高考圆锥曲线经典例题及答案解析

轨迹方程经典例题

一、轨迹为圆的例题：

1、 必修2课本P124B组2：长为2a的线段的两个端点在x轴和y轴上移动，求线段AB的中点M的轨迹方程：

必修2课本P124B组：已知M与两个定点（0,0），A（3,0）的距离之比为

1，求点M的轨迹方程;（一般地：必修2课2本P144B组2：已知点M(x,y)与两个定点M1,M2的距离之比为一个常数m；讨论点M(x,y)的轨迹方程（分m=1，与m?1进行讨论）

2、 必修2课本P122例5：线段AB的端点B的坐标是（4,3），端点A在圆

BMA(x?1)2?y2?1上运动，求AB的中点M的轨迹。

（2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23。 （1）求圆心的P的轨迹方程；

（2）若P点到直线y?x的距离为

2，求圆P的方程。 2

如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR

轨迹方程经典例题

一、轨迹为圆的例题：

1、 必修2课本P124B组2：长为2a的线段的两个端点在x轴和y轴上移动，求线段AB的中点M的轨迹方程：

必修2课本P124B组：已知M与两个定点（0,0），A（3,0）的距离之比为

1，求点M的轨迹方程;（一般地：必修2课2本P144B组2：已知点M(x,y)与两个定点M1,M2的距离之比为一个常数m；讨论点M(x,y)的轨迹方程（分m=1，与m?1进行讨论）

2、 必修2课本P122例5：线段AB的端点B的坐标是（4,3），端点A在圆

BMA(x?1)2?y2?1上运动，求AB的中点M的轨迹。

（2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23。 （1）求圆心的P的轨迹方程；

（2）若P点到直线y?x的距离为

2，求圆P的方程。 2

如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR

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圆锥曲线考点——例题

考点一 求圆锥曲线方程

求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结

合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理

运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法. ●典例探究 ［例1］某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A 、A ′是双曲线的顶点，C 、C ′是冷却塔上口直径的两个端点，B 、B ′是下底直径的两个端点，已知AA ′=14 m ，CC ′=18 m,BB ′=22 m,塔高

20 m. 建立坐标系并写出该双曲线方程. ［例2］过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为2

2

的椭圆C

相交于A 、B 两点，直线y =2

1

x 过线段AB

的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程

. ［例3］如图，已知△P 1OP 2的面积为

4

27

，P 为线段P 1P 2的一个三等分点，求以直线OP 1、OP 2为渐近线且过

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2008年高考数学曲线方程及圆锥曲线典型例题解析

一．知识要点

1．曲线方程

（1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下： 步 骤 1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标。 含 义 建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标。 说 明 (1) 所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。 (2) 没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系。 2、现(限)：由限制条写出适合条件P的点M这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析件，列出几何等式。 的集合P={M|P(M)} 题意，使写出的条件简明正确。 3、“代”：代换 4、“化”：化简 5、证明 用坐标法表示条件常常用到一些公式。 P(M)，列出方程f(x,y)=0 化方程f(x,y)=0为最简形式。 证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 要注意同解变形。 化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。 这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化” （2）求曲线方程的常见方法： 直接法：

每天一有时间就写，吃饭的时候就边吃边看高考题，这种疯狂为一件事而努力的感觉真的很好！

今天先发辅导书开头部分的一小节，只是其中的一点点内容，不过其他部分也都是这种形式，其他的就不发了，主要是让大家看下这种形式好不好。

这本辅导书不是一个练习册，而是高中数学解题指导，我个人认为可以将其作为一个“字典”，里面涵盖了绝大部分常见题目的解决办法。

普通的辅导书对于题目只是枯燥套话性质的分析，但这本书的分析（也就是【黑夜语】以及答案解析中穿插的评论）却是我一个字一个字的心血，比如说答案是这么做的，那为什么想到这么做？别的辅导书没有讲，而我重点讲为什么这么做！

由于题量太大的话意义也不大，所以决定只选用10、11年高考题目，对于核心考点（比如圆锥曲线、数列等解答题），会选90%以上的题目，也就是说近两年基本所有该类高考题都会选中（除非某道题意义实在不大才不选），对于不是特别核心的知识，就会选40%-60%左右的题目。里面会著名是哪年哪地的考题，并且题号不变，这样大家可以根据其题号来大致明白此题的难度。（毕竟最后两道题往往是压轴题，前面的题难度会小一点。）

我有自信，如果能将这本书反复看个七八遍，对于里面的每一种情况都熟练到信手拈来的地步，对于里面的【黑夜

9.1 椭 圆

典例精析

题型一 求椭圆的标准方程

45

【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和

325

，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 3

x23y23x2y2

【解析】故所求方程为＋＝1或＋＝1.

510105

【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)；(2)在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.

【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下：

x2y2

据此，可推断椭圆C1的方程为 . ＋＝1.

126题型二 椭圆的几何性质的运用

【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；

(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 1

【解析】(1)e的取

名思教育圆锥曲线专题训练

一．解答题（共30小题）

1．在平面直角坐标系中，已知动点M（x，y），点A（0，1），B（0，﹣1），D（1，0），点N与点M关于直线y=x对称，且（1）求动点M所在曲线C的轨迹方程； （2）设直线l与曲线C交于G、H两点，且|GH|=

，求直线l的方程；

．直线l是过点D的任意一条直线．

（3）若直线l与曲线C交于G、H两点，与线段AB交于点P（点P不同于点O、A、B），直线GB与直线HA交于点Q，求证：

是定值．

，F是右焦点，A是右顶点，

2．如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|=（1）求椭圆C的方程；

．

（2）设直线l：x=ty+λ是椭圆C的一条切线，点M（﹣，y1），点N（，y2）是切线l上两个点，证明：当t、λ变化时，以 M N为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．

3．已知椭圆C1：x+4y=1的左、右焦点分别为F1、F2，点 P是C1上任意一点，O是坐标原点，

=

+

，设点Q的轨迹为C2．

2

2

（1）求点Q的轨迹C2的方程； （2）若点 T满足：

=

+2

+

，其中 M，N是C2上的点，且直线 O M，O N的斜率之

积等于﹣，是否存在两定点 A，B，

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圆锥曲线常见习题及解析

（经典版）

1

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椭圆 一、选择题：

x2y2x2y2??1,双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点,1.已知椭圆方程43ab则双曲线的离心率为

A.2 B.3 C. 2 D. 3

x2y22．双曲线2?2?1(a?0,b?0) 的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1,l2，点P在第

ab一象限内且在l1上，若l2⊥PF1，l2//PF2，则双曲线的离心率是 A．5 【答案】B

B．2

C．3 （ ） D．2 bbx，l2:y??x，因为点P在第aa1一象限内且在l1上，所以设P(x0,y0),x0?0，因为l2⊥PF1，所以PF1?PF2，即OP?F1F2?c，l2//PF2，

2bb222即x02?y02?c2，又y0?x0，代入得x0?(x0)?c，解得x0?a,y0?b，即

第 13 页 圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆

一、椭圆定义

定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a ）

椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=e ）

定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2k e 1=-）

二、椭圆的性质定理

长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理①

准线方程准焦距，a 方、b 方除以c ②

通径等于 2 e p ，切线方程用代替③

焦三角形计面积，半角正切连乘b ④

注

解：

1长轴2a =，短轴2b =，焦距2c =，则：222a b c =

+

2准线

方程：2

a x c = （a 方除以c ）

3椭圆的通径d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距

第 13 页

离称为椭圆的通径.（通径22

c b 2b 2a c a

d 2ep =??==）

过椭圆上00x y (,)点的切线方程，用00x y (,)等效代替椭圆方程得到.

等效代替后的是切线方程是：0022x x y y

1a b

+=

4、焦三角形计面积，半角正切连乘b

焦三角形：以椭圆的两个焦点12F F ,为顶点，另一个顶点P 在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12F PF θ=∠的一半.

则焦三角形的面积为：2

S b 2

tan

θ

=

证明：设1PF m =，2PF n =，则m n

圆锥曲线

1. 【2015高考新课标1，文5】已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为

1，E的右焦点与2抛物线C:y2?8x的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，则|AB|? ( ) （A）3 （B） 6 （C） 9 （D）12

x2y22.【2015高考重庆，文9】设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点是F，左、右顶点分别

ab是A1,A2,过F做A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点，若A1B?A2C,则双曲线的渐近线的斜率为（ ） (A)?12 (B) ? (C) ?1 (D) ?2 222y2?1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的3.【2015高考四川，文7】过双曲线x?3两条渐近线于A,B两点，则|AB|?( )

(A)

43 (B) 23 (C) 6 (D) 43 34.【2015高考陕西，文3】已知抛物线y2?2px(p?0)的准线经过点(?1,1)，则抛物线焦点坐标为（ ）

A．(?1,0) B．(1,0) C