经济数学定积分计算例题及答案

经济数学(定积分习题及答案)

第六章 定积分

习题 6－1

2

y x1.利用定积分的定义，计算由抛物线、直线x = a, x = b及x轴所围的图形的面积

S(0 a b).

解 将区间 a,b n等分，则每个小区间的长均为

xi

b a

n

b ab a a (i 1),a i nn ,取小区间的右 于是第i个小区间为 b ab a2

a if( ) (a i)(i 1,2, ,n)ii

n，则n端点为 i，即

a(b a)(b a)22b a

Sn f( i) xi (a 2i i)2

nn ni 1i 1因为

n

n

2

b a n2b an(b a)2

a 2ai n i 1ni 1n2

2 i

i 1 n

b a 2b an(n 1)(b a)2n(n 1)(2n 1)

na 2a 2

nn26n

2a(b a)(n 1)(b a)2(n 1)(2n 1)

(b a) a 2

n6n

而

2a(b a)(n 1)(b a)2(n 1)(2n 1) limSn lim (b a) a n n n6n2

2(b a)2

(b a) a a b a

3

11

(b a)(a2 ab b2) (b3 a3)33

第4章 不定积分

内容概要 名称 不 定 积 分 不 定 积 分 的 概 念 主要内容 设f(x)， x?I，若存在函数F(x)，使得对任意x?I均有 F?(x)?f(x) 或dF(x)?f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，记为 ?f(x)dx?F(x)?C 注：（1）若f(x)连续，则必可积；（2）若F(x),G(x)均为f(x)的原函数，则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 性 质 性质1：d?f(x)dx??f(x)或d??f(x)dx??f(x)dx； ?????dx性质2：F?(x)dx?F(x)?C或dF(x)?F(x)?C； 性质3：[?f(x)??g(x)]dx??计 算 方 法 第一换元 积分法 （凑微分法） 第二类 换元积 分法 ??? ?f(x)dx???g(x)dx，?,?为非零常数。设f(u)的 原函数为F(u)，u??(x)可导，则有换元公式： ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 设x??(t)单调、可导且导数不为零，f[?(t)]??(t)有原

定积分的计算方法

摘要

定积分是积分学中的一个基本问题，计算方法有很多，常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法。以及其他特殊方法和技巧。本论文通过经典例题分析探讨定积分计算方法，并在系统总结中简化计算方法！并注重在解题中用的方法和技巧。

关键字：定积分，定义法，莱布尼茨公式，换元法

Calculation method of definite integral

Abstract

the integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, (1)definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute method.This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system o

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不定积分、定积分 测验试卷

姓名： 学号： 班级： 成绩：

一、选择题：（每小格3分，共30分）

1、设

sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a

?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x

e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0

x x e c x F x e c x -?+≥=?-+

3、设01,0

()0,0,()()1,0x x f x x F x f t dt x >??===??-

?，则（ ） （A ）()F x 在0x =点不连续；

（B ）()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导；

（C ）()F x 在(,)-∞+∞内可导，且满足()

第五章 定积分

(A层次)

?2031．?sinxcosxdx； 2．?x0a2a?xdx； 3．?223dxx211?x2；

4．?7．?1?1xdx5?4xdx； 5．?4dxx?11； 6．?341dx1?x?1；

e21?dx； 8．?2； 9．?1?cos2xdx；

?2x?2x?20x1?lnx032xsinxdx；10．?xsinxdx； 11．?2?4cosxdx； 12．?4

?5x?2x2?1???2??4454lnx1xdx13．??； 14．； 15．dxxarctgxdx； ?2?10sinxx4?3?016．?2e2xcosxdx； 17．??3?2?xsinx?dx； 18．?sin?lnx?dx； 01?e?019．?2?cosx?cosxdx； 20．?44?sinxxsinxdx； dx； 21．?01?cos2x1?sinx22．?1202??1?x1?xxlndx； 23．?dx； 24．?2lnsinxdx； 40??1?x1?x?25．? (B层次)

??0

第六章 定积分的应用

习题 6-2 (A)

1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积： (1)y?x2?6x?8,[0,3] (2)y?2x?x2,[0,3]

2． 求下列各图中阴影部分的面积： 1.

图 6-1

3．求由下列各曲线围成的图形的面积： (1)y?ex,y?e?x与x?1;

(2)y?lnx与x?0,y?lna,y?lnb(b?a?0);

(3)y?2x?x2与y?x,y?0;

(4)y2?2x,y2??(x?1);

(5)y2?4(1?x)与y?2?x,y?0;

(6)y?x2与y?x,y?2x;

(7)y?2sinx,y?sin2x(0?x??);

8)y?x2(2,x2?y2?8（两部分都要计算）;

1

4．求由曲线y?lnx与直线y?0,x?e?1,x?e所围成的图形的面积。

5．求抛物线y??x2?4x?3及其在点(0,?3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。 6．求抛物线y2?2px及其在点(p2,p)处的法线所围成的图形的面积。 7．求曲线x?y?a与两坐标轴所围成的图形的面积。

8．求椭圆x2?y2a2b2?1所围图形的面积。

9．求由摆线x?a(t?si

第四部分 定积分 第 1 页 共 30 页

第四部分 定积分

[选择题]

容易题1—36，中等题37—86，难题87—117。

b1．积分中值定理?a。 f(x)dx?f(?)(b?a)，其中（ ）

(A) ?是[a,b]内任一点；

(B). ?是[a,b]内必定存在的某一点； (C). ?是[a,b]内唯一的某一点； (D). ?是[a,b]的中点。

答B

?x?tf(t)dt??02．F(x)??,2?x?,?cx?0,其中f(x)在x?0处连续，且f(0)?0若F(x)在 x?0x?0处连续，则c?（ ）。

(A).c?0; (B).c?1; (C).c不存在； (D).c??1. 答A

111n?an?axsindx,(a为常数）由积分中值定理得?nxsindx?a?sin， 3．I?lim?nn??xx?则

I?（ ）。 (A)lima?sinn??1??lima?sin??a1??a2sin1; a(B).limasin??01??0;

1

第四部分 定积分 第 2 页 共 30 页

(C).lima?sin???1?1?a;

(D).lim

定积分复习3解答

1. 定积分的定义

0011()lim ()lim ()n n

b

a h h k k f x dx f a kh h h f a kh →→===+=+∑∑? 2、定积分的性质

性质1：

?±b a dx x g x f )]()([?=b a dx x f )(?±b a dx x g )( 性质2：??=b

a b

a dx x f k dx x kf )()( (k 为常数) 性质3： 假设b

c a <<?b a dx x f )(??+=b c c a dx x f dx x f )()( 性质4：dx b a ??1dx b a ?=a b -=

性质5： 如果在区间],[b a 上0)(≥x f ，则0)(≥?dx x f b

a )(

b a <

推论：（1）如果在区间],[b a 上)()(x g x f ≤，则

dx x f b a ?)( dx x g b a ?≤)( )(b a < （2）dx x f b

a ?)(dx x f b

a ?≤)( )(

b a < 性质6：设M 和m 分别是)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值，则

)()()(a b

第4章不定积分

习题4-1

1.求下列不定积分：

知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分!

★(１）

思路: 被积函数5

2

x -=,由积分表中的公式（2)可解。

解:53

22

23x dx x C --==-+?

★（2）dx

?

思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项，分别积分。

解:1

14111

3332223()2

4dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+???? ★（3)22x x dx +?（）

思路：根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。

解:22

32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（）

★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,分别积分。

解：3153

222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★（5)4223311x x dx x +++?

思路:观察到422223311311

x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解：42232233113arctan 11x

第四节 广义积分

在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间或被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前面所说的定积分，因此，我们需要对定积分作两种推广，从而形成了广义积分的概念. 一. 无穷区间上的广义积分

1.引例1.求下述广义曲边梯形的面积.

（1）由曲线y?e?x，及x轴、y轴所围成的图形的面积（作图） 解：A?limb????b0?x?b??1 edx?lim?1?e?b????（2）由曲线y?ex，及x轴、y轴所围成的图形的面积（作图） 解：A?lima????0axa??1. edx?lim?1?e?a????2．定义1.设函数f?x?在区间?a,???上连续，取b?a.如果极限 lim存在，则称此极限为函数f?x?在区间?a,???上的广义积分，记作?即：???a??b????f?x?dxab

af?x?dx.

f?x?dx?lim??b????f?x?dxab ————（1）

这时，也称广义积分?惯上称为广义积分???aaf?x?dx收敛；如果上述极限不存在，函数f?x?在区间?a,???上的广义积分就没有意义，习

f?x?dx发散.

定义2.设函数f?x?在区间???,b?上连续，取a