六年级奥数数论综合

第19讲 数论综合

知识点精讲

一、

特殊数的整除特征

1. 尾数判断法

1) 能被2整除的数的特征： 2) 能被5整除的数的特征： 3) 能被4（或25）整除的数的特征： 4) 能被8（或125）整除的数的特征： 2. 数字求和法： 3. 99的整除特性： 4. 奇偶位求差法： 5. 三位截断法：

特别地：7×11×13=1001，abcabc=abc×1001

二、 多位数整除问题

技巧：1>目的是使多位数“变短”，途径是结合数的整除特征和整除性质

2>对于没有整除特性的数，利用竖式解决。

三、 质数合数

1. 基本定义 【质数】—— 【合数】——

注：自然数包括0、1、质数、合数. 【质因数】—— 【分解质因数】——

用短除法和分拆相乘法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

分解质因数的标准表示形式：N=a1×a2×a3×……×an，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1

【互质数】—— 【偶数】—— 【奇数】—— 2. 质数重要性质 1) 100以内有25个质数：

2) 除了2和5，其余的质数个位数字只能是： 3) 1既不是质数,也不是合数

4) 在质数中只有2是偶数,其他质数都是奇数 5) 最小的质

数论（一） 奇数与偶数

【知识点概述】

1.奇数和偶数的定义：

整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。 特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。 2.奇数与偶数的运算性质：

性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数

性质3：偶数个奇数的和或差是偶数 性质4：奇数个奇数的和或差是奇数

性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数

性质6：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性 性质7：对于任意2个整数a,b ,有a+b与a-b同奇或同偶 性质8：奇数的平方可以写作 4k+1 ，偶数的平方可以写作 4k

【习题精讲】

【例1】下列算式的得数是奇数还是偶数？

(1) 29＋30＋31＋??＋87＋88

(2) （200＋201＋202＋??＋288）－（151＋152＋153＋??＋233） (3) 35＋37＋39＋41＋??＋97＋99

【例2】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，

不能

2018六年级奥数数学几何综合训练一

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2017年六年级外冲班数学几何综合训练一

一、兴趣篇

1．图中八条边的长度正好分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米．已知a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，求图形的面积．

2．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6

等于度．

3．平行四边形ABCD周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米（如图）；以CD

为底时高是16厘米．求：平行四边形ABCD的面积．

4．如图，一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是

平方米、

平方米、平方米和平方米．已知图中的阴影部分是正方形，

那么它的面积是多少平方米？

2

5．如图，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是lO．那么，正方形盒子的底面积是多少？

6．如图，在三角形ABC中，IF和BC平行，GD和AB平行，HE和AC平行．已知AG：GF：FC=4：3：2，那么AH：HI：IB和BD：DE：EC分别是多少？

7．如图，已知三角形ABC的面积为60平方厘米，D、E分别是AB、AC边的中点，求三

六年级奥数训练 第18讲数论综合二

内容概述

综合运用各种知识解决的较复杂教论问题；与二次不定方程、分式不定方程有关的数论问题．

典型问题

兴趣篇

1．有4个不同的正整数，它们中任意2个数的和都是2的倍数，任意3个数的和都是3的倍数．要使这4个数的和尽可能小，这4个数应该分别是多少？

2．已知算式（1＋2＋3＋…＋n）+2007的结果可表示为n(n>1)个连续自然数的和．请问：共有多少个满足要求的自然数n?

3．有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有4种．所有满足上述条件的自然数中最小的一个是多少？

4．甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小2008.满足上述条件的自然数有几组？

5．两个不同两位数的乘积为完全平方数，它们的和最大可能是多少？

1

6．n个自然数，它们的和乘以它们的平均数后得到2008.请问：n最小是多少？

7．一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=52—32，16就是一个“智慧数”，请问：从1开始的自然数列中，第2008个“智慧数”是多少？

8．将100! – 5分别除以2，3，4，…，100，可以得到99个余数（

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平方数、奇偶性、位值原理

知识框架

一、 1. 特征

1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p整除完全平方数a2，则p能被a整除。 2. 性质

性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．

性质3：自然数N为完全平方数?自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因

数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且p2n?1|N，则p2n|N．

性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数．

性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一

个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．

性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3. 一些重要的推论

1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数

第 6讲

数论(二)

教学目标 小学奥数数论内容中，余数相关问题是最成体系的，也是各类竞赛考试中的重点．

⑴同余性质是解决同余问题的重要依据,复习简单同余问题，学会灵活运用同余性质解决同余问题. ⑵熟练掌握余数定理在多位数除法以及高次冥末尾数字求解中的基本运用.

⑶能用凑同余的办法解决一个数除以多个数，得不同余数的问题，学会使用中国剩余定理．

专题回顾

余数定理：

①两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和．

实例：7?3?2??1，5?3?1??2，这样?7?5??3的余数就等于?1?2??3的余数． ②两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差．

实例：8?3?2??2，4?3?1??1，这样?8?4??3的余数就等于?2?1??3的余数． ③两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积．

实例：7?3?2??1，5?3?1??2，这样?7?5??3的余数就等于?1?2??3的余数．

带余除法：

一般地，如果a是整数，b是整数?b?0?，那么一定有另外两个整数q和r，0?r?b，使得a?b?q?r．

当r?0时，我们称a能被b整除．

当r?0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全

2014年六年级数学思维训练：数论综合三

一、兴趣篇 1．（1）求所有满足下列条件的三位数：在它左边写上40后所得的五位数是完全平方数． （2）求满足下列条件的最小自然数：在它左边写上80后所得的数是完全平方数． 2．已知n!+3是一个完全平方数，试确定自然数n的值．（n!=1×2×3×…×n） 3．一个完全平方数是四位数，且它的各位数字均小于7．如果把组成它的每个数字都加上3，便得到另外一个完全平方数．求原来的四位数．

4．请写出所有各位数字互不相同的三位奇数，使得它能被它的每一个数位上的数字整除． 5．在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字0，得到一个三位数（例如21变成了201），结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除．请问：所有满足条件的两位数之和是多少？

6．用2、3、4、5、6、7六个数字组成两个三位数，要使这两个三位数与540的最大公约数尽可能的大，这两个三位数应该分别是多少？

7．一个自然数，它与99的乘积的各位数字都是偶数，求满足要求的最小值．

8．有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能被第三个数整除．满足上述条件的3个自然数之和最小是多少？

9．小明与小华玩游戏，规则如下：开始

第五讲

应用题综合

真题模考

1.

一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的过总数的

4 ，女同学的人数超72。问男女生各多少人？ 541?57， 772 女生人数大于100??4，0

5 所以男生58人，女生41人。 【分析】男生人数大于100? 2.

甲、乙、丙三人合作生产一批机器零件，甲生产的零件数量的一半与生产的零件数量的五分之三相等，又等于丙生产的零件数量的四分之三，已知乙比丙多生产50个零件，问：这批零件共有多少个？

133【分析】V甲?V乙?V丙，

25452 V乙?V甲，V丙?V甲，

63?52? 50?????300（个），

?63? 所以甲生产300个，乙生产250个，丙生产200个，总数为750个。 3.

某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万元，每年需付利息5万元。甲种贷款年利率为12%，乙种贷款年利率为14%。该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是多少?

5?100%?12?5%， 40?1?255%?1?2% 甲乙两种贷款的金额比为?14%， 3:1?%?:?12?【分析】

3， ?3（万元）04010

第五讲

应用题综合

真题模考

1.

一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的过总数的

4 ，女同学的人数超72。问男女生各多少人？ 541?57， 772 女生人数大于100??4，0

5 所以男生58人，女生41人。 【分析】男生人数大于100? 2.

甲、乙、丙三人合作生产一批机器零件，甲生产的零件数量的一半与生产的零件数量的五分之三相等，又等于丙生产的零件数量的四分之三，已知乙比丙多生产50个零件，问：这批零件共有多少个？

133【分析】V甲?V乙?V丙，

25452 V乙?V甲，V丙?V甲，

63?52? 50?????300（个），

?63? 所以甲生产300个，乙生产250个，丙生产200个，总数为750个。 3.

某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万元，每年需付利息5万元。甲种贷款年利率为12%，乙种贷款年利率为14%。该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是多少?

5?100%?12?5%， 40?1?255%?1?2% 甲乙两种贷款的金额比为?14%， 3:1?%?:?12?【分析】

3， ?3（万元）04010

1．在1997后面补上三个数字,组成一个七位数1997口口口,如

果这个七位数能被4、5、6整除,那么补上的三个数字的和的最小可能值

2．在300到400之间的自然数中,恰有3个约数的数的总和等于

3．给定1997个连续的自然数。已知其中最小数与最大数的平均但

是1997,那么最大数等于

4．在下式的方框里分别填上2、4、6、8四个数字,使等式成立。最多可写出个不同的算式。

5．如图1所示,四边形ABCD的周长是60厘

米．点M到各边的距离都是4．5厘米,这个四边形的

面积是平方厘米。

6．有一些小朋友排成一行,从左面第一人开始

每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人

发一个橘子,结果有10个小朋友苹果和橘子都拿

到,那么这些小朋友最多有人。

7．甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。在晴天,一队完成甲工程需要12天,二队完成乙工程需要15天；在雨天,一队的工作效率要下降 40％,二队的工作效率要下降10％。结果两队同时完成这两项工程。那么在施工的日子里,雨天确天。

8．龟兔进行10000米赛跑,兔子的速度是龟的速度的5倍。当它们从起点一起出发后,龟不停地跑,兔子跑到某一地点开始睡觉。兔子醒来时。龟已经领先它5000米,兔子奋起直追,但龟到达终点时,兔子仍落后10