导数的概念和定义

导数的概念及导数的几何意义 一．知识梳理

1、导数的概念及意义

求函数y?f(x)在x0处的导数的步骤：

（1）求函数的改变量?y?f?x0??x??f?x0?；

?y? ； ?x（3）取极限，得导数y?? .

（2）求平均变化率

特别提醒：f/(x0)的定义式并不唯一，f?(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)，也可以写成

?xf(x0)?f(x0??x)f(x)?f(x0)等形式. ,lim?x?0x?x0?xx?x0特别提醒：注意f?(x)与f?(x0)的区别与联系

曲线C:y?f(x)在点（x0，y0）处的导数的几何意义是f(x)在该点处的切线的 ，即k? .切线方程为 . 物理意义:设物体运动规律是s?s(t),则 表示物体在t=t0时刻的瞬时速度；设v?v(t)是速度函数，则 表示物体在t=t0时刻的加速度. lim2.常用导数公式

(1).若f(x)?c,则f?(x)?_______;(2).若f(x)?xn,则f?(

导数概念及其几何意义、导数的运算

一、选择题

1.曲线y＝x3-3x2+1在点(1,-1)处的切线方程为( )

A.y＝3x-4 B.y＝-3x+2 C.y＝-4x+3 D.y＝4x-5

2.设函数y＝xsinx+cosx的图象上的点(x,y)处的切线斜率为k,若k＝g(x),则函数k＝g(x)的图象大致为( )

3.一质点的运动方程为s＝5-3t2,则在一段时间［1,1+Δt］内相应的平均速度为( )

A.3Δt+6 B.-3Δt+6 C.3Δt-6 D.-3Δt-6

4.曲线f(x)＝ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3＝0的最短距离是…( ) A. B.2 C. D.0

5.过曲线y＝x3+x-2上的点P0的切线平行于直线y＝4x-1,则切点P0的坐标为( )

A.(0,-1)或(1,0) B.(1

第三章 导数及其应用

命题探究

解答过程

(解法一)

(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).其中2ex+1>0恒成立.

(i)若a≤0,则f '(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递减. (ii)若a>0,则由f '(x)=0得x=-ln a.

当x∈(-∞,-ln a)时, f '(x)<0;当x∈(-ln a,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增. (2)(i)若a≤0,由(1)知, f(x)至多有一个零点.

(ii)若a>0,由(1)知,当x=-ln a时, f(x)取得最小值,最小值为f(-ln a)=1-+ln a.

①当a=1时,由于f(-ln a)=0,故f(x)只有一个零点;

②当a∈(1,+∞)时,由于1-+ln a>0,即f(-ln a)>0,

故f(x)没有零点;

③当a∈(0,1)时,1-+ln a<0,即f(-ln a)<0.

又f(-2)=ae+(a-2)e+2>-2e+2>0,故f(x)在(-∞,-ln a)有一个零点.

-4

-2

-2

设正整数n0满足n0>ln

- ,则f(n0)= (a +a-2)-n0> -n0> -n0>0. 由于ln

- >-ln a,因此f

导数练习（二）

一、知识点

导数的概念

1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△x)－f(x0)，若极限

存在，则此

极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记为f ’(x0)，或

导数的几何意义：

函数

在点

处的导数的几何意义就是曲线

在点P

在点

；

处的切线的斜率，，切线方程为

也就是说，曲线处的切线的斜率是

1

一些基本初等函数的导数表

（1）；

（2）；与此有关的如下：

；

（3）； （4）；

（5）； （6）；

（7）

导数的运算法则：

； （8）；

（1）（2）

；

；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）若

二、经典范例及练习

则。

（一）求曲线的切线方程四种常见的类型及解法：（重点）

2

（求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点

及斜率，其求法为：设

方程为：

．若曲线

是曲线

在点．）

上的一点，则以

的切点的切线

的切线平行于轴（即导

数不存在）时，由切线定义知，切线方程为

类型一：已知切点，求曲线的切线方程

例1 曲线

在点

处的切线方程为（ ）

Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．

类型二：已知斜率，求曲线的切线方程

此类题

《交往行为理论》选译之二：合理性概念的定义

哈贝马斯 著

曹卫东 译

无论何时，我们一旦使用\合理的\（rational）这样一种说法，也就在合理性和知识之间建立起了一种紧密的联系。我们的知识具有命题结构：意见可以用陈述的形式准确地

表达出来。我想把这样一种知识概念当作我的前提，并且不再作进一步的解释，因为合理

性更多涉及到的是具有语言和行为能力的主体如何才能获得知识和使用知识，而不是对知

识的占有。语言可以把知识准确地表达出来，而具有一定目的的行为所表现的则是一种能

力，一种潜在的知识；当然，这样一种\知道如何\（Know-How）是完全可以转化成\知道

为何\（Know-That）的【15】。 我们如果想从语法上找到能够和谓词\合理的\相应的主

语，就会遇到两个主要的选择对象。掌握知识的人以及体现知识的符号表达、语言行为和

非语言行为、交往行为和非交往行为等，或多或少都可能是合理的。我们可以说男人和女

人、儿童和成人、部长和售票员等是\合理的\，但不能说鱼、丁香花、山脉、道

路或椅子

等是\合理的\。我们可以说道歉、迟到、外科手术、宣战、修理、建筑设计或会议作出的

决议等是\不合理的\，但不能说暴风雨、事故、中奖或生病等是\不合理的\

《交往行为理论》选译之二：合理性概念的定义

哈贝马斯 著

曹卫东 译

无论何时，我们一旦使用\合理的\（rational）这样一种说法，也就在合理性和知识之间建立起了一种紧密的联系。我们的知识具有命题结构：意见可以用陈述的形式准确地

表达出来。我想把这样一种知识概念当作我的前提，并且不再作进一步的解释，因为合理

性更多涉及到的是具有语言和行为能力的主体如何才能获得知识和使用知识，而不是对知

识的占有。语言可以把知识准确地表达出来，而具有一定目的的行为所表现的则是一种能

力，一种潜在的知识；当然，这样一种\知道如何\（Know-How）是完全可以转化成\知道

为何\（Know-That）的【15】。 我们如果想从语法上找到能够和谓词\合理的\相应的主

语，就会遇到两个主要的选择对象。掌握知识的人以及体现知识的符号表达、语言行为和

非语言行为、交往行为和非交往行为等，或多或少都可能是合理的。我们可以说男人和女

人、儿童和成人、部长和售票员等是\合理的\，但不能说鱼、丁香花、山脉、道

路或椅子

等是\合理的\。我们可以说道歉、迟到、外科手术、宣战、修理、建筑设计或会议作出的

决议等是\不合理的\，但不能说暴风雨、事故、中奖或生病等是\不合理的\

变化率问题与导数的概念

变化率问题 与导数的概念

变化率问题与导数的概念

问题1.气球平均膨胀率.吹气球时,会发现:随着气球内空气容量的 增加,气球的半径增加得越来越慢,能从数 学的角度解释这一现象吗?解:可知:V(r)= πr3 即：r(V)=3

3V 4

当空气容量V从0增加1L时，半径增加了 r(1)-r(0)= 0.62

r (1) r (0) 气球平均膨胀率： 0.62 1 0

变化率问题与导数的概念

问题1.气球平均膨胀率.当空气容量V从1加2L时，半径增加了 r(2)-r(1)= 0.16

r (2) r (1) 气球平均膨胀率： 0.16 2 1可以看出，随着气球体积变大，它的平均 膨胀率变小.

思考：当空气容量从V1增加到V2 时,气 球的平均膨胀率是多少呢?

变化率问题与导数的概念

问题2.平均速度.物体自由落体的运动方程是: 1 S(t)= gt2,2

求1s到2s时的平均速度.

3 解： S2-S1= g=14.7 2t2-t1= 1

S (2) S (1) V = 14.7 2 1

变化率问题与导数的概念

问题2.平均速度.思考：求t1s到t2s时的平均速度. V =

S (t2 ) S (t1 ) t2 t1

高三数学新课标复习讲座之导数的概念及几何意义 石嘴山市光明中学 潘学功

导数的概念及几何意义

【基础回归】

1．函数y=(2x－1)的导数是（ ）

A．16x－4x

2

3

22

2

B．4x－8x

3

C．16x－8x

3

D．16x－4x

3

2．曲线y=4x－x上有两点A（4，0），B（2，4），若曲线上一点P处的切线恰好平行于弦AB，则点P的坐标是（ ）

A．（3，3）

B．（1，3）

C．（6，－12）

D．（2，4）

3．设y=－tanx，则y′= （ ） A．?1 2cosx

B．

sinx 2cosx2

C．

1

2

1?x

2

D．－

1 21?x4．若f'(x)?x，则[xf(x)]′等于 （ ）

A．xf(x)＋x

B．f(x)＋x

C．x

D．f(x)

5．已知f(x)?ax3?3x2?2，若f'(?1)?4，则a?（ ）

A．

19 3 B．

16 3 C．

13 3 D．

10 36．（2008宁夏）设f(x)?xlnx，若f'(x0)?2，则x0?（ ） A. e B. e 7．（2010宁夏）曲线y?2

高三理科数学二轮总复习专题(绝对精品)

高考专题训练四 导数与积分的概念及运算、导数的应用

班级________ 姓名________ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________

一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．

1．(2011·全国)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )

1

A. 32C. 3解析：

1B.2D．1

y′＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2，在点(0,2)处的切线为：y－2＝－2x，即2x＋y－2＝0

y＝x由 2x＋y－2＝0

2 x＝3得

2 y＝ 3

22

，A 3，3，

高三理科数学二轮总复习专题(绝对精品)

121

S△ABO＝233答案：A

2．(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )

A．(－1,1) C．(－∞，－1)

B．(－1，＋∞) D．(－∞，＋∞)

解析：f(x)>2x＋4，即f(x)－2x－4>0.

构造F(x)＝f(x)－2x－4

高考 倒数概念的详细讲解

1文．函数 Ａ.

Ｂ.

是减函数的区间为(D)

Ｃ. Ｄ.

1（理）函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（B ） A (

2．若曲线 A．

C． 3.函数

A.2 B.3 C.4 D.5

，已知

在

时取得极值，则=（B）

D．

B．

的一条切线与直线

垂直，则的方程为A

) B (π,2π) C (

) D (2π,3π)

4.在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个

数是 （ D ）

A．3 B．2 C．1 D．0

3

5．曲线y x在点(1,1)处的切线与x轴、直线x 2所围成的三角形的面积为______8/3____

6.设a为实数,函数

(Ⅰ)求

(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线

轴仅有一个交点.

的极值.

高考 倒数概念的详细讲解

【解答】：(I)

=3－2－1

若

=0，则=－，=1

当变化时，，变化情况如下表：

的极大值是，极小值是

(II)函数