a 4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公

切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。 A

、

B

、C

D

5、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，

记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|A、p>q B、p＝q C、p<q D、p、q大小关系不能确定 6、若x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，满足(2005－x1)(2005－x2)(2005

22222

－x3)(2005－x4)(2005－x5)＝24

2003年全国初中数学竞赛 嘉兴市评奖结果公告

2003年全国初中数学竞赛于2003年4月6日举行。嘉兴市由嘉兴市教育局教研室、嘉兴市教育学会中学数学分会、嘉兴市数学会联合组织，共有6270名学生参加了本次竞赛，经成绩评定，确定嘉兴市团体优胜奖15名，个人一等奖68名、二等奖124名、三等奖127名。现将结果公布如下： 团体优胜：

海盐县武原中学 嘉兴三中 邵逸夫中学 嘉善泗洲中学

平湖市东湖中学 求是实验中学 秀洲现代实验学校 桐乡六中 嘉善四中 嘉善一中 海盐县元通中学

嘉兴市洪波中学 嘉兴秀中分校

海宁一中 海盐县实验中学

个人获奖：

分序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

一等奖

姓名 钟 诤 富梦岩 张哲炎 钟 宇 张明杰 李春燕 朱邵伟 黄 锴 彭成彦 周潇薇 陈云霄 罗耀锋 蒋俊文 钱 涛 吕晓峰 诸乾坤 学校 武原中学 武原中学 嘉兴三中 平湖市东湖中学 平湖市东湖中学 平湖市东湖中学 求是实验中学 秀洲现代实验学校 平湖市东湖中学 嘉兴三中 求是实验中学初二 同福初中 秀洲现代实验学校 宏达实验学校 邵逸夫中学 新城中学 1

指导教师 顾玉菊 顾玉菊 俞 震 顾菊根

2011年全国初中数学竞赛试题

考试时间：2011年3月20日9：30——11：30 满分：150分 答题时注意：

1、用圆珠笔或钢笔作答； 2、解答书写时不要超过装订线； 3、草稿纸不上交。

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1、设x?5?3，则代数式x(x?1)(x?2)(x?3)的值为（ ） 2A、0 B、1 C、﹣1 D、2

2、对于任意实数a, b, c, d, 定义有序实数对（a, b）与(c, d)之间的运算“△”为：（a, b）△（c, d）＝（ac+bd, ad+bc）。如果对于任意实数u, v,都有（u, v）△（x, y）＝（u, v）,那么（x, y）为（ ）

A、（0, 1） B、（1, 0） C、（﹣1， 0） D、（0, ﹣1）

3、已知A，B是两个锐角，且满足sin2A?cos2B?t，cos2A?sin2B?t2，则实数t所有可能值的和为（ ）

A、? B、?

1995年全国初中数学联赛试题

第一试

一、选择题

1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［ ]

A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b

A．1 B．2 C．3 D．4 3．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是

4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为 ［ ]

A．62π B．63π C．64π D．65π 5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则 [ ]

A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定 6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则[ ]

A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0 二、填空题

1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。

4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠CAB＝______．

2011 年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

2 2 1．已知 a + b = 2， (1? a) + (1? b)

b

A．1.

B．?1.

a

= ?4，则 ab的值为（

C．? 1 .

）

2

D． .

1

2

2．已知△ ABC的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长 的最大值为( A．5.

)

B．6.

C．7.

)

D．4个 D．8.

2

3．方程| x ?1|= (4 ? 2 3)(x + 2)的解的个数为(

A．1个 B．2个 C．3个

4．今有长度分别为1，2，?，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这 一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有( A．5组.

B．7组.

C．9组.

)

D．11组.

5．如图，菱形 ABCD 中， AB = 3， DF = 1，∠DAB = 60°，∠EFG = 15°， FG ⊥ BC， 则 AE =(

)

B． 6.

C．2 3 ?1.

D．1+ 3.

)

A．1+ 2. 6．已知 +

1 1 + 1 = 1 ， 1 + 1 =

2015年全国初中数学联合竞赛

时间：3月22日第一试：上午8:30--9:30第二试：上午9:50—11:20

第一试（A）

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

a2?b2b2?c2c2?a2b，c满足a?b?c?3，a?b?c?4，则1. 设实数a，???（）

2?c2?a2?bA. 0 B. 3 C. 6 D. 9

222n?，B?m?8，n?，则n?（） 2. 若抛物线y?x2?bx?c与x轴只有一个公共点，且过点A?m，A. 8 B. 12 C. 16 D. 24

3. 矩形ABCD中，AD?5，AB?10，E、F分别为矩形外的两点，BE?DF?4，AF?CE?3，则EF?（）

A.415 B. 15 C.

4. 已知O为坐标原点，位于第一象限的点A在反比例函数y?在反比例函数y??A.

5. 已知实数x，y满足关系式xy?x?y?1，则x2?y2的最小值为（） A.3?22B. 6?42C. 1

2004年全国初中数学竞赛

嘉兴市三等奖

说明：由嘉兴市数学会颁发证书。

4陈5 4647 4 49 50 815 5 52 54 35 5655 78559 6 01662 63 6465 6 667 68 69 7 0 1772 7 374 577 67 78 7798 81 08283 4885 8 86 878 8 909 1 99 93 29

江4如 沈俊 芳富 强 佳沈 许永龙 明 阳陈汪颖 枭方 正 周 波 黄毓灵赵 夏春蕾 胡军瑞 梁一 姚峰舒 海 斌 曹宇音沈 顾振雄李 超琛 刘砾吴佳青 夏珏凌 嘉王 黛嘉沈桢周 静 中佳韩 燕佳史 伟一欣冯 逸张 超佳伟 徐文施 蒋巍亮 金杰卿必 布恩施缪 芸立佳 顾张斯 王吉芳 王旭炳 戎 朕 马维远 张娜超 伟于沁 中范 沈 远 殷琪聪晟 于龙 成王 鉴许 昂 张思杰

新镇中学余嘉 魏善塘中 嘉学善世新学校 纪善嘉新世纪校学嘉 善中一 善一中嘉嘉善 一 中嘉一中 善盐海县官堂学中海盐县秦 山中 学海县通盐元学中 海县武原盐中镇学海盐 县原中学武海盐 县武原中学海 盐元通中县 学海一中 宁波洪学中 嘉兴清中学河 兴嘉三中嘉兴 秀州中学校分 三湾水学中秀 现洲实代

2008年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1．设a2?1?3a，b2?1?3b，且a?b，则代数式

1a2?1b2的值为 （ ）

(A) 5. (B)7. (C) 9. (D)11.

2．如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，若AB?6，BC?5，线段BE的长为 （ ）

(A)185EF?3，则

. (B)4. (C)215. (D)245.

片上的数字3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡

作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（ ）

(A)15. (B)310. (C)25. (D)12.

4．在△ABC中，?ABC?12?，?ACB?132?，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M,N分别在直线AC和直线AB上，则 （ ）