直线与圆的位置关系切线问题

24.2.2直线与圆的位置关系-----切线的性质和判定

欣赏：海上日出(1)如图，思考在太阳升起的过程中，太阳和地 平线会有几种位置关系？我们把太阳看作一个圆， 地平线看作一条直线，由此你能得出直线和圆的 位置关系吗？

欣赏：海上日出(1)如图，思考在太阳升起的过程中，太阳和地 平线会有几种位置关系？我们把太阳看作一个圆， 地平线看作一条直线，由此你能得出直线和圆的 位置关系吗？

欣赏：海上日出(1)如图，思考在太阳升起的过程中，太阳和地 平线会有几种位置关系？我们把太阳看作一个圆， 地平线看作一条直线，由此你能得出直线和圆的 位置关系吗？

(2)如图，在纸上画一条直线 ，把钥匙环看作 一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现在钥匙环 移动的过程中，它与直线的公共点的个数吗？

如图1

如图2

如图3

直线和圆 有两个 公共点，这时我们说直线和圆 交点 割线 这条直线叫做圆的 这个点叫 如图1 相交 直线和圆 只有一个 公共点，这时我们说直线和圆 切线 切点 这条直线叫做圆的 ，这个点叫做 如图2 相切

, ,

直线和圆 没有 公共点，这时我们说直线和圆 相离 .如图3

复习提问：.E

1、什么叫点到直线的距离

?

a

.D

直线外一点到这条直线的 垂线段的长度叫点到直线 的距离

蓬莱大辛店中学

徐岩

切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切 点的半径几何应用:

.

O

∵L是⊙O的切线 ， ∴OA⊥L

L A

切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.

.

O

LA

1.经过半径的外端； 2.与半径垂直.OA是⊙O的半径 几何应用: OA⊥L于A

L是⊙O的切线.

练习1:已知：AB是弦，AD是切线 ，判断∠DAC与圆周∠ABC之间的关 系并证明. B E

C A D

在经过圆外 一点的切线 上，这一点 和切点之间 的线段的长 叫做这点到 圆的切线长

A

· O

P

切线与切线长的区别 与联系：

B

(1)切线是一条与圆相切的直线,不可以度量； (2)切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长, 可以度量。

切线长定理 从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相 等，圆心和这一点的连 线平分两条切线的夹角。 几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B

B。

O

P A

PA = PB ∠OPA=∠OPB

反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提 供了新的方法

我们学过的切线，常有 六个 五个1、切线和圆只有一个公共点；

性质：

2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂

浙教版九年级数学(下)

3.1.2直线与圆的位置关系————切线的性质

知识回顾:

切线的判定方法：1.满足:当d=r时 直线和圆相切 2.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂 直这条半径的直线是圆的切线。

A

例:已知：C为⊙O外一点，AB是弦，

且OA⊥OC,OC交AB于D,CD=CB.求证：CB是⊙O的切线.

O

D

C

B

B

例:已知如图大小两个同心圆O 中,AB,AC是大圆的弦,AB=AC,且AB为 小圆的切线.求证:AC与小圆相切.注意: 若直线与圆有交点，连半径证垂直 若直线与圆没有交点过圆心作垂直证半径

DO A C

E

思考

1.如果直线l是⊙O的切线，点A为 切点，那么半径OA与l垂直吗？

O

由于直线l是⊙O的切线，点A为切点所以直线l上除了点A,其余点都在⊙O外 当点P不与点A重合时.OP>OA 当点P与点A重合时.OP=OA ∴当点P与点A重合时.OP最短P

A

l

O

A

l

∴ OA与l垂直

切线的性质1:经过切点的半径垂直于圆的切线

2.如果直线l是⊙O的切线，点A为 切点，过点A作直线与l垂直，则所画 直线有什么性质？ 如果直线l是⊙O的切线，设点A为切点， 则连结OA必与直线l垂直，而过切点A垂 直于切线的直线是唯一的，所以经过切点 A与直线l垂直

与圆有关的位置关系

1、点与圆的位置关系

如果圆的半径是r，这个点到圆心的距离为d，那么：

（1）点在圆外?d＞r； （2）点在圆上?d＝r； （3）点在圆内?d＜r；

2、直线与圆位置关系的定义及有关概念

（1）直线与圆有两个公共点，叫做直线与圆相交，这直线叫做圆的割线，公共点叫做交点. （2）直线和圆有一公共点时，叫做直线和圆相切，这直线叫做圆的切线，公共点叫做切点. （3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离. 3、直线和圆的位置关系

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么 （1）直线l和⊙O相交?d＜r； （2）直线l和⊙O相切?d＝r； （3）直线l和⊙O相离?d＞r；

典例精析

例1：已知直线l：y＝x－3和点A（0，3），B（3，0），设P点为l上一点，试判断P、A、

B是否在同一个圆上？

例2：下列说法正确的是（ ）

A. 过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线 B. 若直线与圆不相切，则它和圆相交 C. 若直线和圆有公共点，直线和圆相交 D. 若直线和圆有唯一公共点，则公共点是切点

ACDB例3：设直线l到⊙O的圆心的距离为d，⊙O的半径为R，并使x?2dx?R?0，试根据关于x的一元二次方程根的情况讨论l

与圆有关的位置关系

1、点与圆的位置关系

如果圆的半径是r，这个点到圆心的距离为d，那么：

（1）点在圆外?d＞r； （2）点在圆上?d＝r； （3）点在圆内?d＜r；

2、直线与圆位置关系的定义及有关概念

（1）直线与圆有两个公共点，叫做直线与圆相交，这直线叫做圆的割线，公共点叫做交点. （2）直线和圆有一公共点时，叫做直线和圆相切，这直线叫做圆的切线，公共点叫做切点. （3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离. 3、直线和圆的位置关系

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么 （1）直线l和⊙O相交?d＜r； （2）直线l和⊙O相切?d＝r； （3）直线l和⊙O相离?d＞r；

典例精析

例1：已知直线l：y＝x－3和点A（0，3），B（3，0），设P点为l上一点，试判断P、A、

B是否在同一个圆上？

例2：下列说法正确的是（ ）

A. 过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线 B. 若直线与圆不相切，则它和圆相交 C. 若直线和圆有公共点，直线和圆相交 D. 若直线和圆有唯一公共点，则公共点是切点

ACDB例3：设直线l到⊙O的圆心的距离为d，⊙O的半径为R，并使x?2dx?R?0，试根据关于x的一元二次方程根的情况讨论l

点与圆、圆与圆、直线与圆的位置关系

姓名： 日期： 指导老师：

知识点一：点与圆的位置关系

平面内，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有d>r?点P在⊙O______；

d=r?点P在⊙O______；d

1、 ⊙O的半径为5，O点到P点的距离为6，则点P（ ） A. 在⊙O内 B. 在⊙O外 C. 在⊙O上 D. 不能确定 2、 若△ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是（ ）

A. 锐角三角形

B. 直角三角形

C. 钝角三角形

D. 无法确定

3、直角三角形的两条直角边分别是12cm、5cm，这个三角形的外接圆的半径是（ ）．

A．5cm B．12cm C．13cm D．6．5cm

4、若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是(3，4)，点P的坐标是(5，8)，你认为点P的位置为（ ）

A.在⊙A内 B.在⊙A上 C.在⊙A外 D.不能确定

5、Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，?那么斜边中点D与⊙O的位置关

系是（ ）

A．点D在⊙A外

点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系整合

教学目标 (一)教学知识点

1．进一步理解和掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系．

2．不同位置关系所体现的数量关系，为以后与圆有关的计算、证明做铺垫． (二)能力训练要求

1．经历探索点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系的过程，培养学生的探索能力． 2．通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化．

(三)情感与价值观要求

通过探索点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

教学重点

经历探索点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系的过程．理解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系．掌握其对应与等价。

教学难点：经历探索点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系的过程，归纳总结出三种位置关系下的对应与等价．

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些？通过观看ppt课件，谈谈射击是如何计算成绩的？

[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．即圆上的点到圆心的距离等

九年级数学(下)第三章 圆

5.直线和圆的位置关系(2) 切线判定定理

直线与圆的位置关系量化揭密r O ┐d r●

●

O

r●

O

相交

d ┐ 相切

d ┐ 相离

直线和圆相交直线和圆相交

d < r;d = r;

直线和圆相交

d > r;

切线的性质定理

定理

圆的切线垂直于过切点的直径.

B

如图∵CD是⊙O的切线,A是 切点,OA是⊙O的半径, ∴CD⊥OA.C

●

O D

老师提示: 切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据;作 过切点的半径是常用经验辅助线之一.

A

议一议

直线何时变为切线

如图,AB是⊙O的直径,直线CD经过点A,CD与AB的夹角 为∠α,当CD绕点A旋转时,B

1.随着∠α的变化,点O到CD的距离 如何变化?直线CD与⊙O的位置关系 如何变化?

●

O D

2.当∠α等于多少度时,点O到CD 的距离等于半径?此时,直线CD与 ⊙O有的位置关系?有为什么?

α d C

α ┓ A

你能写出一个命题来表述这个事实吗?

议一议

切线的判定定理

定理 经过直径的一端,并且垂直于这条直径的 直线是圆的切线. BO D

如图 ∵OA是⊙O的半径,直线CD经过A 点,且CD⊥OA, ∴ CD是⊙O的切线.

●

老师提示: 切线的判定定理是证明

直线与圆的位置关系 题型培优

题型1（泉州）已知直线y=kx（k≠0）经过点（3,-4），（1）求k的值；（2）将该直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到直线与半径为6的⊙O相离（点O为坐标原点），试求m的取值范围

【变式题组】

1.（辽宁）如图，直线y=

3

x+3与x轴、y轴分别相交于A,B两点，圆心P的坐标为（1,0），⊙P与y轴相切3

于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P有 个

5

2.（永州）如图，在平面直角坐标系内，O为原点，A点的坐标为（-3,0），经过A、O两点作半径为的⊙O，

2交y轴的负半轴于点B （1）求B点的坐标；

（2）过B点作⊙C的切线交x轴于点D，求直线BD的解析式

题型2（襄樊）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于C，若∠A=25°，∠D等于（ ） A. 40° B.50° C.60° D.70° 【变式题组】 3.（徐州、南京）如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，弦AB与小圆相切于点C，则AB的长为（ ） A.4cm B. 5cm C. 6cm D.8cm

4.

篇一：圆与圆的位置关系教学反思

《圆与圆的位置关系》教学反思

汪明静

这节课的内容与 “直线和圆的位置关系”有密切的联系，但这节课的两圆位置关系远比直线与圆的位置关系复杂。 因此，为了调动学生对本节课的学习兴趣，我在黑板上举了日月食的形成过程引入新课。让学生类比直线与圆的位置关系，猜测两圆可能存在的位置关系，然后讨论，归纳确定两圆位置关系的各种情况。学生热情高涨都积极参与。

在与两圆位置关系相应的数量关系的研究中，鉴于学生已有直线与圆的位置关系中两量（半径、圆心到直线的距离）的数量关系的认知基础，就只运用了类比迁移的方法。这些方法的运用，都是为了充分发挥学生在探求新知过程中的主体作用。 其次，与五种位置关系相应的数量关系的研究中，我采用“先易后难，突破关键”的教学策略。先让学生解决易于解决的“外离”、“外切”、“内切”时的三量的数量关系，再解决“内含”时的三量的数量关系，最后突破相交时三量的数量关系：R－r<d< R+r。因此到这时，学生从两圆圆心距d的连续变化中，感悟出非负实数d的连续性。 此外，我用数轴表示法来帮助学生记忆 R、r、d这三者之间的关系，效果不错。

通过这节课的教学，我觉得课堂就应该交给学生，而不是一味的填鸭式灌输给学生，