导数含参数讨论单调性

含参数导数问题的三个基本讨论点

导数是研究函数图像和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题是每年高考的必考试题之一。随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题又是历年高考命题的热点。由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论。对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过，而且在众多的教辅资料中也难得一见，本文就来讨论这一问题，供大家参考。

一、

求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。

?1,x?1?例1（2008年高考广东卷（理科） 设k?R，函数f(x)??1?x,F(x)?f(x)?kx,x?R，

??x?1,x?1?试讨论函数F(x)的单调性。

?1?k?1?x?2,x?1??12?kx,x?1,???1?x?,F'(x)??解：F(x)?f(x)?kx??1?x。

??x?1?kx,x?1?1?2kx?1?,x?1??2x?1?考虑导函数F'(x)?0是否有实根，从而需要对参数k的取值进行讨论。

1?k?1?x?2（一）若x?1，则F'(x)??1?x?2。由于当k?0时，F'(x)?0无实根

导数的应用一---函数的单调性

要点一、函数的单调性与导数的关系：我们知道，如果函数f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说f(x)在这一区间具有单调性，先看下面的例子：

函数y?f(x)?x?4x?3的图象如图所示。考虑到曲线y?f(x)的切线的斜率就是函数f(x)的导数，从图象可以看到：在区间（2，+∞）内，切线的斜率为正，即f'(x)?0时，

2f(x)为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，即f'(x)?0时，f(x)为减函数。

导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数y?f(x)在某个区间内有导数，则在这个区间上，

①若f?(x)?0，则f(x)在这个区间上为增函数； ②若f?(x)?0，则f(x)在这个区间上为减函数； ③若恒有f?(x)?0，则f(x)在这一区间上为常函数.

反之，若f(x)在某区间上单调递增，则在该区间上有f?(x)?0恒成立（但不恒等于0）；若f(x)在某区间上单调递减，则在该区间上有f?(x)?0恒成立（但不恒等于0）．

要点诠释：1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上f?(x)?0，即切线斜率为正时，函数f(x)在这个区间上为增函数；当在某区间上f?(x)?0，即切线斜率为

1.3.1 函数的单调性与导数

6.已知f(x)=ex-ax-1.(1)求f(x)的 单调增区间；(2)若f(x)在定义域 R内单调递增，求a的取值范围； (3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0] 上单调递减，在[0,+∞)上单调递增？ 若存在，求出a值；若不存在，说明理 解析：f′(x)=ex-a. 由. (1)若a≤0,f′(x)=ex-a≥0恒成立， 即f(x)在R上递增. 若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna. ∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).

(2)∵f(x)在R内单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立

∴ex-a≥0,即a≤ex在R上恒成立.∴a≤(ex)min,又∵ex>0,∴a≤0. (3)解法一由题意知ex-a≤0在(-∞,0]上恒成立. ∴a≥ex在(-∞,0]上恒成立. ∵ex在(-∞,0]上为增函数.

∴x=0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在[0,+∞)上恒成立. ∴a≤ex在[0,+∞)上恒成立.∴a≤1,∴a=1. 解法二由题意知，x=0为f(x)的极小值点. ∴f′(0)=0,即e0-a=0,∴a=1.

例4:方程根的问题1 求证：方

3.3数导研在究函中的数用应3.3.1函数单调性与导 数

v 观察、一P2: h h2t( ) 49.t 2 6 5t. 1 0h (' t) .9t 8 65.

0a

bt

0 a t 运b动从起员跳最高到点，以及从最点高入水到 两这时间的段运动态状什有区别？么1()运动从员跳到最高点，起离面水的度高h随时间的增t加而 加增即，h(t是增函)数。应地，v相t() h '(t ) 0 .2)(最高点到入从水运，员动离水面的高h随时度间t增加的而减小 ，h即()是t减数。函应地，v(t相) h (t') 0.

思考：这种况是情否有一具性呢般？

y

y xy

y x2

xO

xO

y

y x3

y

y 1xx

OxO

y函数单调加增f ( x>0)

f(x) 0

=数函单减调少f ( x<) 0 f x)<( f0f x)(<0 ( x)<0f ( x)<0

f (x)>0f x()>0f (x)0>0x

Ox

数单函性的判调定定：一理地般函，的单数性调与其导数的函正有如负下系关：

某在区间(个 a b,内 如)果f ´x) > 0,(函数则在个这间区

2014-2015学年度第一学期南阳五中高二数学导学案（文）

§4.1.1导数与函数的单调性

学习目标

1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法

学习过程

一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处） 复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性。 对于任意的两个自变量x1，x2∈I，

当x1＜x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么函数f(x)在区间I上单调递增。 当x1＜x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么函数f(x)在区间I上单调递减。 复习2： C'?0；(xn)'?nxn?1；(sinx)'?cosx；(cosx)'??sinx；(lnx)'?1； x(logax)'?复习3：

1；(ex)'?ex；(ax)'?axlna； xlna[f(x)?g(x)]'?f?(x)?g?(x)f(x)f?(x)g(x)?g?(x)f(x)[]??g(x)g2(x)[f(x)g(x)]'?f?(x)g(x)?g?(x)f(x)

二、新课导学

探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系：

问题：我们知道，曲线y?f(x)在点x0的切线的斜率就是函数y?f(x)在该点的导数f?(x0)。从函数y?x?4x?3的图

利用导数判断函数的单调性

日照实验高中2007级数学导学案---导数

利用导数判断函数的单调性

证法一：(用以前学的方法证)任取两个数 x1,x2∈(0,+∞)设 x1<x2. f(x1)-f(x2)=

1 1 x2 x1 = x1 x2 x1 x2

教师备课 学习笔记

∵x1>0,x2>0,∴x1x2>0

∵x1<x2,∴x2-x1>0, ∴

x2 x1 >0 x1 x2∴f(x)=

∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) 证法二：(用导数方法证) ∵f′(x)=(

1 在(0,+∞)上是减函数. x

1 1 - )′=(-1)·x 2=- 2 ,x>0, x x 1 1 <0. ∴f′(x)<0,∴f(x)= 2 在(0,+∞)上是减函数. 2 x x

∴x2>0,∴-

例 4 求函数 y=x2(1-x)3 的单调区间. 解：y′=[x2(1-x)3]′=2x(1-x)3+x2·3(1-x)2·(-1) =x(1-x)2[2(1-x)-3x]=x(1-x)2·(2-5x) 令 x(1-x)2(2-5x)>0,解得 0<

利用导数判断函数的单调性

日照实验高中2007级数学导学案---导数

利用导数判断函数的单调性

证法一：(用以前学的方法证)任取两个数 x1,x2∈(0,+∞)设 x1<x2. f(x1)-f(x2)=

1 1 x2 x1 = x1 x2 x1 x2

教师备课 学习笔记

∵x1>0,x2>0,∴x1x2>0

∵x1<x2,∴x2-x1>0, ∴

x2 x1 >0 x1 x2∴f(x)=

∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) 证法二：(用导数方法证) ∵f′(x)=(

1 在(0,+∞)上是减函数. x

1 1 - )′=(-1)·x 2=- 2 ,x>0, x x 1 1 <0. ∴f′(x)<0,∴f(x)= 2 在(0,+∞)上是减函数. 2 x x

∴x2>0,∴-

例 4 求函数 y=x2(1-x)3 的单调区间. 解：y′=[x2(1-x)3]′=2x(1-x)3+x2·3(1-x)2·(-1) =x(1-x)2[2(1-x)-3x]=x(1-x)2·(2-5x) 令 x(1-x)2(2-5x)>0,解得 0<

课时跟踪检测(十四) 导数与函数单调性

(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)

第Ⅰ卷：夯基保分卷

1．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为( ) A．(0，＋∞) C．(－∞，0)和(0，＋∞)

B．(－∞，0) D．R

2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) C．(1,4)

B．(0,3) D．(2，＋∞)

3．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，1?设a＝f(0)，b＝f??2?，c＝f(3)，则( )

A．aB．c11

，＋∞?上是增函数，则a的取值范围是( ) 4．若函数f(x)＝x2＋ax＋在?2?x?A．[－1,0] C．[0,3]

B．[－1，＋∞) D．[3，＋∞)

5．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上的单调情况是________．

13

6．(2014·河南省三市调研)若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实

32数a的值为________．

ln x＋k

7．(2014·武汉武昌区联考)已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲

ex线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．

(1)求k的值； (2)求f(

课时跟踪检测(十四) 导数与函数单调性

(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)

第Ⅰ卷：夯基保分卷

1．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为( ) A．(0，＋∞) C．(－∞，0)和(0，＋∞)

B．(－∞，0) D．R

2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) C．(1,4)

B．(0,3) D．(2，＋∞)

3．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，1?设a＝f(0)，b＝f??2?，c＝f(3)，则( )

A．aB．c11

，＋∞?上是增函数，则a的取值范围是( ) 4．若函数f(x)＝x2＋ax＋在?2?x?A．[－1,0] C．[0,3]

B．[－1，＋∞) D．[3，＋∞)

5．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上的单调情况是________．

13

6．(2014·河南省三市调研)若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实

32数a的值为________．

ln x＋k

7．(2014·武汉武昌区联考)已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲

ex线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．

(1)求k的值； (2)求f(

《函数的单调性与导数》评课稿

恩平一中 谭青华

本节课郑凯老师运用多种教学手段，创设了丰富、生动的教学情境，设计了新颖、活泼的学生活动。成功的地激发了学生的学习兴趣。下面我谈谈我的几点看法：

一、 教学目标

本节课的教学目标简明扼要、具体，便于实施，便于检测，注重数学思想、能力的培养、兼顾情感态度与价值观的教育。广度和深度都符合数学课程标准和教材的要求，符合学生的实际情况。教师准备的也比较充分，清楚的知道学生应该理解什么、掌握什么、学会什么。本堂课很好的完成了预定的教学目标。

二、 教学内容

执教者因材施教，充分考虑到该班学生的实际情况，把本节课分为两个课时进行。教学内容紧紧围绕教学目标展开。准确的确定了本节课的教学重、难点：探究函数的单调性与导数的关系，并在处理时，分为三个层次进行，层层递进，化难为易。学生易于理解、掌握。很好的处理了新旧知识的结合点，抓住知识的生长点，讲授具有启发性，层次详略得当。对于课后作业的布置分必做题、选做题、思考题。很好的照顾到了不同知识水平的学生，鼓励学生不断努力、挑战自我，体现了分层教学思想。

三、 教学方法

教师本堂课主要采用启发式、探究式的教学方法，并对学生进行学法的指导。使学生积极思维、主动学习、自主学习，从而达到会学