微分几何答案

课程考核

参考答案及评分标准

考试课程：微分几何 学年学期：2006-2007-1 试卷类型：B 考试时间：2006-12- 适用专业：民族学院数学与应用数学专业2004级1班 层次：本科

一、选择题（每小题2分共10分） 1 (A)；2 (C)；3 (B)；4 (D)；5 (C)。

二、填空题（每小题2分共10分）

1、已知r=(2x?2,2x?2,3x),0

2、已知曲面r=(ucosv, usinv,6v),u>0, 0≤v<π/2, 则它的高斯曲率K= ?36/(u2+36)2 ；

3、Γ：r=(acost, asint, et)的切向量是 (?asint, acost, et) ；

4、曲面上切向du:dv是主方向的条件，用dn与dr的关系表示为，沿方向du:dv成立 dn=λdr ； 5、极小曲面的中曲率为 0 。

三、判断题（每小题2分共10分） 1 (?)；2 (╳)；3 (╳)；4 (?)；5 (?)。

四、计算题（每小题5分共40分）

1、计算z=xy上的曲率线方程；

(提示：曲率线的方程为： dv2 ?dudv du2

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参考答案及评分标准

考试课程：微分几何 学年学期：2006-2007-1 试卷类型：B 考试时间：2006-12- 适用专业：民族学院数学与应用数学专业2004级1班 层次：本科

一、选择题（每小题2分共10分） 1 (A)；2 (C)；3 (B)；4 (D)；5 (C)。

二、填空题（每小题2分共10分）

1、已知r=(2x?2,2x?2,3x),0

2、已知曲面r=(ucosv, usinv,6v),u>0, 0≤v<π/2, 则它的高斯曲率K= ?36/(u2+36)2 ；

3、Γ：r=(acost, asint, et)的切向量是 (?asint, acost, et) ；

4、曲面上切向du:dv是主方向的条件，用dn与dr的关系表示为，沿方向du:dv成立 dn=λdr ； 5、极小曲面的中曲率为 0 。

三、判断题（每小题2分共10分） 1 (?)；2 (╳)；3 (╳)；4 (?)；5 (?)。

四、计算题（每小题5分共40分）

1、计算z=xy上的曲率线方程；

(提示：曲率线的方程为： dv2 ?dudv du2

微分几何与伴随着微分几何的发展而创立的张量分析是掌握广义相对论的基础工具。也由于广义相对论的成功，使一向冷僻的微分几何成为数学的中心学科之一。

从微积分发明起，微分几何的萌芽就诞生了。但是Euler、Clairaut和Monge的工作才真正使微分几何成为独立学科。Euler在关于测地学的工作中逐步得出重要得研究，并对法曲率的计算得出著名的Euler公式。Clairaut研究了曲线的曲率和挠率，Monge发表了《分析应用于几何的活页论文》，将曲线与曲面的重要性质用微分方程表示，使得经典微分几何的发展到达一个高峰期。Gauss在测地学的研究中，经过繁杂的计算，于 1827年发现了曲面的两个主曲率乘积与它在外围的Euclidean空间中的形状无关，仅仅取决于其第一基本形式，这个结果被Gauss得意地称为是绝妙定理，从而创立了内蕴几何，把曲面的研究从外围空间中解脱出来，将曲面自身作为一个空间来研究。1854年Riemann作了《关于几何基础的假设》，推广了 Gauss在 2维曲面的内蕴几何，从而发展出n维Riemann几何，随着多复变函数的发展。一批优秀数学家将微分几何的研究对象扩展到复流形，再拓展到包含奇点的复解析空间理论。微分几何的每一步前进所

整理的题目,期末可以练练

一、填空题：

1．设有曲线x etcost,y etsint,z et，则当t 0时的切线方程为x 1 y z 1。 2．设曲面S:r r(u,v)的第一基本形式为I du sinhudv，则其上的曲线u v从

2

2

2

et e t

（这里sinht ） v v1到v v2的弧长为|sinhv1 sinhv2|。

2

3．设曲面S:r r(u,v)在某点处的第一基本量为E G 1,F 0，第二基本量为，则曲面在该点沿方向(d) (1:2)的法曲率为kn L a,M 0,N b

a 4b

。 5

4．设曲面S:r r(u,v)在某点处的第一类基本量为E 1,G 1，且曲面在该点的切向量

ru,rv相互平行，则F在该点等于 5．设曲面S:r r(u,v)在某点处的第二基本量为L 1,M 0,N 1，则曲面在该点的渐近方向为(d) (1: 1)。

6．设曲面的参数表示为r r(u,v)，则|ru r

v| 7．曲线x tsin

t,y tcost,z te在原点的切向量为α

(0,

t

，主法向量为22

β

、副法向量为γ 二、计算题

1．圆柱螺线的参数表示为r (cost,sint,t)。计算它在(1,0,0)点的切线、密切平面、法平面方程以及在任意点

微分几何与伴随着微分几何的发展而创立的张量分析是掌握广义相对论的基础工具。也由于广义相对论的成功，使一向冷僻的微分几何成为数学的中心学科之一。

从微积分发明起，微分几何的萌芽就诞生了。但是Euler、Clairaut和Monge的工作才真正使微分几何成为独立学科。Euler在关于测地学的工作中逐步得出重要得研究，并对法曲率的计算得出著名的Euler公式。Clairaut研究了曲线的曲率和挠率，Monge发表了《分析应用于几何的活页论文》，将曲线与曲面的重要性质用微分方程表示，使得经典微分几何的发展到达一个高峰期。Gauss在测地学的研究中，经过繁杂的计算，于 1827年发现了曲面的两个主曲率乘积与它在外围的Euclidean空间中的形状无关，仅仅取决于其第一基本形式，这个结果被Gauss得意地称为是绝妙定理，从而创立了内蕴几何，把曲面的研究从外围空间中解脱出来，将曲面自身作为一个空间来研究。1854年Riemann作了《关于几何基础的假设》，推广了 Gauss在 2维曲面的内蕴几何，从而发展出n维Riemann几何，随着多复变函数的发展。一批优秀数学家将微分几何的研究对象扩展到复流形，再拓展到包含奇点的复解析空间理论。微分几何的每一步前进所

微分几何主要习题解答

第二章 曲面论

§1曲面的概念

1.求正螺面r={ ucosv ,u sinv, bv }的坐标曲线.

解 u-曲线为r={ucosv0 ,u sinv0,bv0 }=｛0,0，bv0｝＋u {cosv0,sinv0,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r={u0cosv,u0sinv,bv }为圆柱螺线．

２．证明双曲抛物面r＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r={ a（u+v0）, b（u-v0）,2uv0}={ av0, bv0,0}+ u{a,b,2v0}表示过点{ av0, bv0,0}以{a,b,2v0}为方向向量的直线;

v-曲线为r=｛a（u0+v）, b（u0-v）,2u0v｝=｛au0, bu0,0｝+v{a,-b,2u0}表示过点(au0, bu0,0)以{a,-b,2u0}为方向向量的直线。

3．求球面r={acos?sin?,acos?sin?,asin?}上任意点的切平面和法线方程。 解 r?={?asin?cos?,?asin?sin?,acos?} ，r?={?acos?sin?,acos?cos?,0}

?????????x?acos?

1、等距变换一定是保角变换 （×） 2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （√）

22A(u,v)du?2B(u,v)dudv?B(u,v)dv?0总表示曲面上两族曲线. 3、二阶微分方程

（×）

4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的 （×） 5、坐标曲线网是正交网的充要条件是F?0，这里F是第一基本量 （√） 6、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。 ( √ ) 7、空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置。 ( × ) 8、在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向。 ( √ ) 9、LN-M2不是内蕴量。 ( × )

10、高斯曲率恒为零的曲面一定是可展的。 ( √ )

....????????11、曲线r=r(s)为一般螺线的充要条件为(r,r,r)=0 （√）

微分几何主要习题解答

微分几何参考答案：

P51页

?1. 求曲线r = { tsint,tcost,tet } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切

线、主法线、副法线。

解 原点对应t=0 , r'(0)={ sint+tcost,cost- tsint,et+tet}t?0={0,1,1}，

?r''(0)?{2cost+ tcost,cost- tsint,2et+tet}t?0 ={2,0,2} ，

?所以切线方程是

xyz?? ，法面方程是 y + z = 0 ； 011xyz密切平面方程是011=0 ，即x+y-z=0 ，

202?x?y?z?0yxz? ； 主法线的方程是? 即?2?11?y?z?0从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式2．求以下曲面的曲率和挠率

?⑴ r?{acosht,asinht,at},

xyz?? 。 11?1?⑵ r?{a(3t?t3),3at2,a(3t?t3)}(a?0)。

???解 ⑴r'?{asinht,acosht,a}，r''?{acosht,asinht,0}，r'''?a{sinht,cosht,0}，

????|r'?r''|2a2cosht1r'?r''?a{?sinht,

《微积分几何》复习题 本科 第一部分：练习题库及答案

一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长）

第一章

1．已知a?(1,1,?1),b?(1,0,?1)，则这两个向量的夹角的余弦cos?=

63

2．已知a?(0,1,?1),b?(1,0,?1)，求这两个向量的向量积a?b?(-1,-1,-1)． 3．过点P(1,1,1)且与向量a?(1,0,?1)垂直的平面方程为X-Z=0 4．求两平面?z?1的交线的对称式方程为x?1?y?z?11:x?y?z?0与?2:x?y?23?1?2

5．计算lim[(3t2?1)i?t3t?2j?k]?13i?8j?k．

6．设f(t)?(sint)i?tj，g(t)?(t2?1)i?etj，求limt?0(f(t)?g(t))? 0 ．

7．已知r(u,v)?(u?v,u?v,uv)，其中u?t2，v?sint，则drdt?(2t?cost,2t?cost,2vt?ucost)

8．已知??t，??t2，则

dr(?,?)dt?(?asin?cos??2atcos?sin?,?asin?sin??2atcos?cos?,acos?)

469．已知?r(t)dt?(?1,2,3)，?r(t

微分几何复习题

一、填空题

1. 向量r(t)?(t,3t,a)具有固定方向，则a= 。 2. 非零向量r(t)满足?r,r?,r????0的充要条件是 。 3. 若向量函数r(t)满足r(t)?r?(t)?0，则r(t)具有固定 。 4. 曲线r?r(t)的正常点是指满足 的点. 5. 曲线r(t)?(2t,t3,et)在任意点的切向量为 。

6. 曲线r(t)?(acosht,asinht,at)在t?0点的切向量为 。 7. 曲线r(t)?(acost,asint,bt)在t?0点的切向量为 。 8. 设曲线在P点的切向量为?，主法向量为?，则过P由?,?确定的平面 是曲线在P点的 。

9. 若r(t0)是曲线r?r(t)的正则点，则曲线r?r(t)在r(t0)的密切平面方程是 。

10. 曲线r?r(t)在点r(t0)的单位切向量是?，则曲线在r(t0)