大数定理及中心极限定理总结
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大数定理与中心极限定理典型题解
第四章 大数定理与中心极限定理典型题解
1.计算器在进行时,将每个加数舍入,最靠近它的整数,设所有舍入误差相互独立且在(?0.5,0.5)上服从均匀分布,将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少?
解 设第k个加数的舍入误差为Xk(k?1,2,?,1500),已知Xk在(?0.5,0.5)15001上服从均匀分布,故知E(Xk)?0,D(Xk)?.记X??Xk,由中心极限定理,
12k?1当n充分 时有近似公式
P{X?1500?01500112?x}??(x),
于是
P{x?15}?1?P{x?15}?1?P{?15?X?15}?15?0X?015?0??}15001150011500112121215?15 ?1?[?()??()]1500115001121215?1?[2?(?1]?2?(1.342)?2[1?0.9099]150012?0.1802.即误差总和的绝对值超过15的概率近似地为0.1802.
2.有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3m,现在从这批木柱中地取100根,求其中至少有30根短于3m的概率.
?1?P{解 以X记被抽取的100根木柱长度短于3m的根数,则X~b(100,0.2).于
4大数定理及中心极限定理典型题解
第四章 大数定理与中心极限定理典型题解
1.计算器在进行时,将每个加数舍入,最靠近它的整数,设所有舍入误差相互独立且在(?0.5,0.5)上服从均匀分布,将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少?
解 设第k个加数的舍入误差为Xk(k?1,2,?,1500),已
Xk在(?0.5,0.5)15001上服从均匀分布,故知E(Xk)?0,D(Xk)?.记X??Xk,由中心极限定理,
12k?1当n充分 时有近似公式
P{X?1500?01500112?x}??(x),
于是
P{x?15}?1?P{x?15}?1?P{?15?X?15}?15?0X?015?0??}15001150011500112121215?15 ?1?[?()??()]1500115001121215?1?[2?(?1]?2?(1.342)?2[1?0.9099]150012?0.1802.即误差总和的绝对值超过15的概率近似地为0.1802.
2.有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3m,现在从这批木柱中地取100根,求其中至少有30根短于3m的概率.
?1?P{解 以X记被抽取的100根木柱长度短于3m的根数,则X~b(100,0.2).于是
第五章大数定理与中心极限定理
第五章大数定律与中心极限定理§5.1大数定律的概念 §5.2切贝谢夫不等式 §5.3切贝谢夫定理 §5.4中心极限定理
§5.1大数定律的概念 例1 掷一颗均匀的正六面体的骰子,出现么点的概率 是1/6,在掷的次数比较少时,出现么点的频率可能与 1/6相差得很大.但是在掷的次数很多时,出现么点的频 率接近1/6几乎是必然的. 例2 测量一个长度a,一次测量的结果不见得就等于a,量 了若干次,其算术平均值仍不见得等于a,但当测量的 次数很多时,算术平均值接近于a几乎是必然的.
这两个例子说明:在大量随机现象中,不仅看到了随机事 件的频率具有稳定性,而且还看到大量测量值 的平均结果也具有稳定性。这种稳定性就是 本章所要讨论的大数定律的客观背景。即无 论个别随机现象的结果如何,或者它们在进行 过程中的个别特征如何,大量随机现象的平均 结果实际上与每一个别随机现象的特征无关, 并且几乎不再是随机的了。
大数定律以确切的数学形式表达了这种规律 性,并论证了它成立的条件,即从理论上阐述了 这种大量的、在一定条件下的、重复的随机现 象呈现的规律性即稳定性.由于大数定律的作用, 大量随机因素的总体作用必然导致某种不
第5章大数定律及中心极限定理习题及答案
第 5 章 大数定律与中心极限定理
一、
填空题:
21.设随机变量E(?)??,方差D(?)??,则由切比雪夫不等式有P{|???|?3?}? 2.设?1,?2,?,?n是
1 . 9n个相互独立同分布的随机变量,
E(?i)??,D(?i)?8,(i?1,2,?,n)对于???i,写出所满足的切彼雪夫不等式 ?i?1nnP{|???|??}?D(?)811? ,并估计 . ?P{|???|?4}?2n?2n?23. 设随机变量X1,X2,?,X9相互独立且同分布, 而且有EXi?1,
DXi?1(i?1,2,?,9), 令X??Xi, 则对任意给定的??0, 由切比雪夫不等式
i?19直接可得PX?9??? 1???9 . ?2解:切比雪夫不等式指出:如果随机变量X满足:E(X)??与D(X)??2都存在, 则对任意给定的??0, 有
?2?2P{|X??|??}?2, 或者P{|X??|??}?1?2.
??由于随机变量X1,X2,?,X9相互独立且同分布, 而且有 EXi?1,DXi?1(i?1,2,?9), 所以
9?9?9??E(X)?E??Xi?
第五章 大数定律与中心极限定理
第五章 大数定律和中心极限定理第一节 大数定律 第二节 中心极限定理
第5章概述 章概述 大数定律和中心极限定理就是使用极限方法 大数定律和中心极限定理就是使用极限方法 使用极限 研究大量随机现象统计规律性. 研究大量随机现象统计规律性 阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的 阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的 大量重复试验的平均结果具有稳定性 一系列定律都称为大数定律 一系列定律都称为大数定律. 大数定律 论证随机变量(试验结果) 论证随机变量(试验结果)之和渐进服从某 随机变量 一分布的定理称为中心极限定理. 的定理称为中心极限定理 一分布的定理称为中心极限定理
切比雪夫不等式定理 设随机变量 X 具有数学期望 E ( X ) = µ, 方差 D( X ) = σ 2 , 则对于任意正数 ε , 不等式 σ P{ X µ ≥ ε } ≤ 2 ε 成立.证明 对连续型随机变量的情况来证明. 对连续型随机变量的情况来证明2
设 X 的概率密度为 f ( x), 则有
P{ X µ ≥ ε }=
∫
x µ ≥ε
f ( x)dx ≤ ∫ x µ ≥ ε
x µ ε2
2
f ( x)
第5章-大数定律与中心极限定理答案
第五章 《中心极限定理》测验题
班级: 姓名: 学号: 成绩:
一、单项选择题(每题2分,共10分)
1. 如果离散型随机变量X1,X2,L,Xn相互独立且皆服从参数为????0?的泊松分布,则当n充分大时,离散型随机变量Y?( )近似服从标准正态分布.
?XA)
i?1ni?? B)
?Xi?1ni?? C)
?Xi?1ni?n? D)
?Xi?1ni?n?
??n?n?解: 因为 E(Xi)?D(Xi)?? ?i?1,2,?,n?,
又 Sn???????????由李雅普诺夫中心极限定理:
12n?,
??Xi?1ni?????Xi?1ni?n??N(0,1)
Sn故选(D)
n?2. 如果离散型随机变量X1,X2,L,Xn相互独立且皆服从0-1分布B?1,p?,则当n充分大时,离散型随机变量X??Xi?1ni近似服从( )分布.
A) E??? B) N?0,1? C) Nnp,np?1?p? D) B?1,p? 解 因为 E?Xi??p,?i?1,2,?
第5章大数定律及中心极限定理习题及答案0518
第 5 章 大数定律与中心极限定理
一、
填空题:
2.设?1,?2,?,?n是n个相互独立同分布的随机变量,
nE(?i)??,D(?i)?8,(i?1,2,?,n)对于???i?1?in,写出所满足的切彼雪夫不等式
P{|???|??}?D(?)?2?8n?2 ,并估计P{|???|?4}? 1?12n . nD(?)??i?1D(?i)n2??2n?8n
3. 设随机变量X1,X2,?,X9相互独立且同分布, 而且有EXi?1,
9DXi?1(i?1,2,?,9), 令X??i?1Xi, 则对任意给定的??0, 由切比雪夫不等式
直接可得P?X?9???? 1?9?2 .
解:切比雪夫不等式指出:如果随机变量X满足:E(X)??与D(X)??2都存在, 则对任意给定的??0, 有
P{|X??|??}???22, 或者P{|X??|??}?1???22.
由于随机变量X1,X2,?,X9相互独立且同分布, 而且有 EXi?1,DXi?1(i?1,2,?9), 所以
?9???E(X)?E??Xi???i?1?99i?E(Xi?19)??1?9,
i?19 ?
第5章大数定律及中心极限定理习题及答案0518
第 5 章 大数定律与中心极限定理
一、
填空题:
2.设?1,?2,?,?n是n个相互独立同分布的随机变量,
nE(?i)??,D(?i)?8,(i?1,2,?,n)对于???i?1?in,写出所满足的切彼雪夫不等式
P{|???|??}?D(?)?2?8n?2 ,并估计P{|???|?4}? 1?12n . nD(?)??i?1D(?i)n2??2n?8n
3. 设随机变量X1,X2,?,X9相互独立且同分布, 而且有EXi?1,
9DXi?1(i?1,2,?,9), 令X??i?1Xi, 则对任意给定的??0, 由切比雪夫不等式
直接可得P?X?9???? 1?9?2 .
解:切比雪夫不等式指出:如果随机变量X满足:E(X)??与D(X)??2都存在, 则对任意给定的??0, 有
P{|X??|??}???22, 或者P{|X??|??}?1???22.
由于随机变量X1,X2,?,X9相互独立且同分布, 而且有 EXi?1,DXi?1(i?1,2,?9), 所以
?9???E(X)?E??Xi???i?1?99i?E(Xi?19)??1?9,
i?19 ?
第四章 大数定律与中心极限定理答案
第四章 大数定律与中心极限定理答案
一、单项选择
1. 设?(x)为标准正态分布函数,Xi???1,事件A发生;100i?1i?1,2,?,100,且
?0,事件A不发生,P(A)?0.8,X1,X2,?,X100相互独立。令Y??Xi,则由中心极限定理知Y的分
布函数F(y)近似于( )
y?80(A)?(y) (B)Ф() (C)?(16y?80) (D)?(4y?80)
4答案:D 二、填空
1. 设X的期望和方差分别为
?和?2,则由切比雪夫不等式可估计
P(X???2?) 。
答案:?
3 42.设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5,则根据切比雪夫不等式,有P{|X?Y|?6}?________. 答案:
1 123. 已知随机变量?的均值μ=12,标准差σ=3,试用切比雪夫不等式估计?落在6到18之间的概率为________.与3到21之间
解 由题意得,E??12,D???2?32, 由切比雪夫不等式得
P{6???18}?P{??12?6}D?323?1?2?1?2?466
?P{6???18}?3 4
4. 已知随机变
考研数学概率论与数理统计强化习题-大数定律与中心极限定理
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模块十 大数定律与中心极限定理
Ⅰ 经典习题
一. 用切比雪夫不等式估计事件的概率
1、设 1, 2 , n为独立同分布的随机变量,E i ,D i 2 i 1,2,.....,n ,若令
1n i,则切比雪夫不等式为P 2 _______. ni 1
二.大数定律
1n
2、设随机变量序列X1,X2,...,Xn,...相互独立,则根据辛钦大数定律,当n Xini 1依概率收敛于其期望,只要X1,X2,...,Xn,...( )
(A)具有相同的数学期望 (B)服从同一离散型分布
(C)服从同一泊松分布 (D)服从同一连续型分布
3、设随机变量序列X1,X2,...,Xn,...相互独立,记Yn X2n X2n 1,则根据辛钦大数定律,
1n
当n 时