重心线段比例证明

怎样证明线段成比例

【知识要点】

本章节中，所要介绍的线段成比例的证明方法，主要有以下几种：

（1）利用相似三角形的对应边成比例法证。思路是：把待证的四条线段视为两个三角形的边，从而把问题转化为证两个三角形相似。

（2）用等线代换法证：若所要证的比例式中的线段不是两个三角形的边，可把比例式中的线段换成与它相等的线段，这四条线段都在两个三角形中，证这两个三角形相似。 （3）用等比代换法去证：若a,b,c,d是四条线段，欲证

ab?cd，可先证得

ab?ef（e,f是两条线段）然后证

ef?cd，这里把

ef叫做中间比。

【典型例题】

例1 如图，在?ABC中，D是BC的中点，E是AC上一点，连DE并延长交BA延长线于F，且ED=FE，AD∥FD交BC于G，DH∥BA交AC于H，求证：GD:CD=DH:FB。

A 3

E 2 H 1 C

F

B G D

例2 如图，已知Rt?ABC中，?ACB?90?,CD?AB于D，E是BC的中点，连结ED并延长交CA的延长线于F，求证：

A 1 2 F E 3 B

P D

4 C

C ACDF?BCCF。

B E 2 1 D 3 A F 例3 已知，如图，在?ABC中，AB=AC，AD是中线，

成比例线段基础 试题

一．填空

（1）若x y3 y5，则x ； l1 E y

（2）线段a，b的积是625，则a、b的比例中项是 ；l2（3）如果a:b:c 3:4:5，那么

（4）如图，l1∥l2∥l3，那么2a 3b c ； C a 5b 3cEG___； l3 FG___

（5）⊿ABC中，如果AC:CB 3:4，∠C的内角平分线交AB于P，那么PA:PB

（6）若x xy 6y 0，则x:y ； （7）如图，⊿ABC中，DE∥BC，AD = 3k，BD = 3k， 那么DE:BC ； B （8）如图，⊿ABC中，∠C = 90，CD是斜边AB上的高， C

AD = 9，BD = 4，那么 CD = ；AC = ；

（9）已知⊿ABC中，P是AB上的一点，∠ACP = ∠B，

AB = c，AC =b，那么AP = ； A D

第四章 图形的相似第1节 成比例线段

问题1:同桌之间用不同的单位测量课 本的长与宽(精确到0.1cm),并 求出这两条线段的长度之比。

?

?

议一议：经过刚才的实际操作,你们认为 两条线段长度的比与所采用的长度单 位有没有关系？两条线段长度的比与所采用的 长度单位无关.但要采用同一个长度 单位.

如果选用同一个长度单位量得两条 线段AB,CD的长度分别是m,n,那么就 说这两条线段的比AB:CD=m:n, 或写成

AB m = CD n

其中，线段AB、CD

分别叫做这个线段比的前项和后项.AB m 表示成比值k ,那么 如果把 =k CD n

两条线段的比实际上就是两个数的比。

例如：五边形 ABCDE与五边形A’B’C’D’E’形状相同，AB=5cm,A’B’=3cm。 5 那么AB:A’B’=5 : 3, 就是线段AB与线段 3 A‘B’的比。 这个比值 刻画了这两个 五边形的大小 关系。

问题2:如图，设小方格的边长为1,四边形 ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上，那 么AB,CD,EH,EF的长度分别是多少？分 别计算AB AD AB EF , , , EF EH AD EH

值。

你发现了什么？

成比例线段四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比

姓 名 辅导科目 数学 上海育才苑教学设计方案

学生姓名 年级 八年级 课时 2 上课时间 教材版本 12年9月69日15：00-17：00 沪教版 课题名称 放缩与相似形、比例线段 1、理解放缩与相似形的概念，掌握相似形基本特征。 2、理解比与比例及比例中项等概念，掌握比例的基本性质、合比定理和更比定理，会用它们进行教学目标 简单的比例变形； 3、理解比例线段及黄金分割的概念，理解平行线分线段成比例定理，会作第四比例项 教学重点 放缩与相似形、比例线段 教学难点 比例中项等概念、比例的基本性质、合比定理和更比定理的运用。 教 学 及 辅 导 过 程 一、复习导入 （一）放缩与相似形 1、观察 以下几组图形有什么特征？ C A B 2、概念辨析 （1）图形的放大或缩小称为图形的放缩运动. （2）把形状相同，大小不一定相等的两个图形称为相似形. （3）如果两个多边形是相似图形，那么这两个多边形的对应角相等，各对应边的长度成比例（或各对应 边长度的比值是相等的） （4）如果两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值是1。 （二）比例线

九年级数学比例线段复习

1.如图，△ACD∽△ABC，则下列各式一定不成立的是（ ） A.CD?AD?DB2 B.AC?AD?AB C. BC?BD?BA D.

22ACAB ?ADBC2. 在△ABC中，AB=6cm，AC=10cm，D是AB上一点，且AD=2cm，若E是AC上一点，且△ADE∽△ABC，则AE=____________cm. 3. 一三角形的各边之比为3：5：6，与它相似的另一个三角形的最大边长30cm，它的最小边长_______cm. 4.如图，D，E分别是AB，AC上的点，且AD=4，BD=2，AC=8cm，若△AED∽△ABC， A 且AD的对应边为AC，求AE的长.

D E

B C AB55. 如图，△ABC∽△ACD，且?，AD=2cm，DC=6cm，求AC和BC的长. AC2

二．课堂作业：

1. 如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（ ） A、1对 B、2对 C、3对 D、4对

2. 已知如图DE∥BC，A、

AD1DE ? 求?（ ）

DB2BCDBz

11 B、 C、2 D、3 23AE

9.2平行线分线段成比例

学习目标1.了解平行线分线段成比例这个基本事实产生的过程

2.掌握由平行线分线段成比例所得的推论

3.会用平行线分线段成比例的事实和推论,解决相关的计算和证明问题

学习流程

一、回顾复习

1．比例线段的概念

2．比例的基本性质

二、新知探究

探究活动一

如图（1）小方格的边长都是1，直线a∥b∥c,分别交直线m,n于A?，A?，A?，B?，B?，B?。

1.计算的值，你有什么发

现？

2.将ｂ向下平移到如下图的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别为A?，B?。你在问题

（１）中发现的结论还成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？

3.在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？（归纳、猜想）

4.结论：平行线分线段成比例定理

5.符号语言: ∵

∴

6.思考：①如何理解“对应线段”？

②“对应线段”成比例都有哪些表达形式？

探究活动二

1.如图，直线a ∥b∥ c ，分别交直线m,n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3。过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于点C2，C3。如右图，右图中有哪些成比例线段？

2.结论：平行线分线段成比例定理的推论

_

3.思考：在下图中，如果过点A?作直线n的平行线l，分别交直线a，c于点C?，C?，如图，你发现m与

9.2平行线分线段成比例

学习目标1.了解平行线分线段成比例这个基本事实产生的过程

2.掌握由平行线分线段成比例所得的推论

3.会用平行线分线段成比例的事实和推论,解决相关的计算和证明问题

学习流程

一、回顾复习

1．比例线段的概念

2．比例的基本性质

二、新知探究

探究活动一

如图（1）小方格的边长都是1，直线a∥b∥c,分别交直线m,n于A?，A?，A?，B?，B?，B?。

1.计算的值，你有什么发

现？

2.将ｂ向下平移到如下图的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别为A?，B?。你在问题

（１）中发现的结论还成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？

3.在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？（归纳、猜想）

4.结论：平行线分线段成比例定理

5.符号语言: ∵

∴

6.思考：①如何理解“对应线段”？

②“对应线段”成比例都有哪些表达形式？

探究活动二

1.如图，直线a ∥b∥ c ，分别交直线m,n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3。过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于点C2，C3。如右图，右图中有哪些成比例线段？

2.结论：平行线分线段成比例定理的推论

_

3.思考：在下图中，如果过点A?作直线n的平行线l，分别交直线a，c于点C?，C?，如图，你发现m与

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成比例线段及相似图形（讲义）

? 课前预习

1. 读一读，想一想：

①两个数相除又叫做两个数的比，比如a÷b，又可以写作

a，ba:b；在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项．比的前项除以后项所得的商，叫做比值． ②比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变． ③表示两个比相等的式子叫做比例，比如a:b=c:d，又可以写作

ac?；组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项bd叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．

④在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质．

⑤能够完全重合的两个图形称为全等图形． ⑥全等图形的形状和大小都相同． 2. 填空：

①若a:b=2:3，b:c=2:3，则a:b:c=_________． ②若x:y?2:5，x:z?5:9，则y:z?________． ③若2a?3b?4c，则a:b:c?________．

④若△ABC三边a:b:c?6:4:3，三边上的高分别为

h1，h2，h3，则h1:h2:h3?________． 3. 求解下列各式中的x．

412:?:x 32

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冀教版第25章第2节 平行线分线段成比例

河北省唐山市迁安（县）市第三初级中学 张艳军

一、内容及内容解析

“平行线分线段成比例” 是《课程标准》图形的性质及其证明中列出的九个基本事实之一，是平面几何的一个重要定理，也是研究相似形的最重要和最基本的理论。它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比。把平行线分线段成比例应用在三角形上，就得到了定理的一个重要推论，这个推论是判定三角形相似的理论基础。在学习平行线分线段成比例定理要让学生有足够的体验，很难达到对定理的理解，进而影响了后续知识的掌握。所有的新知识，都要通过自身“再创造”，纳入到自己的认知结构中，成为有效而能发展的知识，优化和发展了数学认知结构。因此在教学过程中，要给学生充足的研讨时间，化未知为已知，掌握相应的数学思想方法，发展学生的认知，这样才能达到对基本事实的理解，进而为后续学习奠定基础。

二、目标及目标解读

1.经历探索“平行线分线段成比例”的过程.

2.掌握“平行线分线段成比例”基本事实：两条直线被一组平等线所截，截得的对应线段成比例.

3.在得出“平行线分线段成

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冀教版第25章第2节 平行线分线段成比例

河北省唐山市迁安（县）市第三初级中学 张艳军

一、内容及内容解析

“平行线分线段成比例” 是《课程标准》图形的性质及其证明中列出的九个基本事实之一，是平面几何的一个重要定理，也是研究相似形的最重要和最基本的理论。它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比。把平行线分线段成比例应用在三角形上，就得到了定理的一个重要推论，这个推论是判定三角形相似的理论基础。在学习平行线分线段成比例定理要让学生有足够的体验，很难达到对定理的理解，进而影响了后续知识的掌握。所有的新知识，都要通过自身“再创造”，纳入到自己的认知结构中，成为有效而能发展的知识，优化和发展了数学认知结构。因此在教学过程中，要给学生充足的研讨时间，化未知为已知，掌握相应的数学思想方法，发展学生的认知，这样才能达到对基本事实的理解，进而为后续学习奠定基础。

二、目标及目标解读

1.经历探索“平行线分线段成比例”的过程.

2.掌握“平行线分线段成比例”基本事实：两条直线被一组平等线所截，截得的对应线段成比例.

3.在得出“平行线分线段成