切比雪夫积分不等式证明

切比雪夫不等式证明一、

试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。

分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此 1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布.

解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且 ~XB(1000,1/2).因此 500 2 1

1000=×==npEX, 250) 2

答题完毕，祝你开心! 1 1( 2 1

1000)1(= ××= =pnpDX, 而所求的概率为

}500600500400{}600400{ << =< }100100{< < =EXXP }100{< =EXXP 975.0 100 1 2 = ≥ DX . 二、

切比雪夫(Chebyshev)不等式

对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0,

恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2 切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX|>=ε}

越小，P{|X-EX|<ε

篇一：经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式 篇一

mathwang

几个经典不等式的关系

一 几个经典不等式

（1）均值不等式

设a1,a2,？an?0是实数

a?a?？?a12n ？?？

111n?+？?a1a2an

其中ai?0,i?1,2,？n.当且仅当a1?a2?？?an时，等号成立。

n

（2）柯西不等式

设a1,a2,？an,b1,b2,？bn是实数，则

？a

21

22?a2?？?an?？b12?b22?？?bn2?？?a1b1?a2b2?？?anbn?

2

当且仅当bi?0(i?1,2,？，n)或存在实数k，使得ai?kbi(i?1,2,？，n)时，等号成立。

（3）排序不等式

设a1?a2?？?an，b1?b2?？?bn为两个数组，c1，c2，？，cn是b1，b2,？，bn的任一排列，则

a1b1?a2b2?？?anbn?a1c1?a2c2?？?ancn?a1bn?a2bn?1?？?anb1 当且仅当a1?a2?？?an或b1?b2?？?bn时，等号成立。

（4）切比晓夫不等式

对于两个数组：a1?a2?？?an，b1?b2?？?bn，有

a1b1?a2b2?？?anbn?a1?a2?？?an?？b1?b2?？?bn?a1bn?a2bn?

切比雪夫不等式及其应用

王林（2013080201031）

指导教师：吕恕

摘要：切比雪夫不等式是概率论中的一个重要内容，它是证明切比雪夫大数定律的重要

工具和理论基础。从切比雪夫不等式的证明切入，然后利用切比雪夫不等式证明了切比雪夫大数定律，最后给出了切比雪夫不等式的一些应用，讨论了切比雪夫不等式的概率边界问题。 关键词：切比雪夫不等式 切比雪夫大数定律 实际应用

0.引言

切比雪夫不等式是概率论中的一个重要内容，它不但用于理论证明，而且用于随机变量取值概率的估计，且其推广形式有许多方面的应用。

1.切比雪夫不等式

设随机变量X存在数学期望E(X)和方差D（X)，则对任意实数?有：P{X-E(X)}??}? 证明：（1）设X为离散型随机变量，其分布列为P(X=Xi）=Pi（i=1,2,3...)则P{|X-E(X)|??}=

D(X)?2

|Xi?E(X)|???Pi?1?2?(Xi?E(X))2Pi?i?1?D(X)

?2（2）设X为连续性随机变量，其概率密度为P（X),由于E(X),D(X)均存在

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二维切比雪夫不等式

作者：唐建航

来源：《学习导刊》2013年第10期

摘要：本文根据一维切比雪夫不等式推导出二维切比雪夫不等式 关键字：概率论 切比雪夫不等式 二维切比雪夫不等式

概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变量的“几乎所有”值都会“接近”平均.切比雪夫不等式对任何分布形状的数据都适用.本文简述了二维切比雪夫不等式. 定义一 对于两个随机变量和 记

称作随机变量和的协方差，如果，， 则

称作随机变量和的相关系数.

定理一 切比雪夫不等式 设是某一概率空间，，是非负随机变量.那么，对任意， 证明：注意到

其中是集合的示性函数. 于是，根据数学期望的性质 从而切比雪夫不等式得证.

定理二 已知随机变量，.且其数学期望为和.那么存在

证明 我们知道，对于某一概率空间，是某一随机变量，其值域为如果设，则显然可以表示为

其中为概率空间

第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式本次课讲授第三章第4—8节，方差，协方差、 相关系数与大数定理； 下次课讲授第四章第1-4节：正态分布的密度与 期望方差。 下次上课前完成作业9,上课时交作业P37---40

页重点：方差与协方差 难点：方差协方差与独立相关系数之间的关系

第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式概括各类情况的均值公 式 定义：E ( X ) xi P ( xi ) xP ( x ) i 1

若X连续，则令P ( xi X xi x ) P ( xi ) f ( xi ) xi , E ( X ) xi P ( xi ) xi f ( xi ) xi xf ( x )dxi 1 i 1

x

Y g( X )时，E (Y ) E[ g( X )] g( x ) P ( x ) g( x ) f ( x )dx

Z g( X , Y )时，E g( X , Y ) g( xi , y j ) P ( xi , y j )i j

x

g( x , y ) f ( x , y )dxdy

回顾： 1.原点矩 定义1

南通大学毕业论文

摘 要

在高等数学的学习中,积分不等式的证明一直是一个无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容.对积分不等式的证明方法进行研究不但能够系统的总结其证明方法,还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来.并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力,因此可以提高我们解决问题的效率.本文主要通过查阅有关的文献和资料的方法,对其中的内容进行对比和分析,并加以推广和补充,提出自己的观点.本文首先介绍了两个重要的积分不等式并给出了证明,然后分类讨论了证明积分不等式的八种方法,即利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用积分的性质、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理,最后对全文进行了总结．

关键词：积分不等式,定积分,中值定理,柯西-施瓦兹不等式,单调性

1

南通大学毕业论文

ABSTRACT

When we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skill．In this paper th

浅谈积分不等式的证明

摘 要

积分不等式的证明方法灵活多样，技巧性和综合性较强。每种方法有一定的特色，并且有一定的规律可循。本文综述了积分不等式的若干方法。通过对例题的分析，总结了求积分不等式的常用方法。

这篇文章主要有两部分组成，其一，利用定积分的性质，微分中值定理，积分中值定理，概率论知识，施瓦兹不等式，二重积分等内容，研究了积分不等式的证法。其二，研究了Gronwall积分不等式不同的证明方法并加以应用。更重要的是，对某些积分不等式进行推广。

[关键词]：定积分,概率论，积分不等式，泰勒公式

I

Abstract

The proof of integral inequality is flexible，skillful and complex . Every method has its feature. However, it also has law to obey. The article explains some methods. By analysis course of some examples, I sum up some methods of proving integral inequality.

The art

高校论坛２０１１年第５期 102定积分不等式证明方法的研究张 瑞（宝鸡文理学院 数学系） 摘 要 通过若干范例总结有关定积分不等式的证明方法及规律。主要有定积分的定义、泰勒公式、积分中值定理以及辅助函数 法等方法。 关键词 定积分 积分性质 中值定理 含定积分的不等式的证明是数学分析学习中的一个重点也是一个 难点，一般可以利用定积分的性质、积分中值定理、辅助函数等方法 来证明定积分不等式。证明方法多种多样，本文归纳并列举了几种定 积分不等式的证明方法，主要有利用定积分的定义、泰勒公式、积分 中值定理以及辅助函数法等方法。 １ 利用定积分的定义 主要是利用定积分的定义，将闭区间 通过分割、求和、并 时和的极限，比较积分大小则可通过比较和的极限来实 例１ 证明： 在 上连续，且 ， 。 分析：题中所给的已知条件较少，在这种条件下利用定积分的定 义将区间分割求极限比较简单。 证明：将 等分，可得分割 ， 取 ，并记 ，则 由于 ， ， 当且仅当 号成立。 由于 因而 等号成立。 ２ 利用定积分的性质 分析：由预证不等式中被积函数 式。 证明：由柯西不等式知 与 联想到柯西不等 可积，故令 ，即函数 得 ， 为常值函数时，上式等 ， 为常值函数时，上

积分不等式的证明方法及其应用

【摘要】本文根据定积分的定义、性质、定理等方面简单介绍了几个证明积分

不等式的基本方法，并给出了相应的例题，从而更好地掌握其积分不等式的证明方法。尔后再给出四个重要积分不等式及其证明方法和应用，最后详细举例说明积分不等式在求极限、估计积分、证明积分不等式等上的应用及两个重要积分不等式的应用。

【关键词】积分不等式 Schwarz不等式 Holder不等式 Gronwall不等式

Young不等式

..

1 引言

在学习中，我们常会遇到这样的问题：有些函数可积，但原函数不能用初等函数的有限形式来表达，或者说这种积分“积不出”，无法应用Newton-Leibniz公式求出（如?e?xdx），这时我们只能用其它方法对积分值进行估计，或近似计

012算；另一种情况是，被积函数是没有明确给出，只知道它的结构或某些性质（例如设函数f在?0,1?上连续可微，且f(1)?f(0)?1，求?f'2(x)dx），因此我们希

01望对积分值给出某种估计.为此我们来研究下积分不等式. 我们把含有定积分的不等式称为积分不等式.

?21xlnxdx??21xlnxdx，

??baf(x)coskxdx????2baf(x)sinkxdx?

探讨定积分不等式的证明方法

摘要：文章针对被积函数的特性，给出了几种关于定积分不等式的有效 证明方法。 关键词：定积分不等式证法

不等式的证明在高等数学的学习中很常见，但关于定积分不等式的证明 却一直是一个难点。要证明定积分不等式，首先要看被积函数，其性质确定 证明方法。本文根据被积函数的连续性、单调性、可导性等分别给出几种证 法。

1 .运用定积分中值定理证明

定积分中值定理是将定积分转化为连续函数在该区间上某点的函数值与 该区间长度的乘积，即将定积分转化为函数来证明不等式。

a

例1 ：设f (x)在［0,1］上连续且单调不增，证明a