高中解三角形应用举例

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考点18 解三角形应用举例

一、选择题

1.（2012·天津高考理科·Ｔ6）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知8b=5c，C=2B,则cosC=（ ） (A)77724 (B) (C) ± (D) 25252525

【解题指南】在△ABC中利用正弦定理和二倍角公式求解.

【解析】选A.由正弦定理知bc=及8b=5c，C=2B可得sinBsinC

47cosC cos2B 2cos2B 1 2 ()2 1 . 525

二、解答题

2.（2012·山东高考文科·Ｔ17）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知sinB(tanA tanC) tanAtanC.

(1)求证：a,b,c成等比数列.

(2)若a 1,c 2，求△ABC的面积S.

【解题指南】（1）先利用切化弦，将已知式子化简，再利用和角公式，三角形内角和定理，正弦定理化成b

积公式求得.

【解析】(1)由已知得：

sinB(sinAcosC cosAsinC) sinA

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考点18 解三角形应用举例（经典）

一、填空题

1. (2013·福建高考理科·T13)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC, sin∠BAC=错误！未找到引用源。

,AB=则BD的长为

.

【解题指南】显然,sin∠BAC=cos∠BAD,用余弦定理.

【解析】sin∠BAC=错误！未找到引用源。=sin( BAD)=cos∠BAD, 2

在△BAD中,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=18+9-2

×3

×

所以BD=错误！未找到引用源。.

【答案】错误！未找到引用源。

二、解答题 =3, 3

2.（2013·重庆高考理科·Ｔ20）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c

，且a2 b2 c2．

（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）设cosAcosB

cos( A)cos( B)，，求tan 的值． 5cos2 5

【解题指南】直接利用余弦定理可求出C的值，由和差公式及C的值通过化简可

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求出tan 的值

1.2 应用举例（4）三角形中的几何计算

教材分析

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。

课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要讲解三角形形状判断面积计算以及三角形中证明恒等式成立问题。

教学目标

重点: 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题

知识点：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三

1.2 应用举例（4）三角形中的几何计算

教材分析

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。

课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要讲解三角形形状判断面积计算以及三角形中证明恒等式成立问题。

教学目标

重点: 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题

知识点：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三

1.2 解三角形应用举例(1)

【温故知新】 a b c 2R 1.正弦定理： sin A sin B sin C2.余弦定理和推论：

a b c 2bccos A 2 2 2 b a c 2accos B 2 2 2 c a b 2abcosC2 2 2

b c a cos A 2bc 2 2 2 a c b cos B 2ac 2 2 2 a b c cosC 2ab2 2 2

【引言】在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事，明 月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想，不禁 会问，遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？ 早在1671年，两个法国天文学家就测出了 地球与月球之间的距离大约为385400km。他 们是怎样测出两者之间距离的呢？ 这节课就让我们一起探讨解决不可到达的 距离的测量问题。

【应用举例】测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C, 测出AC的距离是55m,∠BAC=51o, ∠ACB= 75o,求A、B两点间的距离(精确到0.1m) 解：根据正弦定理，得AB AC sin ACB sin ABC

例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。

AC sin A

27.2.2 相似三角形应用举例

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1．进一步巩固相似三角形的知识．

2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．

3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．

【重点难点】

1．运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．

2．灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．

知识概览图

相似三角形的应用：灵活把握题意，把实际问题转化为数学问题，运用数学建模思想和数形结合思想灵活地解决问题．

新课导引

【生活链接】 王芳同学跳起来把一个排球打在离她2 m远的地上，然后球反弹碰到墙上，如果王芳跳起击排球时的高度是1.8m，排球落地点离墙的水平距离是6m，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方?

【问题探究】 由题意可得到如右图所示的图形．已知AB＝1.8 m，AP＝2 m，PC＝6 m，PQ⊥AC，那么如何求DC的长呢?由已知可证Rt△APB∽Rt△CPD，由相似三角形的性质可知AB

数学必修⑤

1.2.3《解三角形应用举例--测量角度》导学案

编写人：周志进 审核：高一数学组 时间：2012-02-28

班级 组名： 姓名

【学习目标】

A级目标：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题。 B级目标：从解题中逐步培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力。 【重点难点】

重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。 难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。 【学习过程】

一、 课题引入

提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和

角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。

二、自主探究 得出结论

例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75?的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿

高中数学解三角形题型完整归纳-解三角形题型归纳总结

高中数学解三角形题型目录一．正弦定理

1.角角边

2.边边角

3.与三角公式结合

4.正弦定理与三角形增解的应对措施

5.边化角

6.正弦角化边

二．余弦定理

1.边边边

2.边角边

3.边边角

4.与三角公式结合

5.比例问题

6.余弦角化边

7.边化余弦角

三．三角形的面积公式

1.面积公式的选用

2.面积的计算

3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用

四．射影定理

五．正弦定理与余弦定理综合应用

1.边角互化与三角公式结合

2.与平面向量结合

3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状

4.三角形中的最值问题

(1)最大(小)角

(2)最长(短)边

(3)边长或周长的最值

1

高中数学解三角形题型完整归纳-解三角形题型归纳总结

2 (4)面积的最值

(5)有关正弦或余弦或正切角等的最值

(6)基本不等式与余弦定理交汇

(7)与二次函数交汇

六．图形问题

1.三角形内角之和和外角问题

2.三角形角平分线问题

3.三角形中线问题

4.三角形中多次使用正、余弦定理

5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用

6.四边形与正、余弦定理

六．解三角形的实际应用

1.利用正弦定理求解实际应用问题

2.利用余弦定理求解实际应用问题

3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题

一．正弦定理

1.角角边

30,

安丘一中2011-2012学年高三数学学案 诚者，天之道也；诚之者，人之道也。

课题：解三角形 安丘一中 李钧

目标：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；

重点、难点：（1）利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点；（2）常与三角形等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等；（3）在平面解析几何、立体几何中常作为工具求角和两点间的距离问题。

【课内探究】

题型一：正弦定理、余弦定理的简单应用

〖例1〗在ΔABC中，已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinC 解答：由已知得coAs?b?c?2bc2222a>c>b,∴A

2为最大角。由余弦定理得：1232a3?5??2??37??52。又∵

0?A??1?A8?。 0??A,??1?方法一：由正弦定理得

asinA?csinC，∴sinC?csinAa5??32?53714，因此最

大角A为120?，sinC?531422。

方法二：cosC?a?b?c2ab2?7?3?52?7?35314222?1114。∵C为三角形的内角，∴C为锐

角。sinC=1?cosC?21

1.3.1解三角形应用举例(第一课时)

教学目标:

知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语

过程与方法 ：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正

情感与价值：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力

教学重点:由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解

教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图

学法:让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识纲目图。生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础。解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际