圆锥曲线中向量问题常见解题思路

圆锥曲线

一.向量与圆锥曲线: AP??PB型;PA??1PQ,PB??2PQ型;OM??OA??OB型.

x2?11??y2?1上的两点,并且点N(?2,0)满足NA??NB,当???,?时,求例1.已知A,B是椭圆2?53?直线AB斜率的取值范围.

例2.已知抛物线C:y?4x,过抛物线的焦点F的直线交C于A,B两点,交准线l于点M,已知

2MA??1AF,MB??2BF,求?1??2.

例3.已知椭圆x?3y?3b,斜率为1且过右焦点F的直线交椭圆于A,B两点,M为椭圆上任一点,且OM??OA??OB, 求???.

方法总结:

22222?x1?x2?(1??)x2(1)若能得到x1??x2, 则构造出两根之和与两根之积得?消去得2?x1x2??x2(x1?x2)2(1??)2,再利用韦达定理应用; ?x1x2?(2)若PA??1PQ,PB??2PQ,则可以用A,B的横坐标x1,x2或纵坐标y1,y2来表示?1和?2,当

?1和?2满足一定的关系时,进一步用韦达定理作整体代换;

(3)直线与圆锥曲线相交于A,B两点,若点M满足OM??OA??OB,用A,B两点的坐标来表示M,如果M在曲线上,则将M的坐标表达式代入曲线方程

圆锥曲线

一.向量与圆锥曲线: AP??PB型;PA??1PQ,PB??2PQ型;OM??OA??OB型.

x2?11??y2?1上的两点,并且点N(?2,0)满足NA??NB,当???,?时,求例1.已知A,B是椭圆2?53?直线AB斜率的取值范围.

例2.已知抛物线C:y?4x,过抛物线的焦点F的直线交C于A,B两点,交准线l于点M,已知

2MA??1AF,MB??2BF,求?1??2.

例3.已知椭圆x?3y?3b,斜率为1且过右焦点F的直线交椭圆于A,B两点,M为椭圆上任一点,且OM??OA??OB, 求???.

方法总结:

22222?x1?x2?(1??)x2(1)若能得到x1??x2, 则构造出两根之和与两根之积得?消去得2?x1x2??x2(x1?x2)2(1??)2,再利用韦达定理应用; ?x1x2?(2)若PA??1PQ,PB??2PQ,则可以用A,B的横坐标x1,x2或纵坐标y1,y2来表示?1和?2,当

?1和?2满足一定的关系时,进一步用韦达定理作整体代换;

(3)直线与圆锥曲线相交于A,B两点,若点M满足OM??OA??OB,用A,B两点的坐标来表示M,如果M在曲线上,则将M的坐标表达式代入曲线方程

沈阳市第三十一中学 李曙光编辑整理，希望对大家有帮助，疏漏之处请指正 椭圆常见结论

焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 x2y2?2?1?a?b?0? 2ab?a?x?a且?b?y?b y2x2?2?1?a?b?0? 2ab?b?x?b且?a?y?a 范围 ?1??a,0?、?2?a,0? 顶点 ?1?0,?a?、?2?0,a? ?1??b,0?、?2?b,0? ?1?0,?b?、?2?0,b? 轴长 焦点 焦距 对称性 短轴的长?2b 长轴的长?2a F1??c,0?、F2?c,0? F1?0,?c?、F2?0,c? F1F2?2c?c2?a2?b2? 关于x轴、y轴、原点对称 离心率 cb2e??1?2?0?e?1?e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁aa 1.椭圆的两焦点分别为F1,F2,P是椭圆上任意一点,则有以下结论成立: (1)PF1?PF2?2a; (2)a?c?PF1?a?c; (3)b?PF1?PF2?a;

22x2y22. 椭圆的方程为2?2?1（a＞b＞0）, 左、右焦点分别为F1,F2,P?x0,y0?是椭圆上

ab任

意

一

点

,

则

有

:

(1)

b22a2222y0?2?a?x0?,x0?2?b?

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识：

1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣：

（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受

x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束

（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点

圆锥曲线与平面向量

考纲透析

考试大纲：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的概念，向量的坐标运算.

[来源:学科网ZXXK]圆锥曲线与平面向量的综合. 新题型分类例析

来源:[Zxxk.Com]1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为(3,0) （1）求双曲线C的方程； （2）若直线l:y?kx?且OA?OB?2（其 2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，

中O为原点）. 求k的取值范围.

xa22解：（Ⅰ）设双曲线方程为?yb22?1 (a?0,b?0).

由已知得a?3,c?2,再由a?b22?2,得b22?1.

故双曲线C的方程为

x23?y2?1.

（Ⅱ）将y?kx?2代入x23?y2?1得 (1?3k)x?62kx?9?0.

222??1?3k?0,由直线l与双曲线交于不同的两点得?

222????(62k)?36(1?3k)?36(1?k)?0.2即k?13且k2?1. ① 设A(xA,yA),B(xB,yB)，则

xA?xB?62k1?3k2,xAxB??91?3k2,由OA?OB?2得xAxB?yAyB?2,

2而xAxB?yAyB?xAxB

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识：

1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣：

（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受

x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束

（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点

v1.0 可编辑可修改

1 1 圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如 （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．

421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）

； （2

）

方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左

支）

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心

专题限时集训(十七)A

[第17讲 圆锥曲线热点问题]

(时间：10分钟＋35分钟)

1．抛物线y＝4x上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是( )[来源:学科网ZXXK]

A．(1,2) B．(0,0) 1?C.??2，1? D．(1,4)

2．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与

→→→→

点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP＝2PA，且OQ·AB＝1，则点P的轨迹方程是( )

3

A.x2＋3y2＝1(x>0，y>0) 23

B.x2－3y2＝1(x>0，y>0) 2

3

C．3x2－y2＝1(x>0，y>0)

23

D．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)

2

1x2y2

3．已知直线y＝x与双曲线－＝1交于A、B两点，P为双曲线上不同于A、B的点，

294

当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝( )

4A. 91B. 22C. 3

D．与P点位置有关

x2y2

4．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为

2516

(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．

2222

1．与两圆x＋y＝1及x＋y－8x＋12＝0都

圆锥曲线问题总结答案

一、 圆锥曲线的定义及应用

例1：分析⑴可利用椭圆定义、三角形的三边间关系及不等式性质求最值；题⑵是圆锥曲线与数列性质的综合题,可根据条件先求出双曲线的半实轴长a的值,再应用双曲线的定义与等差中项的知识求|AB|的值.

解：⑴设椭圆右焦点为F1,则|MF|?|MF1|?6,∴|MA|?|MF|?|MA|?|MF1|?6.又 ?|AF1|?|MA|?|MF1|?|AF1|(当M、A、F1共线时等号成立).又

|AF1|?2,∴|MA|?|MF|?6?2, |MA|?|MF|?6?2.故|MA|?|MF|的最大值为6?2,最小值为6?2.

?2b?6?7?c ⑵依题意有??,解得a?23.∵A、B在双曲线的左支上,∴|AF2|?|AF1|?2a,

a2?222?c?a?b?|BF2|?|BF1|?2a,∴

|AF2|?|BF2|?(|AF1|?|BF1|)?4a.又

|AF2|?|BF2|?2|AB|,|AF1|?|BF1|?|AB|.

∴2|AB|?|AB|?4a,即|AB|?4a.∴|AB|?4?23?83.

小结：在本例的两个小题中,⑴正确应用相应曲线的定义至关重要,否则求解思路受阻；⑵忽视双曲线定义中的两

直线和圆锥曲线经常考查的一些题型

直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．

直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。

解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是： （1）直线的斜率不存在，直线的斜率存， （2）联立直线和曲线的方程组； （3）讨论类一元二次方程 （4）一元二次方程的判别式 （5）韦达定理，同类坐标变换 （6）同点纵横坐标变换

（7）x,y ，k(斜率)的取值范围

（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等

运用的知识：

1、中点坐标公式：12

12

,y 2

2

x x y y x ++==

，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中

点坐标。

2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，

则1122y kx b y kx b