量子力学第二章作业答案

姓名 __________ 学号 ____________ 《大学物理Ⅰ》答题纸 第二章

第二章 力学 一．选择题

1【基础训练4】、如图2-14，物体A、B质量相同，B在光滑水平桌面上．滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不计．系统无初速地释放，则物体A下落的加速度是 (A) g. (B) 4g/5 .

B (C) g/2 . (D) g/3 . Tb?mbab,mag?Ta?maa,4g Tb?2Ta,ab?aa/2,aa?.5A 2【自测1】、在升降机天花板上拴有轻绳，其下端系一重物，当升降机以加速度a1上升时，绳中的张力正好等于绳子所能承受的最大张力的一半，问升降机以多大加速度上升时，绳子刚好被拉断？

(A) 2a1． (B) 2(a1+g)．

(C) 2a1＋g． (D) a1＋g．

［C］

m T?mg?ma物对地?m（a物对机?a机对地）?ma1T?Tmax2Tm

第二章 波函数与Schr?dinger方程

2.1设质量为m的粒子在势场V(r?)中运动。 （a）证明粒子的能量平均值为 E??d3r??，

???2?*???*2m?V? （能量密度）

（b）证明能量守恒公式 ?w???2???s?0s?????**??t?2m??t??????t?????（能流密度） ?证：（a）粒子的能量平均值为（设?已归一化）

??2E???*??2????V??2m??d3r?T?V （1） ?V??d3r?*V? （势能平均值） （2）

T??d3r?*?????22???(动能平均值)?2m???

2???3*2m?dr?????*??????????????其中T的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。T??23??*2m?dr??? （3）

2结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度???**2m???????V?, （4）

且能量平均值 E??d3r?

? ? ? ? ? ? ? 第一章 绪论

第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 力学量的算符表示 第四章 态和力学量的表象 第五章 微扰理论 第六章 弹性散射

第七章 自旋和全同粒子

?301.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：?mT?b, b?2.9?10m?C。

证明：由普朗克黑体辐射公式：

8?h?31 ??d??d?， h?3c ekT?1c c及?? 、d???2d?得 ?? 8?hc1?? ?5， hc?e?kT?1

d?hc令x? ，再由??0，得?.所满足的超越方程为 ?d? kTxex 5?x e?1

hc x?4.97，即得用图解法求得?4.97，将数据代入求得?mT?b, b?2.9?10?3m?0C ?mkT

1.2．在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie波长. 0hh?10解：? ???7.09?10m?7.09A p2mE

# 3E?kT，求T?1K时氦原子的de Broglie波长。 1.3. 氦原子的动能为 2 h0hh?10??12.63?10m?12.63A 解：? ??p2mE3mkT ?23?1其中m?4.003?1.66?10?27kg，k?1.38?10J

第二章 平面汇交力系与平面力偶系

一、判断题

1. 两个力F1、F2在同一轴上的投影相等，则这两个力大小一定相等。 （ ） 2. 两个力F1、F2大小相等，则它们在同一轴上的投影大小相同。 （ ） 3. 力在某投影轴方向的分力总是与该力在该轴上的投影大小相同。 （ ） 4. 平面汇交力系的平衡方程中，选择的两个投影轴不一定要满足垂直关系。 （ ） 5．力偶各力在其作用平面上任意轴上投影的代数和都等于零。 （ ） 6. 因为构成力偶的两个力满足F＝－F′，所以力偶的合力等于零。 （ ） 7．在图7中圆轮在力偶矩为M的力矩和力F的共同作用下保持平衡，则说明一个力偶可由一适合的力平衡。 （ ）

F O W

题7图

题10图

二、填空题

1.平面汇交力系平衡的几何条件是 ；平衡的解析条件是 。

2.平面内两个力偶等效的

量子力学习题答案

1.2 在0k附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E?h?； p?h/?

由于所考虑的电子是非相对论的电子（Ek(3eV)??ec2(0.51?10?6)），故： E?P2/(2?e)

??h/p?h/2?eE?hc/?6?92?ecE62

?1.24?10?0.71?10/2?0.51?10?3 m?0.71nm1.3氦原子的动能是E=1.5kT，求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当T?1K时，其能量为 E?于是有

??h/p?h/2?HeE?3432kT?32?1.381?10?23J?K?1?1K?2.07?10?23J

?6.626?102?6.690?10?27J?s?23 ?1.26nmJkg?2.07?10

一维谐振子处于?(x)?Ae??2x/22状态中，其中?为实常数，求：

???1.归一化系数；2.动能平均值。（?解：1.由归一化条件可知：

???e??x22dx??/?）

??(

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长?m与温度T成反比，即

； ?m T=b（常量）

并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

8?hv3?vdv?3?c1hvkTdv， （1）

e?1以及 ?v?c， （2）

?vdv???vd?， （3）

有

dvd??c?d????????v(?)d?

?(?)?v?c??????8?hc?5??1ehc?kT,?1这里的??的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，??取得极大值，因此，就得要求?? 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作?m。但要注意的是，还需要验证??对λ的二阶导数在?m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的?m就是要求的，具体如下：

???'8?hc?6?e1hc?kT?hc1??5??hc???kT??kT?1?1?e11?ehc?hc?kT???0 ???? ?5?hc

宝鸡文理学院试题

课程名称 量子力学 适用时间 2008-7-7 试卷类别 A 适用专业 05级物理学1、2、3班

注意事项:

1. 所有题目的答卷必须写在答题纸上

2. 证明题和计算题必须写出主要过程

一、填空题 (每小题2分，2×5＝10分)

１、玻尔原子模型的三个假设是（ ）。 ２、波函数的标准条件为（ ）。 ３、正交归一方程umund???mn的狄拉克表示为（ ）。 4、动量表象下的坐标算符表示形式（ ）。

?*?2和L?的共同本征函数为（ ）5、L。 z二、单项选择题（每小题2分，2×5＝10分）

１、?与?对易，则两算符：

(1)有组成完全系的共同本征函数； （2）没有组成完全系的共同本征函数； (3) 不能确定。

２、自由粒子能级的简并度为：

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长?m与温度T成反比，即

； ?m T=b（常量）

并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

8?hv3?vdv?3?c1hvkTdv， （1）

e?1以及 ?v?c， （2）

?vdv???vd?， （3）

有

dvd??c?d????????v(?)d?

?(?)?v?c??????8?hc?5??1ehc?kT,?1这里的??的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，??取得极大值，因此，就得要求?? 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作?m。但要注意的是，还需要验证??对λ的二阶导数在?m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的?m就是要求的，具体如下：

???'8?hc?6?e1hc?kT?hc1??5??hc???kT??kT?1?1?e11?ehc?hc?kT???0 ???? ?5?hc

量子力学习题答案

1.2 在0k附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E?h?； p?h/?

由于所考虑的电子是非相对论的电子（Ek(3eV)??ec2(0.51?10?6)），故： E?P2/(2?e)

??h/p?h/2?eE?hc/?6?92?ecE62

?1.24?10?0.71?10/2?0.51?10?3 m?0.71nm1.3氦原子的动能是E=1.5kT，求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当T?1K时，其能量为 E?于是有

??h/p?h/2?HeE?3432kT?32?1.381?10?23J?K?1?1K?2.07?10?23J

?6.626?102?6.690?10?27J?s?23 ?1.26nmJkg?2.07?10

一维谐振子处于?(x)?Ae??2x/22状态中，其中?为实常数，求：

???1.归一化系数；2.动能平均值。（?解：1.由归一化条件可知：

???e??x22dx??/?）

??(

量子力学的变分法-量子力学的变分法

　　当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。　　
量子力学的变分法-量子力学的变分法
解薛定谔方程的一种应用范围极广的近似方法
对于束缚定态
它是基于能量本征值方程（即不含时间的薛定谔方程）与能量变分原理的等价性
通过求能量的极值得到能量本征值方程的解
在处理具体问题时
总是采用波函数某种特殊的变化去代替最普遍的任意变分
这样就可得到依赖于波函数特殊形式的近似解
这种方法称为变分法

　　若体系的哈密顿量算符为彑
其能量本征值方程为

(1)
该体系的能量平均值
(2)
是波函数φ的泛函
式中表示对体系全部坐标积分
可以证明
求彑的本征值方程
等价于求解
(3)
也就是满足变分原理(3)的φ为彑的本征函数
唕的极值为所对应的本征值
即
(4)
　　这样
如果能猜测到一个φ正好满足式(1)
则由式(2)所得的唕【φ】等于E
如果猜测的φ与ψ 略有不同
则唕【φ】必定大于E
因而唕【φ】总是给出唕的一个上限
当做了多次猜测之后
其中最小的唕一定是这些猜测中最好的
这样就把最小的唕取作E的近似值
应用以上手续可得到一种通过猜测去计算能量近似值的方法
改善波函数通常是通过一个含连续参数的特殊形式的波函数φ(q
α1
α2
α3
...)来实现