经济数学定积分计算例题及答案
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经济数学(定积分习题及答案)
经济数学(定积分习题及答案)
第六章 定积分
习题 6-1
2
y x1.利用定积分的定义,计算由抛物线、直线x = a, x = b及x轴所围的图形的面积
S(0 a b).
解 将区间 a,b n等分,则每个小区间的长均为
xi
b a
n
b ab a a (i 1),a i nn ,取小区间的右 于是第i个小区间为 b ab a2
a if( ) (a i)(i 1,2, ,n)ii
n,则n端点为 i,即
a(b a)(b a)22b a
Sn f( i) xi (a 2i i)2
nn ni 1i 1因为
n
n
2
b a n2b an(b a)2
a 2ai n i 1ni 1n2
2 i
i 1 n
b a 2b an(n 1)(b a)2n(n 1)(2n 1)
na 2a 2
nn26n
2a(b a)(n 1)(b a)2(n 1)(2n 1)
(b a) a 2
n6n
而
2a(b a)(n 1)(b a)2(n 1)(2n 1) limSn lim (b a) a n n n6n2
2(b a)2
(b a) a a b a
3
11
(b a)(a2 ab b2) (b3 a3)33
不定积分例题及答案
第4章 不定积分
内容概要 名称 不 定 积 分 不 定 积 分 的 概 念 主要内容 设f(x), x?I,若存在函数F(x),使得对任意x?I均有 F?(x)?f(x) 或dF(x)?f(x)dx,则称F(x)为f(x)的一个原函数。 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分,记为 ?f(x)dx?F(x)?C 注:(1)若f(x)连续,则必可积;(2)若F(x),G(x)均为f(x)的原函数,则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 性 质 性质1:d?f(x)dx??f(x)或d??f(x)dx??f(x)dx; ?????dx性质2:F?(x)dx?F(x)?C或dF(x)?F(x)?C; 性质3:[?f(x)??g(x)]dx??计 算 方 法 第一换元 积分法 (凑微分法) 第二类 换元积 分法 ??? ?f(x)dx???g(x)dx,?,?为非零常数。设f(u)的 原函数为F(u),u??(x)可导,则有换元公式: ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 设x??(t)单调、可导且导数不为零,f[?(t)]??(t)有原
定积分的计算方法
定积分的计算方法
摘要
定积分是积分学中的一个基本问题,计算方法有很多,常用的计算方法有四种:(1)定义法、(2)牛顿—莱布尼茨公式、(3)定积分的分部积分法、(4)定积分的换元积分法。以及其他特殊方法和技巧。本论文通过经典例题分析探讨定积分计算方法,并在系统总结中简化计算方法!并注重在解题中用的方法和技巧。
关键字:定积分,定义法,莱布尼茨公式,换元法
Calculation method of definite integral
Abstract
the integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, (1)definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute method.This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system o
不定积分,定积分复习题及答案
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不定积分、定积分 测验试卷
姓名: 学号: 班级: 成绩:
一、选择题:(每小格3分,共30分)
1、设
sin x x 为()f x 的一个原函数,且0a ≠,则()f ax dx a
?应等于( ) (A )3sin ax C a x +; (B )2sin ax C a x +; (C )sin ax C ax +; (D )sin ax C x + 2、若x
e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +,则()F x =( ) (A )12,0(),0
x x e c x F x e c x -?+≥=?-+;(B ),0()2,0x x e c x F x e c x -?+≥=?-++; (C ),0()2,0x x e x F x e x -?≥=?-+;(D ),0(),0x x e x F x e x -?≥=?-
3、设01,0
()0,0,()()1,0x x f x x F x f t dt x >??===??-
?,则( ) (A )()F x 在0x =点不连续;
(B )()F x 在(,)-∞+∞内连续,在0x =点不可导;
(C )()F x 在(,)-∞+∞内可导,且满足()
定积分(与应用)习题及答案
第五章 定积分
(A层次)
?2031.?sinxcosxdx; 2.?x0a2a?xdx; 3.?223dxx211?x2;
4.?7.?1?1xdx5?4xdx; 5.?4dxx?11; 6.?341dx1?x?1;
e21?dx; 8.?2; 9.?1?cos2xdx;
?2x?2x?20x1?lnx032xsinxdx;10.?xsinxdx; 11.?2?4cosxdx; 12.?4
?5x?2x2?1???2??4454lnx1xdx13.??; 14.; 15.dxxarctgxdx; ?2?10sinxx4?3?016.?2e2xcosxdx; 17.??3?2?xsinx?dx; 18.?sin?lnx?dx; 01?e?019.?2?cosx?cosxdx; 20.?44?sinxxsinxdx; dx; 21.?01?cos2x1?sinx22.?1202??1?x1?xxlndx; 23.?dx; 24.?2lnsinxdx; 40??1?x1?x?25.? (B层次)
??0
高等数学定积分应用习题答案
第六章 定积分的应用
习题 6-2 (A)
1. 求下列函数与 x 轴所围部分的面积: (1)y?x2?6x?8,[0,3] (2)y?2x?x2,[0,3]
2. 求下列各图中阴影部分的面积: 1.
图 6-1
3.求由下列各曲线围成的图形的面积: (1)y?ex,y?e?x与x?1;
(2)y?lnx与x?0,y?lna,y?lnb(b?a?0);
(3)y?2x?x2与y?x,y?0;
(4)y2?2x,y2??(x?1);
(5)y2?4(1?x)与y?2?x,y?0;
(6)y?x2与y?x,y?2x;
(7)y?2sinx,y?sin2x(0?x??);
8)y?x2(2,x2?y2?8(两部分都要计算);
1
4.求由曲线y?lnx与直线y?0,x?e?1,x?e所围成的图形的面积。
5.求抛物线y??x2?4x?3及其在点(0,?3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。 6.求抛物线y2?2px及其在点(p2,p)处的法线所围成的图形的面积。 7.求曲线x?y?a与两坐标轴所围成的图形的面积。
8.求椭圆x2?y2a2b2?1所围图形的面积。
9.求由摆线x?a(t?si
定积分习题及讲解
第四部分 定积分 第 1 页 共 30 页
第四部分 定积分
[选择题]
容易题1—36,中等题37—86,难题87—117。
b1.积分中值定理?a。 f(x)dx?f(?)(b?a),其中( )
(A) ?是[a,b]内任一点;
(B). ?是[a,b]内必定存在的某一点; (C). ?是[a,b]内唯一的某一点; (D). ?是[a,b]的中点。
答B
?x?tf(t)dt??02.F(x)??,2?x?,?cx?0,其中f(x)在x?0处连续,且f(0)?0若F(x)在 x?0x?0处连续,则c?( )。
(A).c?0; (B).c?1; (C).c不存在; (D).c??1. 答A
111n?an?axsindx,(a为常数)由积分中值定理得?nxsindx?a?sin, 3.I?lim?nn??xx?则
I?( )。 (A)lima?sinn??1??lima?sin??a1??a2sin1; a(B).limasin??01??0;
1
第四部分 定积分 第 2 页 共 30 页
(C).lima?sin???1?1?a;
(D).lim
定积分复习3答案
定积分复习3解答
1. 定积分的定义
0011()lim ()lim ()n n
b
a h h k k f x dx f a kh h h f a kh →→===+=+∑∑? 2、定积分的性质
性质1:
?±b a dx x g x f )]()([?=b a dx x f )(?±b a dx x g )( 性质2:??=b
a b
a dx x f k dx x kf )()( (k 为常数) 性质3: 假设b
c a <<?b a dx x f )(??+=b c c a dx x f dx x f )()( 性质4:dx b a ??1dx b a ?=a b -=
性质5: 如果在区间],[b a 上0)(≥x f ,则0)(≥?dx x f b
a )(
b a <
推论:(1)如果在区间],[b a 上)()(x g x f ≤,则
dx x f b a ?)( dx x g b a ?≤)( )(b a < (2)dx x f b
a ?)(dx x f b
a ?≤)( )(
b a < 性质6:设M 和m 分别是)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则
)()()(a b
不定积分例题及标准答案
第4章不定积分
习题4-1
1.求下列不定积分:
知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!
★(1)
思路: 被积函数5
2
x -=,由积分表中的公式(2)可解。
解:53
22
23x dx x C --==-+?
★(2)dx
?
思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:1
14111
3332223()2
4dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?()
思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:22
32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???()
★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:3153
222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++?
思路:观察到422223311311
x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:42232233113arctan 11x
广义积分、定积分应用
第四节 广义积分
在一些实际问题中,我们常遇到积分区间为无穷区间或被积函数为无界函数的积分,它们已经不属于前面所说的定积分,因此,我们需要对定积分作两种推广,从而形成了广义积分的概念. 一. 无穷区间上的广义积分
1.引例1.求下述广义曲边梯形的面积.
(1)由曲线y?e?x,及x轴、y轴所围成的图形的面积(作图) 解:A?limb????b0?x?b??1 edx?lim?1?e?b????(2)由曲线y?ex,及x轴、y轴所围成的图形的面积(作图) 解:A?lima????0axa??1. edx?lim?1?e?a????2.定义1.设函数f?x?在区间?a,???上连续,取b?a.如果极限 lim存在,则称此极限为函数f?x?在区间?a,???上的广义积分,记作?即:???a??b????f?x?dxab
af?x?dx.
f?x?dx?lim??b????f?x?dxab ————(1)
这时,也称广义积分?惯上称为广义积分???aaf?x?dx收敛;如果上述极限不存在,函数f?x?在区间?a,???上的广义积分就没有意义,习
f?x?dx发散.
定义2.设函数f?x?在区间???,b?上连续,取a