一元函数的微分与导数的关系是什么?

一、微分和导数的关系是什么？

在初学微分和导数时，虽然感觉概念不复杂，但是我对两者的关系有点模糊，比如以下问题就觉得模棱两可： ?

对于导数链式法则， dydx=dydududxdydx=dydududx，可以理解为约去等。但假如有

dudu，所以等式相

F(x,y)，dydx=??F/?x?F/?yF(x,y)，dydx=??F/?x?F/?y ，通过消去?F?F，我

们是否可以推出 dydx=?dydxdydx=?dydx？

∫badydxdx?∫bady?y|ba∫abdydxdx?∫abdy?y|ab，这里实实在在地消去了dxdx。

? d(uv)=(u+du)(v+dv)?uv=udv+vdu+dudvd(uv)=(u+du)(v+dv)?uv=udv+vdu+dudv，

然后说dudvdudv太小了，所以忽略掉，得到微分的乘法法则：d(uv)=udv+vdud(uv)=udv+vdu，难道 udvudv和vduvdu 不小？

我当时脑子一片混乱，到底dxdx、dudu、dvdv是什么东西？为什么有的地方可以消去，有的

?

地方不可以消去？

其实在各个历史时期，导数和微分的定义是不一样的，要想解答上面的疑问，还得从微积分的发展历史中寻找答案。

~

第三章一元函数的导

数和微分【字体：大中小】【打印】

3.1 导数概念

一、问题的提出

1.切线问题

割线的极限位置——切线位置

如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线.

极限位置即

切线MT 的斜率为

2.自由落体运动的瞬时速度问题

~

二、导数的定义

设函数y=f（x ）在点的某个邻域内有定义，当自变量x 在处取得增量Δx （点仍在该邻域内）时，相应地函数y 取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x ）在点处可导，并称这个极限为函数

y=f（x ）在点处的导数，记为

即

其它形式

关于导数的说明：

在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变

化的快慢程度。

如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。

对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）

~ 的导函数，记作

注意：

2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数.

导数定义例题：

例1、115页8

设函数f（x）在点x=a可导，求：

（1）

【答疑编号11030101：针对该题提问】

（2）

【答疑编号11030102：针对该题提问】

~

三、单侧导数

1.左导数：

2.右导

【全国成人高考统考专升本《数学》总复习资料5】

第5次课 一元函数微分学（1）

教学要求

1. 理解导数概念和求导法则

2. 熟练掌握求一般函数和复合函数导数的方法

教学内容 y?f(x)

y 一、导数： ?y (y的改变量) l

1、定义： y0 ? ?x?0时，?y与?x的比?y有极限， ?x(x的改变量) ?x则该极限叫做f(x)在x0点处的导数. x0 x 即：f?(x0)?limx?x0?y?y?y0?f(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)?y ?lim?f(x0??x)?f(x0)?xx?x0?xdyf

32 第三章 一元函数微分学

§3.1 基本概念与主要结果

例1 设)(x f 定义在()+∞,0上且在1=x 处可导, 对任意0,>y x 有()()()y xf x yf xy f +=, 证明 )(x f 在()+∞,0上处处可导, 并求)('x f 与)(x f .

证明 令1==y x ，得)1(f =2)1(f ,)1(f =0, 当0>x 时有

()()=-+h x f h x f ()=-????????? ??+h x f x h x f 1.1()()()=--??? ??++??? ??+h xf x f x h xf x f x h 111()+x

x f ()x

h

f x h f 11-??? ??+,于是)('x f ()()=-+=←h x f h x f x 0lim ()()1'f x x f +. 下面解微分方程

()1'f x y dx dy += （1）.令x y u =，即ux y =，有u dx du x dx dy +=，代入（1）式化简得()x

f dx du 1'=，即()Cx x x f u +=ln 1'.令1=x ,得0=C ,故()()x x f x f ln 1'=,()()).ln 1(1''

目录

1 摘要..........................................................................................................................1 2 前言..........................................................................................................................1 3 一元函数极限的定义及定义 ................................................................................. 1

3.1 x趋于?时函数的极限概念 .......................................................................... 2 3.2函数极限的?-?定义的定义 .........................................................

第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念

1．导数：

y?f(x)在x0?y?x?lim的某个邻域内有定义，

?x?0limf(x0??x)?f(x0)?x

?x?0

?limf(x)?f(x0)x?x0

x?x0y?x?x0?f?(x0)?dydxx?x0

2．左导数：

f??(x0)?lim?x?x0f(x)?f(x0)x?x0

右导数：

定理：

f??(x0)?lim?x?x0f(x)?f(x0)x?x0

f(x)在x0的左（或右）邻域上连续在

其内可导，且极限存在；

则：

f??(x0)?lim?f?(x)x?x0

（或：

f??(x0)?lim?f?(x)x?x0）

3.函数可导的必要条件：

定理：

f(x)在x0处可导?f(x)在x0处连续

4. 函数可导的充要条件：

定理：

y?x?x0?f?(x0)存在

?f??(x0)?f??(x0)，

且存在。

5.导函数：

y??f?(x), x?(a,b)

f(x)在(a,b)内处处可导。 y f?(x0)

一元函数极限的基本求法

一元函数极限的基本求法

摘 要：函数的极限及其求法是微积分的基础。本文主要探讨、总结了求极限的基本方法，对每种方法的特点及注意事项作了说明，并加以实例进行讲解。

关键词：极限；积分；级数；洛必达法则。

1 引言

本文介绍了一些求极限的方法有：利用定义求极限，函数连续性求极限、四则运算、两个重要极限、等价无穷小量代替求极限、洛必达法则、泰勒展开式求极限、微分中值定理等等。在求极限的过程中，会发现一道题可以运用多种方法解答，因此给我们的启示是每种方法之间都有一定的联系。在求极限时，可以根据不同的形式选择不同的计算方法，合理利用各种计算方法，亦可进行适当的结合，使得求极限的方法更明了，算法更简单。 2 相关的定义和性质 2.1一元函数极限的概念

x趋于?时的函数极限：设函数f(x)为定义在?a,???的函数，A是一个定数，若对

使得当x?M时有f(x)?A??则称函数f(x)当x趋于??时以A为极???0，?正数M，限，记为limf(x)?A。

x???x趋于x0时的函数极限：设函数f(x)在点x0的某个空心邻域U0(x0,?)内有定义，A为定数，若对???0，存在正数?，使得当0?x?x0??时有f(x)

实验一 : 一元函数微分学

实验1 一元函数的图形（基础实验）

实验目的 通过图形加深对函数及其性质的认识与理解, 掌握运用函数的图形来观察和分析 函数的有关特性与变化趋势的方法,建立数形结合的思想; 掌握用Mathematica作平面曲线图性的方法与技巧.

基本命令

1. 在平面直角坐标系中作一元函数图形的命令Plot: Plot[f[x],{x,min,max},选项]

Plot有很多选项(Options), 可满足作图时的种种需要, 例如,输入

Plot[x^2,{x,-1,1},AspectRatio->1,PlotStyle->RGBColor[1,0,0],PlotPoints->30]

则输出y?x2在区间?1?x?1上的图形. 其中选项AspectRatio->1使图形的高与宽之比为1. 如 果不输入这个选项, 则命令默认图形的高宽比为黄金分割值. 而选项PlotStyle->RGBColor[1,0,0] 使曲线采用某种颜色. 方括号内的三个数分别取0与1之间. 选项PlotPoints->30令计算机描点作 图时在每个单位长度内取30个点, 增加这个选项会使图形

第一章 一元函数的极限

§1.1 利用定义及迫敛性定理求极限

设R表示实数集合,R*表示扩张的实数集,即R*?R????,???. 例1 若liman?a?R*.证明limn???a1?a2???ann?0?a?R* (算术平均值收敛公式).

?a?n???证明 (1)设a?R,由liman?a,??n???,?N1?0,当n?N1时, an?2.

因此

a1?a2???ann?a

?(a1?a)?(a2?a)???(an?a)n

?a1?a?a2?a???aN?a1nAnAn?aN1?1?a???an?an

??n?N1n??2

???2,

An?其中A?a1?a?a2?a???aN?a.又存在N2?0,当n?N2时,

1?2.因此当

n?max{N1,N2}时,

a1?a2???ann?0?a??2??2??.

（2）设liman???,则?Mn???,?N1?0,当n?N1时,an?3M.

因此

?a1?a2???ann

aN1a1?a2???aNn1??1?aN1?2???annAn1?An?n?N1n?3M,

?0其中A?a1?a2???aN.由于时,

An?M2?0,

n?N1n?1(n???),所以存在N2,当n?N2,

n?N1

第一章 一元函数的极限

§1.1 利用定义及迫敛性定理求极限

设R表示实数集合,R*表示扩张的实数集,即R*?R????,???. 例1 若liman?a?R*.证明limn???a1?a2???ann?0?a?R* (算术平均值收敛公式).

?a?n???证明 (1)设a?R,由liman?a,??n???,?N1?0,当n?N1时, an?2.

因此

a1?a2???ann?a

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An?其中A?a1?a?a2?a???aN?a.又存在N2?0,当n?N2时,

1?2.因此当

n?max{N1,N2}时,

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（2）设liman???,则?Mn???,?N1?0,当n?N1时,an?3M.

因此

?a1?a2???ann

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n?N1n?1(n???),所以存在N2,当n?N2,

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