插值和曲线拟合原理

插值和曲线拟合

摘要：本文简介拉格朗日插值，它的算法及程序和拉格朗日在实际生活中的运用。运用了拉格朗日插值的公式，以及它在MATLAB中的算法程序，并用具体例子说明。拉格朗日插值在很多方面都可以运用，具有很高的应用价值。

关键字：拉格朗日插值 曲线拟合 数值解 截断误差

一、问题描述与分析

已知函数表sin=0.5000,sin=0.7071,sin=0.8660,分别由线性插值与抛物插值求sin度。

1、插值法的概念

插值法是实用的数值方法，是函数逼近的重要方法。在生产和科学实验中，自变量x与因变量y的函数y?f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。

如何根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y??(x)，使函数在观

2?的数值解，并由余项公式估计计算结果的精9?6?4?3测点的值等于已知的数值或导数值。用简单函数在y??(x)点x处的值来估计未知函数y??(x)在x点的值。寻找这样的函数?（x），办法是很多的。?（x）可以是一个代数多项式，或是三角多项式，也可以是有理分式；?（x）可以是任意光滑（任意阶导数连续）的函数或是分

ＭＡＴＬＡＢ曲线拟合的应用　

王磊品　吴东　

新疆泒犨泰克石油科技有限公司　新疆油田公司准东采油厂信息所　

摘　　要：１．阐述ＭＡＴＬＡＢ数学分析软件的基本功能；　

２．对ＭＡＴＬＡＢ在生产数据分析中的应用进行了研究，指出曲线拟合的基本方法；　３．以实例阐明ＭＡＴＬＡＢ与行业生产数据结合对生产数据进行分析的原理。　关键词：ＭＡＴＬＡＢ；曲线拟合；插值　

１． 引言　

在生产开发过程中，复杂的生产数据之间或多或少的存在着这样或者那样的联系，如何利用现今普及的计算机以及网络资源在最短的时间内找到这个联系，以指导我们的生产开发，这对于行业科研人员来说无疑是一个最为关心的问题。ＭＡＴＬＡＢ矩阵分析软件，自推出以来，已成为国际公认的最优秀的数学软件之一，其范围涵盖了工业、电子、医疗以及建筑等各个领域，以其强大的科学计算功能使众多科研机构纷纷采用。　

为此，本文从介绍ＭＡＴＬＡＢ软件开始，以实例讲述如何使用ＭＡＴＬＡＢ对生产开发数据进行计算与分析，从而达到高效、科学指导生产的目的。　

２． ＭＡＴＬＡＢ简介　

ＭＡＴＬＡＢ是ＭａｔｈＷｏｒｋｓ公司于１９８２年推出的一套高性能的数值计算和可视化数学软件。由于使用编程运算与人进行科学计算的思路和表达方式完全一致，所以不象学

Origin图形绘制 及曲线拟合

主要内容 Graph窗口介绍 根据Worksheet制图 Graph模板 个性化Graph图形 Graph图形输出

二维GraphGraph窗口是Origin中最重要的组 成部分，在这里完成制图，实现数据可 视化。制图包括二维和三维，其中二维 制图是基础。

一、Graph窗口介绍Graph窗口的组成： 1、页面：Graph窗口包含一个编辑页面。页面作为制图 的背景，包括几个必要的组成部分：层、坐标轴和文本等。 用户可以根据需要修改这些内容，但每个页面至少含有一 个层，否则页面将不存在。 2、图层：(1)每个图层至少包含三个要素：坐标轴，数 据制图和与之相联系的文本或图标；(2)在Graph窗口 中用户最多可以放置50个层，但图层标记上只能显示一位 数字，比如把5,15,25等均显示为5;(3)用户可以直 接在页面中移动或调节图层的大小。

Graph窗口介绍 3、框架：(1)框架是个长方形的方框， 将绘图区框在里面，对于二维图形就是坐 标轴的位置；(2)对于Graph来说，框 架是独立于坐标轴之外的元素，坐标轴可 以设置为隐藏，但框架仍然存在，可以通 过选择菜单命令：View | Show

origin曲线拟合教程

Origin图形绘制 及曲线拟合

origin曲线拟合教程

主要内容 Graph窗口介绍 根据Worksheet制图 Graph模板 个性化Graph图形 Graph图形输出

origin曲线拟合教程

二维GraphGraph窗口是Origin中最重要的组 成部分，在这里完成制图，实现数据可 视化。制图包括二维和三维，其中二维 制图是基础。

origin曲线拟合教程

一、Graph窗口介绍Graph窗口的组成： 1、页面：Graph窗口包含一个编辑页面。页面作为制图 的背景，包括几个必要的组成部分：层、坐标轴和文本等。 用户可以根据需要修改这些内容，但每个页面至少含有一 个层，否则页面将不存在。 2、图层：(1)每个图层至少包含三个要素：坐标轴，数 据制图和与之相联系的文本或图标；(2)在Graph窗口 中用户最多可以放置50个层，但图层标记上只能显示一位 数字，比如把5,15,25等均显示为5;(3)用户可以直 接在页面中移动或调节图层的大小。

origin曲线拟合教程

Graph窗口介绍 3、框架：(1)框架是个长方形的方框， 将绘图区框在里面，对于二维图形就是坐 标轴的位置；(2)对于Graph来说，

2. 下列数据表示从1790年到2000年的美国人口数据

年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 人口 3 929 000 5 308 000 7 240 000 9 638 000 12 866 000 17 069 000 23 192 000 31 443 000 38 558 000 50 156 000 62 948 000 年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 人口 75 995 000 91 972 000 105 711 000 122 755 000 131 669 000 150 697 000 179 323 000 203 212 000 226 505 000 248 710 000 281 416 000

求能够相当好地拟合该数据的动力系统模型。通过画出模型的预测值和 数据值来测试你的模型。

year=[1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1

如何用XLfit做曲线拟合分析

IDBS XLfit曲线拟合软件是一个以Excel插件的形式提供分析功能的软件，它跟Excel无缝集成，你除了可以使用XLfit提供的直观的曲线拟合和强大的统计分析功能之外，还可以使用Excel本身的数据处理的功能，因此这个软件的功能就非常强大而且易于使用。

使用IDBS XLfit 软件做曲线拟合非常简单方便的，例如下面是所需要分析的数据，Concentration以及对应的抑制值。

主要分析步骤如下:

(1) 首先在Excel里面指定 Fit Cell, Chart Cell单元格，以及需要返回的统计值。例如这里我

们想做Dose-Response曲线拟合，因此会返回Top, Bottom, IC50，Slope, Chi2等统计值来评估结果。

(2) 点击工具栏上的Fit Designer 图标，打开Fit Designer窗口

(3) 在Fit Designer窗口里

a) 首先在Data 这一个Tab页指定数据区，即X和Y值

b) 点击Model，在这里选择曲线拟和的模型，XLFit提供了各种类型的模型可供选择，

如Dose-Response模型，药理学模型等等。 当你选定了模型之后，右边的面板就会显示

使用过Matlab的拟合、优化和统计等工具箱的网友，会经常遇到下面几个名词:

SSE（和方差、误差平方禾口）：The sum of squares due to error

MSE（均方差、方差）：Mean squared error

RMSE（均方根、标准差）：Root mean squared error

R-square （确定系数）:Coefficie nt of determ in ati on

Adjusted R-square : Degree-of-freedom adjusted coefficient of determ ination

下面我对以上几个名词进行详细的解释下，相信能给大家带来一定的帮助！

SSE（和方差）

该统计参数计算的是拟合数据和原始数据对应点的误差的平方和，计算公式如下

sss=Z^-yf

i-l

SSE越接近于0,说明模型选择和拟合更好，数据预测也越成功因为

和SSE是同出一宗，所以效果一样二、MSE（均方差）

该统计参数是预测数据和原始数据对应点误差的平方和的均值，也就是SSE/n，和SSE没有太大的区别，计算公式如下

三、RMSE（均方根）

该统计参数，也叫回归系统的拟合标准差，是MSE的平方根，就算公式如下

MSB = JZ

第4章 插值与拟合方法

1 问题的描述与基本概念

已知[a,b]上实函数f(x)在n?1个互异点xi?[a,b](i?0,1,???,n)处的函数值

f(xi)(i?0,1,???,n)，要求估算f(x)在[a,b]中某

点x的值.

65

1）插值问题的描述

找近似函数P (x)，满足

P(xi)?f(xi)(i?0,1,???,n)

? P (x) 称为f (x)的一个插值函数; ? f (x) 称为被插函数;点xi为插值节点; ? P(xi)?f(xi)(i?0,1,???,n)称为插值条件; ? R(x)?f?x??P(x)称为插值余项。

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当插值函数P(x)是多项式时称为多项式插值. 为获得唯一的插值多项式，设

P(x)??akxk.k?0n

用Hn表示次数不超过n的多项式集合.

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定理1 Hn中满足插值条件的插值多项式是存在且唯一.

证明 仅证唯一性.设P(x)?Hn,Q(x)?Hn,且都满足插值条件，于是有

P(xi)?Q?xi??f(xi)(i?0,1,???,n).令

R?x??P(x)?Q(x),

那么R(x)?Hn.因为

所以R?x?有

MATLAB中如何直接曲线拟合，而不使用cftool的GUI界面

我们知道在MATLAB中有个很方便的曲线拟合工具：cftool

最基本的使用方法如下，假设我们需要拟合的点集存放在两个向量X和Y中，分别储存着各离散点的横坐标和纵坐标，则在MATLAB中直接键入命令 cftool(X,Y) 就会弹出Curve Fitting Tool的GUI界面，点击界面上的fitting即可开始曲线拟合。

MATLAB提供了各种曲线拟合方法，例如：Exponential, Fourier, Gaussing, Interpolant, Polynomial, Power, Rational, Smoothing Spline, Sum of Functions, Weibull等，当然，也可以使用 Custom Equations.

cftool不仅可以绘制拟合后的曲线、给出拟合参数，还能给出拟合好坏的评价参数(Goodness of fit)如SSE, R-square, RMSE等数据，非常好用。但是如果我们已经确定了拟合的方法，只需要对数据进行计算，那么这种GUI的操作方式就不太适合了，比如在m文件中就不方便直接调用cftool。

MATLAB已经给出了解决办法

计算方法实验报告

实验二

班级 硕1309 姓名 杨婷婷 学号 131411068

函数逼近与曲线拟合

实验二 函数逼近与曲线拟合

一、问题的提出

从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通过利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。

在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量和时间的关系，试求含碳量y与时间t的拟合曲线。

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 t(分) Y（10-4） 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64 二、实验要求

1、用最小二乘法进行曲线拟合；

2、近似解析表达式为??t??a1t?a2t2?a3t3；

3、打印出拟合函数??t?，并打印出?tj与ytj的误差，j=1,2，???，12； 4、另外选取一个解析表达式，尝试拟合效果的比较；

5、绘制出曲线拟合图。

????三、实验目的与意义

1、掌握曲线拟合的最小二乘法；

2、最小二乘法亦可解超定线代数方程组； 3、探索拟合函