实变函数历年考试真题答案

线 号 学 订 名 装 姓 封 级 班 密 系 卷 院 试陇东学院2011—2012学年第一学期实变函数(A)

3.下列关系式中成立的是（ ）

一．填空.（每空2分，共20分）

①?A?B?\\B?A，②?A\\B??B?A，③?A?B???A??B?， 1给出自然数集N?与整数集Z之间的一一对应关系 . ④?A?B?????A?B，⑤?A?B??A?B，其中A,B是二集合.

2设A,B是两集合，A?B是指 .

A.①② B.③④⑤ C.③⑤ D.①②③④⑤

??1?x,y)y???x?,在R内求E? ,E?? ，

4. 设E?Rn3E???(?sin,x?0?2,mE???,?fn

习题1.1

1．证明下列集合等式．

(1) A??B\\C???A?B?\\?A?C?； (2) ?A?B?\\C??A\\C???B\\C?； (3) A\\?B\\C???A\\B???A?C?． 证明 (1) A?(B\\C)?A?(B?C)

c ?(A?B?Ac)?(A?B?Cc) ?(A?B)?(A?C)c

?(A?B)\\(A?C) .

(2) (A?B)\\C?(A?B)?C

c?(A?Cc)?(B?Cc)

=(A\\C)?(A\\C).

(3) A\\(B\\C)?A\\(B?C) ?A?(B?C)

ccc?A?(Bc?C) ?(A?Bc)?(A?C)

?(A\\B)?(A?C).

2．证明下列命题．

(1) ?A\\B??B?A的充分必要条件是：B?A； (2) ?A?B?\\B?A的充分必要条件是：A?B??； (3) ?A\\B??B??A?B?\\B的充分必要条件是：B??．

证明 (1) (A\\B)?B?(A?B)?B?(A?B)?(B?B)?A?B?A的充要条 是：B?A.

(2) (A?B)\\B?(A?B)?B?(A?B)?(B?B)?A?B

c必

考

试卷三（参考答案及评分标准）

生一、一 单项选择题（3分×5=15分）

答11、设An?[,2?(?1)n],n?1,2,?，则（ B ）

n(A) limAn?[0,1] （B）limAn?(0,1]

n??n??(C) limAn?(0,3] （D）limAn?(0,3)

n??n??题2、设E是?0,1?上有理点全体，则下列各式不成立的是（ D ） （A）E?[0,1] (B) E?? (C) E=[0，1] (D) mE?1

'o不3、下列说法不正确的是（ C ）

(A) 若A?B，则m*A?m*B （B） 有限个或可数个零测度集之和集仍 为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测 （D）凡开集、闭集皆可测 4、设{En}是一列可测集，E1?E2???En??，且mE1???，则有（ A ）

得??????（A）m??En??limmEn (B) m??En??limmEn

?n?1?n???n?1?n????? （C）m??En??limmEn;（D）以上都不对

?n?1?n??超5、设f(x)是[a,b]上绝对连续函数，则下面不成立的是（ B

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实变函数论考试试题及答案

证明题：60分

??1、证明 limAn=n??n?1m?nAm。

???证明：设x?limAn，则?N，使一切n?N，x?An，所以x?n???????m?n?1?Am???Am,

n?1m?n则可知limAn???Am。设x???Am，则有n,使x??Am，所以

n??n?1m?nn?1m?n?m?nx?limAn。 因此，limAn=??Am。

n??n??n?1m?n?2、若E?Rn，对???0，存在开集G, 使得E?G且满足 m*(G?E)??， 证明E是可测集。

证明：对任何正整数n， 由条件存在开集Gn?E，使得m*?G?E??令G??Gn,则G是可测集，又因m*?G?E??m*?Gn?E??n?1?1。 n1， n对一切正整数n成立，因而m?(G?E)=0，即M?G?E是一零测度集，故可测。由E?G?(G?E)知E可测。证毕。

)几乎处处成立，n?1,2,3,?, 则3、设在E上fn(x)?f(x)，且fn(x)?fn?1(x有{fn(x)}a.e.收敛于f(x)。

证明 因为fn(x)?f(x)，则存在{fni}?{fn}，使fni(x)在E上a.e.收敛到f(x)。设

实变函数试题库及参考答案 本科

一、题

1．设A,B为集合，则?A\\B??B?A?B（用描述集合间关系的符号填写） 2．设A是B的子集，则A?B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E中聚点都属于E，则称E是闭集 4．有限个开集的交是开集

5．设E1、E2是可测集，则m?E1?E2??mE1?mE2（用描述集合间关系的符号填写） 6．设E??是可数集，则mE=0

17．设f?x?是定义在可测集E上的实函数，如果?a??，E??xf?x??a??是可测集，则称f?x?在E上可测

n*8．可测函数列的上极限也是可测函数

9．设fn?x??f?x?，gn?x??g?x?，则fn?x??gn?x??f?x??g?x? 10．设f?x?在E上L可积，则f?x?在E上可积

11．设A,B为集合，则?B\\A??A?A（用描述集合间关系的符号填写） 12．设A?2k?1k?1,2,?，则A=a（其中a表示自然数集N的基数） 13．设E??，如果E中没有不属于E，则称E是闭集 14．任意个开集的并是开集

15．设E1、E2是可测集，且E1?E2，则mE1?mE2 16．设E中只有孤立点，则mE=0

117．设f?x?是定义在可测集E上的实函数，如

实变函数练习及答案

一、选择题

1、以下集合，（ ）是不可数集合。

A.所有系数为有理数的多项式集合； B.[0,1]中的无理数集合；

C.单调函数的不连续点所成集合； D.以直线上互不相交的开区间为元素的集。

2、设E是可测集，A是不可测集，mE?0，则E?A是（ ）

A.可测集且测度为零； B.可测集但测度未必为零； C.不可测集； D.以上都不对。

3、下列说法正确的是（ ）

A.f(x)在[a,b]L—可积?f(x)在[a,b]L—可积； B.f(x)在[a,b]R—可积?f(x)在[a,b]R—可积；

C.f(x)在[a,b]L—可积?f(x)在[a,b]R—可积； D.f(x)在?a,???R—广义可积?f(x)在[a,b]L—可积

4、设{En}是一列可测集，E1?E2?...?En...,则有（ ） A. m(??E)?limmE； B.m(?E)?limmE；

nn?1n??nnn?1n??nn????C.m(?En)?limmEn； D.以上都不对。

n?1

1 广州大学数学与信息科学学院2012～2013

《实变函数》复习题

1. 已知集合M～R，数集N～Q，其中R为实数集，Q为有理数集。证明：M-N～M.

2. 证明：A是无穷集的充要条件是A与其真子集对等.

3. 证明：假设F?R，则F是闭集当且仅当CF?Rn?F是开集.

4. 等式(A-B)∪C=A-(B-C)成立的充要条件是什么？

1 n2 广州大学数学与信息科学学院2012～2013

5. 证明：0测度集必可测.

6. E?R,E?xx是E的内点，证明：E是开集.

7. R'中有理数的全体的可测集，测度为0.

8. 若E是R中的有界集，则mE???.

2 nno??o*3 广州大学数学与信息科学学院2012～2013

9. 至少有一个内点的集合，其外测度能否为0？

10. 能否在[a,b]上作一个测度为b-a但又异于[a,b]的闭集？

11. f在E上可测，证明：对?a，Exf(x)?a可测.

12. f可测??r为有理数，Exf(x)?r是可测集.

3 ????4 广州大学数学与信息科学学院2012～2013

13. mE???，f(x)在E上几乎

《实变函数》试卷一

一、单项选择题（3分×5=15分）

1、1、下列各式正确的是（ ）

（A）limAn Ak; （B）An Ak;

n

n 1k n

n 1k n

（C）limAn Ak; （D）An Ak;

n

n 1k n

n 1k n

2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ） （A）P c (B) mP 0 (C) P P (D) P P 3、下列说法不正确的是（ ）

(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测

(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测

4、设 fn(x) 是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A）若fn(x) f(x), 则fn(x) f(x) (B) sup fn(x) 是可测函数

n

'

（C）inf fn(x) 是可测函数;（D）若fn(x) f(x),则f(x)可测

n

5、设f(x)是[a,b]上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) f(x)在[a,b]上有界 (B) f(x)在[a,b]上几乎处处存在导数 （C）f(x)在[a,b]上L可积 (D) 二.

实变函数

《实变函数》作业参考答案

一．判断题

1．对； 2．错； 3．对；4．对； 5．错； 6．对； 7．错； 8．对； 9．对； 10.对； 11.对； 12.错。 二．

1．证明：(??I?A?)?B??(A??B).

??I证明：直接的用定义，证明左边包含右边，右边包含左边。 2．试找出使(0,1)和[0,1]之间一一对应的一种方法。 证明：令{x1,x2,x3,...}?(0,1)，做f(x)，使得

?1?f(x)??0?x?n?2其它处，f(x)?x. 三．证明题

x?x1x?x2， x?xn,n?21. 设fn(x)是E上几乎处处有限的可测函数列，mE??，而fn(x)几乎处处收敛于有限函数f(x)，则对任意的??0，存在常数c与可测集E0?E，m(E\\E0)??，使在E0上，对一切n，有|f(x)|?c。 证明：直接利用鲁津定理。

2. 证明：证明CG?{x|f(x)?a}是开集，事实上，对任意x?CG，则f(x)?a，由连续函数的局部保号性，存在??0，使得对一切的t?

全国2014年4月高等教育自学考试

复变函数与积分变换试题

课程代码：02199

本试卷满分100分。考试时间l50分钟。 考生答题注意事项：

1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。 2．第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用28铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。 3．第二部分为非选择题。必须注明大、小题号。使用0.5毫米黑色字迹签字笔作答。 4．合理安排答题空间，超出答题区域无效。

第一部分 选择题

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。 1．设z=3-4i，则argz=

?3?A.arctan???

?4??4?C.arctan???

?3?2．下面方程中表示直线的是 A.z=z0+(1+i)t，-∞

4．若f(z)=y+2λxi解析，则λ=

1A．

2B.ez1ez2?ez1?z2

zD.ln1 =lnz1?lnz2

z2B.z?z0?R D.(z-z0)（z?z0）=R2

3B.arctan

44D.arctan

3B.-1 D.1

1C.?

2

一级建