高中数学选修不等式知识点总结

不等式

高中数学第六章-不等式

考试内容：

不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求：

（1）理解不等式的性质及其证明．

（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．

（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．

（4）掌握简单不等式的解法．

（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│

§06. 不 等 式 知识要点

1. 不等式的基本概念

（1） 不等（等）号的定义：a b 0 a b;a b 0 a b;a b 0 a b.

（2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.

（3） 同向不等式与异向不等式.

（4） 同解不等式与不等式的同解变形.

2.不等式的基本性质

（1）a b b a（对称性）

（2）a b,b c a c（传递性）

（3）a b a c b c（加法单调性）

（4）a b,c d a c b d（同向不等式相加）

（5）a b,c d a c b d（异向不等式相减）

（6）a. b,c 0 ac bc

（7）a b,c 0 ac bc（乘法单调性）

（8）a b 0,c d 0 ac bd（同向不等式相乘）

(9)a b 0,0

数学选修2－1

第一章：命题与逻辑结构 知识点：

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.

真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.

3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若 p，则 q”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若 q，则 p”。

6、四种命题的真假性：

原命题 逆命题 真 真 真 假 假 真 假 假

四种命题的真假性之间的关系：

否命题 真 假 真 假

逆否命题

真 真 假 假

1 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性

数学选修2－1

第一章：命题与逻辑结构 知识点：

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.

真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.

3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若 p，则 q”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若 q，则 p”。

6、四种命题的真假性：

原命题 逆命题 真 真 真 假 假 真 假 假

四种命题的真假性之间的关系：

否命题 真 假 真 假

逆否命题

真 真 假 假

1 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性

高中数学选修2-1知识点总结

高中数学选修2-1知识点总结

第一章常用逻辑用语

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.

假命题：判断为假的语句.

2、“若p，则q”：p称为命题的条件，q称为命题的结论.

3、若原命题为“若p，则q”，则它的逆命题为“若q，则p”.

4、若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p?，则q?”.

5、若原命题为“若p，则q”，则它的逆否命题为“若q?，则p?”.

6、四种命题的真假性：

- 1 -

高中数学选修2-1知识点总结

- 2 -

四种命题的真假性之间的关系：

()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

7、p 是q 的充要条件：p q ?

p 是q 的充分不必要条件：q p ?，p q ≠>

p 是q 的必要不充分条件：p q q p ?≠>,

p 是q 的既不充分不必要条件：,q p ≠>p q ≠>

8、逻辑联结词：

（1）用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．全真则真，有假则假。

（2）用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．全假

2018-2019年高中数学知识点《不等式》《具体的不等式》《一元二次不等式》同步练习试卷【5】含答案考点及解析

班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________

题号 一 二 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 三 总分 得 分 一、选择题

1.在上定义运算：值范围是（ ） A．【答案】C 【解析】

试题分析：根据定义可得不等式不等式对任意实数都成立，所以解得

，故选C.

，若不等式对任意实数都成立，则的取

B．

C．

D．

为即

，此，从中

考点：1.新定义；2.一元二次不等式.

2.（5分）（2011?广东）不等式2x﹣x﹣1＞0的解集是（ ） A．【答案】D 【解析】

试题分析：将不等式的左边分解因式得到相应的方程的根；利用二次方程解集的形式写出解集．

解：原不等式同解于 （2x+1）（x﹣1）＞0 ∴x＞1或x＜故选：D

2

B．（1，+∞）

C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）

D．（1，+∞）

∪

点评：本题考查二次不等式的解法：判断相应的方程是否有根；若有根求出两个根；据二次不等式解集的形式写出解

不等式的知识要点

1.不等式的基本概念 2.不等式的基本性质 （1）a（2）a（3）a（4）a（5）a?b?b?a（对称性）

?b,b?c?a?c（传递性）

?b?a?c?b?c（加法单调性）

?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加） ?b,c?d?a?c?b?d（异向不等式相减）

（6）a.?（7）a（8）ab,c?0?ac?bc

?b,c?0?ac?bc（乘法单调性）

?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘）

ab（异向不等式相除） ?cd(9)a?b?0,0?c?d?(10)a?b,ab?0?（11）a11（倒数关系） ?ab?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法则）

?0(n?N*)（开方法则）

（12）2na3.几个重要不等式

（1）非负式：若a?R,则|a|?0,a2?0；若a?0,则a?0. （2）若a、b?R?,则a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)（当仅当a=b时取等号）

（3）二元均值不等式：如果a,b都是正数，那么

ab?a?b（当仅当a=b时取等号）

.2常用为：a?b?2，ab?(a?b)2（当仅当a=b时取等号） ab（当仅当a=b时取等号）

2? 极值定理：若

2018-2019年高中数学知识点《不等式》《具体的不等式》《绝对值不等式》课后练习试卷【9】含答案考点及解析

班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________

题号 一 二 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 三 总分 得 分 一、选择题

1.不等式A．

B．

C．

D．

【答案】D 【解析】 试题分析：因为，

所以，，选D。

考点：绝对值不等式解法

点评：简单题，绝对值不等式解法，通常以“去绝对值符号”为出发点。有“平方法”，“分类讨论法”，“几何意义法”，不等式性质法等等。 2.不等式A． B．【答案】D 【解析】解：因为

，选D.

的解集是（ ）

C．

D

，故不等式

3.在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则( ) A．－1＜a＜1 【答案】C

【解析】解：∵（x-a）⊙（x+a）＜1 ∴（x-a）（1-x-a）＜1， 即x-x-a+a+1＞0

2

2

B．0＜a＜2 C．－＜a＜ D．－＜a＜

∵任意实数x成立， 故△=1-4（-a

不等式总结

一、不等式的主要性质：

(1)对称性：a b b a (2)传递性：a b,b c a c (3)加法法则：a b a c b c； a b,c d a c b d (4)乘法法则：a b,c 0 ac bc； a b,c 0 ac bc

a b 0,c d 0 ac bd

(5)倒数法则：a b,ab 0

11 ab

(6)乘方法则：a b 0 an bn(n N*且n 1) (7)开方法则：a b 0 a (n N*且n 1)

二、一元二次不等式ax2 bx c 0和ax2 bx c 0(a 0)及其解法

注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式

1.均值不等式：如果a,b是正数，那么

a b

ab(当且仅当a b时取" "号). 2

2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等

3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数），即

a b2（当

112 ab

a = b时取等）

四、含有绝对值的不等式

1．绝对值的几何意义：|x|是指数轴上点x到原点的距离；|x1 x2

基本初等函数的导数公式:

1若f(x) c(c为常数)，则f (x) 0； 2 若f(x) x ,则f (x) x 1;

3 若f(x) sinx,则f (x) cosx 4 若f(x) cosx,则f (x) sinx;

5 若f(x) ax,则f (x) axlna 6 若f(x) ex,则f (x) ex

x7 若f(x) loga,则f (x) 11 8 若f(x) lnx,则f (x) xlnax

导数的运算法则

1. [f(x) g(x)] f (x) g (x) 2. [f(x) g(x)] f (x) g(x) f(x) g (x) 3. [f(x)f (x) g(x) f(x) g (x)] 2g(x)[g(x)]

导数在研究函数中的应用

1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(a,b)内，如果f (x) 0，那么函数y f(x)在这个区间单调递增；如果f (x

高中数学复习系列---不等式（柯西不等式）

【柯西不等式的主要内容】 1. 柯西主要贡献简介：

柯西（Cauchy），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等. 2.二维形式的柯西不等式： 若a,b,c,d?R，则 当且仅当 时, 等号成立. 变式1.若a,b,c,d?R，则a2?b2?c2?d20

|ac?bd|或a2?b2?c2?d2ac?bd；

0

变式2.若a,b,c,d?R，则a2?b2?c2?d2(a?c)2?(b?d)2 ；

变式3.（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则： (x1?x2)2?(y1?y2)2?(x2?x3)2?(y2?y3)2?3. 一般形式的柯西不等式：设n为大于1的自然数，

0

ai,bi?R(i?1,2,…,n)，

则： .当且