立体几何动点问题理论价值

立体几何与平面解析几何的交汇问题

在教材中，立体几何与解析几何是互相独立的两章，彼此分离不相联系，实际上，从空间维数看，平面几何是二维的，立体几何是三维的，因此，立体几何是由平面几何升维而产生；另一方面，从立体几何与解析几何的联系看，解析几何中的直线是空间二个平面的交线，圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）是平面截圆锥面所产生的截线；从轨迹的观点看，空间中的曲面（曲线）是空间中动点运动的轨迹，正因为平面几何与立体几何有这么许多千丝万缕的联系，因此，在平面几何与立体几何的交汇点，新知识生长的土壤特别肥沃，创新型题型的生长空间也相当宽广，这一点，在高考卷中已有充分展示，应引起我们在复习中的足够重视。

一、动点轨迹问题

这类问题往往是先利用题中条件把立几问题转化为平面几何问题，再判断动点轨迹。 例1定点A和B都在平面?内，定点P??，PB??，

C是?内异于A和B的动点，且PC?AC。那么，动点C在平面?内的轨迹是（ ） A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点 C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点

例2若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到平面BCD距离与

【知识络构建】

【重点知识整合】 1．空间几何体的三视图

(1)正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； (2)侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图； (3)俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图． 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图． 2．斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤

(1)建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐标系；

(2)画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox′，Oy′，使∠x′Oy′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平平面；

(3)画对应图形，在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x′轴，且长度保持不变；在已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y′轴，且长度变为原来的一半；

(4)擦去辅助线，图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线(虚线)． 3.体积与表面积公式:

(1)柱体的体积公式:V柱?Sh;锥体的体积公式: V锥?台体的体积公式: V棱台?1Sh; 341h(S?SS??S?);球的体积公式: V球??r3.

332 (2)球的表面积公式: S球?4?R.

【高频考点突破

【知识络构建】

【重点知识整合】 1．空间几何体的三视图

(1)正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； (2)侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图； (3)俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图． 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图． 2．斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤

(1)建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐标系；

(2)画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox′，Oy′，使∠x′Oy′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平平面；

(3)画对应图形，在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x′轴，且长度保持不变；在已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y′轴，且长度变为原来的一半；

(4)擦去辅助线，图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线(虚线)． 3.体积与表面积公式:

(1)柱体的体积公式:V柱?Sh;锥体的体积公式: V锥?台体的体积公式: V棱台?1Sh; 341h(S?SS??S?);球的体积公式: V球??r3.

332 (2)球的表面积公式: S球?4?R.

【高频考点突破

立体几何专题学科网 【例题解析】学科网 题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算学科网 例1 某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a?b的最大值为学科网 A． 22

B． 23

C． 4

D． 25学科网 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为m,n,k，由题意得

m2?n2?k2?7，

m2?k2?6?n?1，学1?k2?a，1?m2?b，所以(a2?1)?(b2?1)?6?a2?b2?8，

学科网 ∴(a?b)2?a2?2ab?b2?8?2ab?8?a2?b2?16?a?b?4当且仅当a?b?2时取等号．例2下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是学科网 A．9π

B．10π

C．11π

D．12π学科网 解析：这个空间几何体是由球和圆柱组成的，圆柱的底面半径是1，母线长是3，球的半径是1，故其表面积是2??1?3?2???1?4??1?12?，答案D．学科网 例3 已知一个正三棱锥P?ABC的主视图如图所示，若AC?BC?223， 学科网 2PC?6，则此正三

1 立体几何中的动态问题研究

题型1 在运动变化过程中利用方程探求动点的位置

例 如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，

AF=1． 试在线段AC 上确定一点P ，使得PF 与BC 所成的角是60°，并加以证明．

例 如图，已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1 中，ABC=90°，AB=BC=a ，AA1 =2AB ，M 为CC 1 上的点．试问当M 在C 1C 上的什么位置时，B 1M 与平面AA 1C 1C 所成的角为30°

题型2 在运动变化过程中建立函数关系，寻求相关角的变化范围．

例 如图，在三棱锥V-ABC 中，VC 底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC=BC=a ，∠VDC=θ (0＜θ＜2π

)

( 1) 求证: 平面VAB ⊥VCD;

( 2) 当角 变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围．

2 题型3在运动变化过程中建立方程关系探究二面角的大小．

例 如图所示，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD=AA1 =1，AB=2，点E 在棱AB 上移动，当AE 等于何值时，二面角D1-EC-D 的大小为

4π．

题型4 在运动变化过程中，利用曲线定义探究动点轨迹．

例 如图，P

高考立体几何知识点总结

一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型

1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的

面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。

（二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征

1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2 棱柱的分类

图1-1 棱柱

底面是四边形

底面是平行四边形

侧棱垂直于底面

棱柱

底面是矩形

四棱柱

底面是正方形

平行六面体

棱长都相等

直平行

六面体长方体正四棱柱正方体 性质：

Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；

1.3 棱柱的面积和体积公式

S直棱柱侧 ch（c是底周长，h是高）S直棱柱表面 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底 ·h

2 、棱锥的结构特征

2.1 棱锥的定义

（1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角

河北师范大学2012级数学专业14-15-2学期

中学学科教材分析与课堂教学实践

年 级：_ __ 2012级 学 号：___2012012823____ 姓 名：_ ___ 王宇 日 期： 2015年10月23日

高中立体几何部分的教材分析

一.教材分析的理论

1.教材分析的内容

立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间。所以，学习立体几何对我们认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义。《立体几何初步》这部分内容，是在义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与发展，教材的编写力图凸显《普通高中数学课程标准》对立体几何的教学要求，通过直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法，以帮助学生实现逐步形成空间想像能力这一教学目的。

本文研究的是普通高中课程标准实验教科书《数学2》的立体几何部分。 2.教材分析的方法

教材分析的方法，经常沿用的有知识分析法，心理分析法和方法论分析法。 （1）知识分析法。知识分析首先要确定教材中的一般知识、重要知识、重点知识和扩展、应用性知识等，进而根据这些知识的内在联系，形成知识网络，必要时整理成知识

2 0 1 3年

第2 1期

S C I E N C E&T E C HN O L OG Y I N F O R MA T I O N

o教学研究0

科技信息

如何学好立体几何邓贵元 (上杭县才溪中学，福建上杭 3 6 2 3 0 0 )立体几何研究的对象是空间图形 .学习立体几何是把空间图形画最后以符号语言严谨，规范简洁地进行表达。 在平面上进行研究 .这给立体几何的学习增加了难度 .如何突破平面三种数学语言 .尤其重要的是符号语言的运用 .在几何计算和推思维限制，再现空间的想象思维，是学生学习时的最大难点。要学好立理论证中要求学生要养成运用符号语言的习惯 .这样可使解题过程简体几何关键应注意以几点。 洁清晰、严谨规范。掌握好这三种数学语言，能形成正确运用数学语言进行数学交流表达的能力。

1明确学习目标

立体几何的初步学习，将从对空间几何体的整体观察人手，认识空间几何图形的结构特征，需要学生采用直观感知、操作确认、思维辩在学习立体几何过程中，学生可以利用笔、直尺、书之类的东西 . 证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质，注重培养和发展甚至用手掌、手指、教室中的桌椅、黑板等构建出一个空间图形的框空间想象能力推理论证能力运用图形语言进行交流的

立体几何（几何法）—线面角

例1（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为菱形，PA?底面

PABCD，AC?22，PA?2，E是PC上的一点，PE?2EC。

（Ⅰ）证明：PC?平面BED；

（Ⅱ）设二面角A?PB?C为90，求PD与平面PBC所成角的大小。

【答案】解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所

C?EBAD以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.

设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝22， PA＝2，PE＝2EC，故

23

PC＝23，EC＝3，FC＝2， PCAC

从而FC＝6，EC＝6.

PCAC

因为FC＝EC，∠FCE＝∠PCA，所以 △FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°， 由此知PC⊥EF.

PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED. (2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足． 因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC. 又平面PAB∩平面PBC＝PB， 故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.

BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所

高考数学重点专题

2008届高三文科数学第二轮复习资料

——《立体几何》专题

一、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结．如下图：

二、练习题：

1． 1∥ 2，a，b与 1， 2都垂直，则a，b的关系是

A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交、异面都有可能

2．三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别为AA1、CC1上的点，且满足AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积是 A．

1112

V B．V C．V D．V 2343

B1

1 3．设 、 、 为平面， m、n、l为直线，则m 的一个充分条件是

A． , l,m l B． m, , C． , ,m D．n ,n ,m 4．如图1，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中， P、Q是对角

D

高考数学重点专题

a

，则三棱锥P BDQ的体积为 2

333 B

C

D．不确定 A

线A1C上的点，若PQ

5．圆台的轴截面面积是Q，母线与下底面成60°角，则圆台的内切球的表面积是 A 1Q B