高数同济第五章答案

第五章 定积分的应用

在本章中，我们将利用学过的定积分理论来解决一些实际问题.首先介绍建立定积分数学模型的方法——微分元素法；再利用这一方法求一些几何量(如面积、体积、弧长等)和一些物理量(如功、液体静压力、引力等)；并介绍定积分在经济学中的简单应用.

第一节 微分元素法

实际问题中，哪些量可用定积分计算？如何建立这些量的定积分表达式？本节中我们将回答这两个问题.由定积分定义知，若f在区间?（x）?a,b??上可积，则对于??a,b??的任一划分：

a?x0＜x1＜?＜xn?b，及??xi?1,xi??中任意点ξi,有

n?baf(x)dx?limλ?0?i?1f(ξi)Δxi，

(5?1?1)

这里Δxi?xi?xi?1?i?1,2,?,n?,λ?max?Δxi?. (5?1?1)式表明定积分的本质是一类特定和式

1?i?n的极限，此极限值与?只与区间?有关.基于此，（x）?a,b??的分法及点ξi的取法无关，?a,b??及函数f我们可以将一些实际问题中有关量的计算归结为定积分来计算.例如，曲边梯形的面积、变速直线运动的位移等均可用定积分来表达.由上一章中分析曲边梯形面积用定积分来表示的过程，

《高等应用数学实训教程》

- 1 - 第五章 空间解析几何

一、学习要点：

1.理解空间向量的有关概念，掌握空间向量的坐标表示，单位向量，方向余弦；

2.熟练掌握空间向量的线性运算，数量积、向量积的坐标运算法；

3.熟练掌握空间向量平行、垂直的充要条件及判定；

4.掌握平面的点法式方程、一般式方程、截距式方程；

5.知道空间一点到平面的距离公式；

6.掌握直线的对称式、参数式、一般式方程及其求方程的方法

7.会判定直线和平面的位置关系(垂直、平行、直线在平面上)；

8.了解母线平行于坐标轴的柱面，旋转抛物面，圆锥面，椭球面方程及图形.

二、相关知识总结：

1.空间直角坐标系的建立及其空间点的直角坐标.

2.空间直角坐标系中任意两点11112222(,,),(,,)p x y z p x y z 间的距离公式： 21221221221)()()(z z y y x x p p d -+-+-==.

3.空间向量的有关概念及向量的坐标表示.

4.空间向量的线性运算及利用坐标进行向量的线性运算.

5.空间向量模的坐标表示：

设向量{,,}x y z a a a a =，其模2x a a =+

向量a 的单位向量：0{cos ,cos ,cos }a i a j a k a αβγ

1|34

习题4?1

1. 求下列不定积分:

1 (1)?2dx;

x111 解 ?2dx??x?2dx?x?2?1?C???C.

?2?1xx (2)?xxdx; 解 ?xxdx??1x3x2dx?12?12x?C?x2x?C. 35?123 (3)? 解

dx;

?1xdx??x?12dx???11x2?C?2x?C. 1??121 (4)?x23xdx; 解 ?x23xdx??1x27x3dx?17?137?13x?C?333xx?C. 10 (5)? 解

xdx;

?x21xdx??x?52dx???1131x2?C????C. 52xx??125 (6)?mxndx; 解

?mxdx??nnxmdx??11mxm?C?xnn?m?1mnm?nm?C.

(7)?5x3dx;

5 解 ?5x3dx?5?x3dx?x4?C.

4 (8)?(x2?3x?2)dx;

13 解 ?(x2?3x?2)dx??x2dx?3?xdx?2?dx?x3?x2?2x?C.

322|34

(9)?dh2gh(g是常

习题9?1

1. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy面上的闭区域D, 薄板上分布有密度为μ =μ(x, y)的电荷, 且μ(x, y)在D上连续, 试用二重积分表达该板上全部电荷Q.

解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度μ(x, y)在该板所占闭区域D上的二重积分 . 2. 设, 其中D 又, 其中D

1

2

={(x, y)|?1≤x≤1, ?2≤y≤2};

1

2

={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤2}.

2

试利用二重积分的几何意义说明I与I的关系.

1

解 I表示由曲面z=(x+y)与平面x=±1, y=±2以及z=0围成的立体V的体积. I表示由曲面z=(x+y)与平面x=0, x=1, y=0, y=2以及z=0围成的立体V的体积.

2

1

23

223

显然立体V关于yOz面、xOz面对称, 因此V是V位于第一卦限中的部分, 故

1

V=4V, 即I=4I.

1

1

2

3. 利用二重积分的定义证明: (1)∫∫ (其中σ为D的面积);

证明 由二重

班级 姓名 学号

第 五 章 定 积 分

1．证明定积分性质：证：k?kf(x)dx?k?ani?1bbaf(x)dx （k是常数）.

nb?baf(x)?klim?f(?)?xi?lim?kf(?)?xi??kf(x)

??0??0i?1a2．估计下列积分值：（1）

??5?4(1?sin2x)dx

?2,x2??,

4解：令f(x)?1?sin2x，则f‘(x)?2sinxcosx?sin2x?0 得驻点：x1? 由f()?2,?2f(?)?1,5?4?3f()?,42?3f()?， 得 minf(x)?1,maxf(x)?2， 42由性质，得

????f(x)dx?2?

4（2）

?333xarctanxdx

解：令f(x)?xarctanx，f‘(x)?arctanx?x3，所以在f(x)?0[，3]上单调增加， 21?x3?minf(x)??63,maxf(x)?33?333， ?，?（3?）??3xarctanxdx??（3?）3333633 即

?32??3xarc

自我检查题

5.1 时序电路和组合电路的根本区别是什么？同步时序电路与异步时序电路有何不同？

解答：从功能上看，时序电路任何时刻的稳态输出不仅和该时刻的输入相关，而且还决定于该时刻电路的状态，从电路结构上讲，时序电路一定含有记忆和表示电路状态的存储器。而组合电路任何时刻的稳态输出只决定于该时刻各个输入信号的取值，由常用门电路组成则是其电路结构的特点。

在同步时序电路中，各个触发器的时钟信号是相同的，都是输入CP脉冲，异步时序电路则不同，其中有的触发器的时钟信号是输入cp脉冲，有的则是其他触发器的输出，前者触发器的状态更新时同步的，后者触发器状态更新有先有后，是异步的。 5.2 画出图T5.2所示电路的状态和时序图，并简述其功能。

FF01JQ0FF11JQ1FF2&1JQ2YC11KC1C1cpQ01KQ11KQ2图T5.2解:

（1）写方程式 驱动方程 J0?K0?Q2n

n J1?K1?Q0nn， K2?Q2 J2?Q1nQ0

输出方程：Y?Q2 （2） 求状态方程

n?1nnnnQ0?J0Q0n?K0Q0?Q2nQ0n?Q2nQ0?Q2nQ0n?Q2Q0 nnQ1n?1?J1Q1n?K1Q1n?Q0Q1n?Q0nQ1n?Q1

一、选择题

1．在下列选项中，不属于报表功能的是（ ） A）分组组织数据，进行汇总 B）格式化数据

C）建立查询 D）包含子报表及图表数据 2．以下叙述正确的是（ ）

A）报表只能输入数据 B）报表只能输出数据 C）报表可以输入和输出数据 D）报表不能输入和输出数据 3．“打印预览”视图用于（ ）。

A）用来创建和编辑报表的结构 B）用来查看报表的页面数据输出形态 C）用来查看报表的版面设置 D）以上都包含 4．“版面预览”视图显示数据（ ） A）全部 B）一页 C）第一页 D）部分 5．下列选项中，不属于报表结构的是（ ）

A）报表页眉 B）主体 C）组页眉节 D）页面页眉 6．用来显示报表中字段名称或对记录的分组名称的是（ ）。 A）报表页眉 B）主体 C）组页眉 D）页面页眉

7．要设置只有报表最后一页主体内容之后输出的信息，需要设置（ ） A）报表页眉 B）报表页脚 C）页面页眉 D）页面页脚 8．在报表设计区中，（ ）通常用来显示数据的列标题。 A）组页脚节 B）主体节

复变函数

复变函数与积分变换

复变函数

参考用书《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 2003.6 高等教育出版社, 高等教育出版社, 高等教育出版

《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 社 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 1996.5

高等教育出版社, 高等教育出版社,

2012-2-1

复变函数

目 录第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章2012-2-1

复数与复变函数 解析函数 复变函数的积分 解析函数的级数表示 留数及其应用 傅立叶变换 拉普拉斯变换3

复变函数

第五章

留数及其应用

本章中心问题是留数定理，前面讲的柯西定 理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情况，并 且留数定理在作理论探讨与实际应用中都具有重 要意义，它是复积分与复级数理论相结合的产物， 为此先对解析函数的孤立奇点进行分类

2012-2-1

复变函数

第五章5.2 留数

留数及其应用

5.1 孤立奇点 5.3 留数在定积分计算中的应用 本章小结 思考题

2012-2-1

复变函数

第一节一、奇点的分类

复变函数

复变函数与积分变换

复变函数

参考用书《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 2003.6 高等教育出版社, 高等教育出版社, 高等教育出版

《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 社 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 1996.5

高等教育出版社, 高等教育出版社,

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复变函数

目 录第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章2012-2-1

复数与复变函数 解析函数 复变函数的积分 解析函数的级数表示 留数及其应用 傅立叶变换 拉普拉斯变换3

复变函数

第五章

留数及其应用

本章中心问题是留数定理，前面讲的柯西定 理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情况，并 且留数定理在作理论探讨与实际应用中都具有重 要意义，它是复积分与复级数理论相结合的产物， 为此先对解析函数的孤立奇点进行分类

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复变函数

第五章5.2 留数

留数及其应用

5.1 孤立奇点 5.3 留数在定积分计算中的应用 本章小结 思考题

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复变函数

第一节一、奇点的分类

第五章 习 题 答 案

5-10 某二组元液体混合物在恒定T及p下的焓可用下式表示：

H?300x1?450x2?x1x（ 225x1?10x2）式中H单位为J?mol?1。试确定在该温度、压力状态下

（1）用x1表示的H1和H2； （2）纯组分焓H1和H2的数值；

?（3）无限稀释下液体的偏摩尔焓H1?和H2的数值。

解：（1）已知 H?300x1?450x2?x1x2(25x1?10x2) （A） 由于 x1?1?x2

故 H?300x1?450x2?x1x2(25x1?10x2)

?300x1?450(1?x1)?x1(1?x1)[25x1?10(1?x1)]

23 ?450?140x1?5x1 （B） ?15x1 根据 H?H?(1?x1)(?H)T?P ?x1 H2?H?x1(?H)T?P ?x1 其中

(?H)T.