矩阵相似判定条件

相似矩阵的判定及其应用

摘要： 相似矩阵是高等代数中重要的知识点，在本文中，我们先给出了判定两个矩阵相似

的三种方法，然后我们知道矩阵相似于对角矩阵是高等代数中一个重要而基本的问题,我们给出怎样判断矩阵A是否可对角化，然而我们知道一个矩阵未必相似于对角矩阵，但是在复数域上任何一个矩阵都与一个若而当形矩阵相似，因此我们给出了矩阵的相似标准形及其应用；最后，我们给出了矩阵相似在实际生活中（尤其是考研中）的应用.

关键字： 相似矩阵，对角矩阵，若尔当标准形

1.相似矩阵及其判定

这一节我们在系统归纳相似矩阵的一些相关概念和性质的基础上，着重介绍相似矩阵的几种判定方法。并通过一些具体的例子加以说明。下面我们首先介绍相关的概念和性质。

定义1 设A，B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B=X?1AX，就说A相似于B，记A~B

过渡矩阵 矩阵等价 特征矩阵 行列式因子 不变因子 初等因子

相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有三个性质： ⑴反身性: A~A

⑵对称性：如果A~B，那么B~A

⑶传递性：如果A~B，B~C，那么A~C

在此基础上，

定理1.1 线性变换在不同基下所对应的矩阵相似。 我们从下面的例1来看这

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第三节 相似矩阵

一、相似矩阵的概念与性质 相似矩阵的概念与性质 二、利用相似变换将矩阵对角化 三、小结 思考题

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一、相似矩阵概念与性质定义1 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵 P , 使 P AP = B ,-1

则称B是A的相似矩阵 , 或说矩阵 A与B相似.记为A ~ B .

对A进行运算P 1 AP称为对A进行相似变换 .

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定理1 定理 若n阶矩阵 A与B相似 ,则A与B的特征多项 式相同,从而A与B的特征值亦相同 .

证明

A与B相似

可逆阵 P , 使得P 1 AP = B= P 1 AP P 1 (λ E )P ∴ B λE

= P

1

( A λE ) P

= P 1 A λ E P

= A λE .则A与B的特征多项式相同 , 从而A与B的特征值亦相同.

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相似矩阵的性质: 相似矩阵的性质 (1)相似矩阵有相同的秩; (1)相似矩阵有相同的秩; 相似矩阵有相同的秩 (2)相似矩阵的行列式相等; (2)相似矩阵的行列式相等; 相似矩阵的行列式相等 证明：( ) 阶矩阵A与 相似 相似,则存在非奇异 证明：(2)设n阶矩阵 与B相似 则存在非奇异 ：( 阶矩阵 矩阵P使得 矩阵 使得 P 1 AP

学校代码： 10722 学号： 1006024112

分类号： O151.21 密级： 公开

题 目： 正定矩阵的判定、性质及其应用

Discussion on Determinant,Positive and Application of

Positive Definite Matrix

作 者 姓 名： 专 业 名 称： 学 科 门 类： 指 导 老 师： 提交论文日期： 2014年5月 成 绩 评 定:

I 咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）

摘 要

在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。

学校代码： 10722 学号： 1006024112

分类号： O151.21 密级： 公开

题 目： 正定矩阵的判定、性质及其应用

Discussion on Determinant,Positive and Application of

Positive Definite Matrix

作 者 姓 名： 专 业 名 称： 学 科 门 类： 指 导 老 师： 提交论文日期： 2014年5月 成 绩 评 定:

I 咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）

摘 要

在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。

学校代码： 10722 学号： 1006024112

分类号： O151.21 密级： 公开

题 目： 正定矩阵的判定、性质及其应用

Discussion on Determinant,Positive and Application of

Positive Definite Matrix

作 者 姓 名： 专 业 名 称： 学 科 门 类： 指 导 老 师： 提交论文日期： 2014年5月 成 绩 评 定:

I 咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）

摘 要

在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。

学校代码： 10722 学号： 1006024112

分类号： O151.21 密级： 公开

题 目： 正定矩阵的判定、性质及其应用

Discussion on Determinant,Positive and Application of

Positive Definite Matrix

作 者 姓 名： 专 业 名 称： 学 科 门 类： 指 导 老 师： 提交论文日期： 2014年5月 成 绩 评 定:

I 咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）

摘 要

在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。

24.3.2相似三角形的判定

成比例 相等 对应边——————的两个三 对应角_______, D 角形, 叫做相似三角形 . AC E 6 ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F BAB AC BC DE DF EF

F△ ABC∽ △DEF

6

成比例 相似三角形的———————, 各对应边——————。AB BC AC 相似比: DE EF DF

对应角相等

=k k 1 两三角形相似k=1 两三角形全等

判定两个三角形相似时，是不是对所有的对 应角和对应边都要一一验证呢？(类比≌△) 不需要

探究60° 45°

如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的 三个角对应相等，那么它们相似吗？

任意画两个三角形，使三对角分 别对应相等，再量一量对应边， 看看是否成比例. D82° 5 8 51° F

A82° 6 6

4 51° C E

10 47° 12

B 47°

你发现了什么，这两个三角形相似吗？

如果两个三角形三组对应角分别相等， 那么这两个三角形相似。

D82°

A82°

B 47°

C 6 51° E

47°

5.2 矩阵对角化

一、相似矩阵与相似变换的概念定义1 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵 P , 使 P AP B , 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似.对A进 行运算 P 1 AP称为对A进行相似变换 , 可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵. 1

A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B

定理1 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同.证明A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B 1 1 B E P AP P E P

P 1 A E P

P 1 A E P A E .

A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B

定理1 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同.

B E A E .推论 若 n 阶方阵A与对角阵 1 2 n

相似, 则 1 , 2 , , n即是A的n个特征值.

三、利用相似变换将方阵对角化对 n 阶方阵 A , 若可找到可逆矩阵 P

直角三角形相似的判定AA′c

b∟

B

a

C

B′

C′

一、复习提问1、到目前为止我们总共学过几种判定两 个三答：

角形相似的方法？

(1)两角对应相等的两个三角形相似。 (2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 (3)三边对应成比例的两个三角形相似。

2、判定两个直角三角形相似有几种方法？答：一个锐角对应相等或两直角边对应成比例。

课堂练习填空：(填相似或不相似)

1、一个三角形有两个角分别是60°和35°, 另一个三角形的两个角分别是60°和85°, 那么这两个三角形 。 相似2、一个三角形的三边分别是3、4、5,另 一个三角形的三边分别是6、8、10,那么 这两个三角形 相似 。

3、一个三角形的两边分别是3和7, 它们的夹角是35°,另一个三角形的 一个角是35°,夹这个角的两边分别 是14和6,那么这两个三角形相似 。

例1、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 和原三角形相似。 已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。 求证： ΔACD ∽ ΔABC ∽ ΔCBD 。 证明: ∵ ∠A=∠A,∠ADC=∠ACB=900, ∴ ΔACD∽ΔABC(两角对应相等，两 三角形

三角形相似条件、证明

一、判断三角形相似（与全等的对比）

相似三角形定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形 全等（特殊的相似） ASA AAS SAS SSS HL 二、相似基本图形归纳 （1）平行线型

相似 两角对应相等的两个三角形相似 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似 对应边成比例的两个三角形相似 直角三角形中，斜边与一直角边对应成比例的两个三角形相似 （2）相交线型

题型一：相似基本条件

o

1.如图，△ABC中∠ACB＝90，CD⊥AB于D。则图中能够相似的三角形共有（ ） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

[来源:学_科_网]2.如图，若点D为△ABC中AB边上的一点，且∠ABC＝∠ACD，AD＝3cm，AB＝4cm，则AC的长为（ ） A.12cm B.23cm C.3cm D.2cm

3.如图，在△ABC中，D，E分别为AC，AB上的点，且∠ADE＝∠B，AE＝3，BE＝4，则AD·AC＝_______.

4.如图，正方形ABCD中，E为AB中点，BF＝

1BC，那么图中与△ADE相似的三角形有_______