热传导与热扩散

第八章 热传导方程的傅里叶解

第一节 热传导方程和扩散方程的建立

8.1.1 热传导方程的建立

推导热传导方程和前面弦振动所用的数学方法完全相用，不同之处在于具体的物理规律不同。这里用到的是热学方面的两个基本规律，即能量守恒和热传导的傅里叶实验定律。

热传导的傅里叶实验定律：设有一块连续的介质，选定一定的坐标系，并用(,,,)u x y z t 表示介质内空间坐标为的一点在t 时刻的温度。若沿x 方向有一定的温度差，在x 方向也就一定有热量的传递。从宏观上看，单位时间内通过垂直x 方向的单位面积的热量q 与温度的沿x 方向的空间变化率成正比，即

x u q k x

?=-? （8-1.1） q 称为热流密度，k 称为导热系数。公式中的负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相反，即热量由高温流向低温。

研究三维各向同性介质中的热传导，在介质中三个方向上存在温度差，则有

x u q k x ?=-?，y u q k y ?=-?，z u q k z

?=-? 或

即热流密度矢量q r 与温度梯度u ?成正比。

下面以一维均匀细杆为例，根据傅里叶实验定律和能量守恒定律推导介质中的热传导方程。

第一步，定变量。研究介质

圆盘内的热传导问题

蔡晓君 物理学3班 20082301097

1、引言

圆盘内的热传导问题是学习中常见的问题，本文通过建立模型并详细的解答问题，得出了此模型的通解，并通过画图对圆盘内温度分度规律进行了探究。对我们生活及生产中热传导现象有实际的理解帮助。

2、模型介绍及问题的提出

圆盘内的热传导问题模型如下，设有半径为1的薄均匀圆盘，边界上的温度为0，初始时刻圆盘内温度分布为1-r，其中r是圆盘内任一点的集半径，求圆盘内温度分布规律。 圆域内求解问题，才用极坐标较方便，考虑到定解问题与?无关，故温度U只是r，t的函数，由题意得，归结为下列定解问题

2?u?u1?u2?a(2?) r<1,t>0 ?t?rr?r2Ut?1?0 r?1 Ut?0?1?r2 r?1

运用分离变量法 令U（r,t）=F(r)T(t)

? F(r)T(t)? = a T(t)[F??（r）21F?(r)] r1??（r） F? F?(r) T?(t)r即2? aTF1??（r） F? F?(r) T?(t)r令2?=?? aTF则可得 rF??（r）?rF?(r)??rF(r)?0……① T?(t)??aT(t)?0……②

对②

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第二章

稳态热传导

油气储运工程--- Oil & gas storage and transportation engineering

传热学

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1、重点内容： ① 傅立叶定律及其应用； ② 导热系数及其影响因素；

③ 导热问题的数学模型。2、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法 3、了解内容：多维导热问题油气储运工程--- Oil & gas storage and transportation engineering2

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§2-1 导热基本定律一 、几个术语 1 、温度场 (Temperature field) 温度场是指在各个时刻物体内各点温度所 组成的集合，又称温度分布。 一般的，物体的温度分布是坐标和时间的 函数： t f x, y, z, 其中

x, 为空间坐标， 为时间坐标。 y, z 油气储运工程--- Oil & gas storage and transportation engineering3

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温度场分类 1 )稳态温度场(定常温度场)

(Steady-state conduction)是

热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达：

其中：

?

u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量 t 与 空间变量 (x,y,z) 的函数。

? ? ?

/,

是空间中一点的温度对时间的变化率。 与

温度对三个空间座标轴的二次导数。

k 决定于材料的热传导率、密度与热容。

热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。

如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定 u 的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。

热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。

热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。 利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式

其中的 是对空间变量的拉普拉斯算子。

热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与 Ornstein-Uhlenbeck 过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用

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第二章

稳态热传导

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1、重点内容： ① 傅立叶定律及其应用； ② 导热系数及其影响因素；

③ 导热问题的数学模型。2、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法 3、了解内容：多维导热问题油气储运工程--- Oil & gas storage and transportation engineering2

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§2-1 导热基本定律一 、几个术语 1 、温度场 (Temperature field) 温度场是指在各个时刻物体内各点温度所 组成的集合，又称温度分布。 一般的，物体的温度分布是坐标和时间的 函数： t f x, y, z, 其中

x, 为空间坐标， 为时间坐标。 y, z 油气储运工程--- Oil & gas storage and transportation engineering3

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温度场分类 1 )稳态温度场(定常温度场)

(Steady-state conduction)是

传热学课件

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主要内容1、非稳态导热的基本概念

2、非稳态导热的求解方法及结果a、集总参数法的简化分析(零维) b、一维非稳态导热问题的分析解

c 、半无限大物体的非稳态导热d 、多维非稳态导热问题的求解 ----仅限于几种简单几何形状物体 重点: 集总参数法 要求: 掌握其求解方法并能熟练运用 难点: 多维问题的分解

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3-1

非稳态导热的基本概念

3.1.1 非稳态导热过程的特点及类型一、非稳态导热的定义 物体内的温度随时间而变化的导热过程称为 非稳态导热工程上典型的非稳态导热过程温度变化率的 数量级见P113图3-1. 二、非稳态导热的类型 1、周期性不稳态导热 2、非周期性非稳态导热* 物体内各点的温度随时间的推移不断上升或降 低，并逐渐趋于恒定值(周围介质的温度) 典型实例：加热(或冷却)过程；变工况问题

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例1:加热(或冷却)过程

τ∞ τ0 τ1 τ2

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例2:变工况问题a.不同截面上温度随时间的变化

τb τs

τ0

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b.热流随时间的变化 不稳态导热阶段 物体内积蓄的热量

c.整个过程中的能量收支情况: Φ1=h1A(tf1-tw1)

Φ2=h2A(tw2-tf2) τ<τ0时, Φ1=Φ2=Φ’τ=τ0时, Φ

这是数学物理方程的课件,我觉得老师做的挺好的,供大家学习吧。

这是数学物理方程的课件,我觉得老师做的挺好的,供大家学习吧。

设有一均匀细杆,长为 l,两端点的坐标为 x= 0与 x= l,杆的侧面是绝热的,且在端点 x= 0处温度是零摄氏度,而在另一端 x= l处杆的热量自由发散到周围温度是零度的介质中去,已知初始温度分布为 ( x ) .求杆上的温度变化规律.即考虑下列定解问题: (1) 0< x< l, t> 0 ut= a 2 uxx (2) t>0 u(0, t )= 0, ux ( l, t )+ hu( l, t )= 0 (3) u( x, 0)= ( x ) 0≤ x≤ l

这是数学物理方程的课件,我觉得老师做的挺好的,供大家学习吧。

设定解问题的特解为:

u( x, t )= X ( x )T ( t )代入(1)中,则有

T′( t ) X′′( x )== β 2 a 2T ( t ) X ( x )即

T′+β 2 a 2T= 0 X′′+β 2 X= 0

(4)

这是数学物理方程的课件,我觉得老师做的挺好的,供大家学习吧。

解方程(4)得

X ( x )= A cosβ x+ B sinβ

第三章热传导方程

一、 小结

求解偏微分方程定结问题的另一个常用的方法是积分变换法。本章只限于介绍有广泛应用的傅立叶变换法。应用分离变量法与傅立叶变换法提供了热传导方程混合问题与初值问题的求解方法。 1．混合问题

一维齐次热传导方程带有齐次边界条件的混合问题，仍可用分离变量法求解。例如混合问题

?ut?a2uxx(t?0,0?x?l)??(I)?u(x,0)??(x) ?u(0,t)?u(l,t)?0??的级数形式解为

u(x,t)??Aken?0??(k?a2)tlsink?xl(1)

其中

Ak?2lk??(?)sin?d??0ll?(k?a2)tl(k?1,2,?)

1但由于（1）中含有指数因子：e，与弦振动方程不同，只要?(x)?C[0,l],且

?(0)??(l),形式解（1）就是问题（I）的解，且当t?0时，u?C?.

对于方程或边界条件是非齐次的情况,处理方法和弦振动方程类似,可通过适当变换、叠加原理、齐次化原理化为问题（I）。

对于高维热传导方程的混合问题，也可用上述类似方法转化为齐次方程、齐次边界条件的问题。后者对某些特殊区域仍可用分离变量法求解。解本征值问题时，通常得到本征函数系是类特殊函数。

2．初值问题

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本报告是针对行业投资可行性研究咨询服务的专项研究报告， 此报告为个性化定制服务报告，我们将根据不同类型及不同行业的项目提出的具体要求，修订报告目录， 并在此目录的基础上重新

摘 要

自由电子固体热传导课题是物理学中的一项重要的课题。要成功科学地说明自由电子热传导的机理，就需要考虑到有关电导率热容量概念以及固体内部的自由电子运动状态及其传输的过程。在该领域，许多学者都做了一定程度的研究，大致可以划分成2个阶段：第一阶段学者们所采用的方法主要是将经典理论和经典统计方法二者进行有机地结合。本阶段的代表非P. K. L. Drude莫属。他的代表性理论是于1990年提出的自由电子模型。该理论较为深入地研究了固体导电时自由电子运动的内在机理，且将其和欧姆定律等规律联系了起来。然而，其理论与相关的实验结果并不完全地一致。第二阶段则提出了量子力学原理及量子统计方法。本时期，诸多学者们进一步地研究了量子力学科学阐释固体金属的一些原理知识，并逐步地克服了以往经典理论本身在理论上无法深入解释金属固体本身的缺点，最为明显的一点在于：自由电子所做的运动并不符合宏观麦克斯韦——玻尔兹曼分布，也和玻尔兹曼分布理论并不吻合。在学者们的研究中发现，金属中所谓的自由电子实际上并符合真正意义上的“自由”，而是与金属内金属阳离子所组成的晶格的周期性势场存在着内在的关联性。本论文正是对这一有关固体自由电子的热传导机理理论现象展开了一定程度的研究。