降幂升角和辅助角公式

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降幂公式、辅助角公式应用

标签:文库时间:2025-02-17
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降幂公式、辅助角公式应用

降幂公式

(cosα)^2=(1+cos2α)/2 (sinα)^2=(1-cos2α)/2

(tanα)^2=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式如下

直接运用二倍角公式就是升幂,将公式Cos2α变形后可得到降幂公式: cos2α=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2 cos2α=2(cosα)^2-1,(cosα)^2=(cos2α+1)/2

cos2α=1-2(sinα)^2,(sinα)^2=(1-cos2α)/2 降幂公式

例10、(2008惠州三模)已知函数f(x)??3sin2x?sinxcosx (I)求函数f(x)的最小正周期; (II)求函数f(x)在x??0,解:f(x)??3sin2x?sinxcosx??3????的值域. ??2?1?cos2x1?sin2x 22 ?2?133?3?? ?sin(2x?)? (I)T?sin2x?cos2x?222232 (II)∴0?x??2 ∴

?3?2x??3?4?3? ∴ ??sin(2x?)

三角函数辅助角公式应用20170313

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辅助角公式应用20170313

基础知识:化asin? 解: asin?+bcos?=?bcos?为一个角的一个三角函数的形式. a2?b2(aa?b222sin?+ba?b22cos?),

① 令aa?b22=cos?,

ba?b2=sin?,

② 顺序:要使正弦在前,余弦在后;系数:分析好a、b,正弦系数为a、余弦系数为b。 例题:例1、试将以下各式化为Asin(???)?A?0?的形式. (1)31sin??cos?(2)sin??cos?(3)2sin??6cos? (4)3sin??4cos? 22

例2、试将以下各式化为Asin(???)(A?0,??[??,?))的形式. (1)sin??cos? (2)cos??sin? (3)?3sin??cos? 例3、若sin(x?50?)?cos(x?20?)?3,且0??x?360?,求角x的值。 例4、若3sin(x?4、课堂练习

??????(1)、3sin?????3cos???? =________________(化为Asin(???)?A?0?的形式)

66?????12)?cos(x??12)?2?,且 ??x?0,求sinx?cosx的值。

23(2)

(完整版)降幂公式、辅助公式练习(学生)

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1 降幂公式、辅助角公式练习

1.

函数2()sin(2)4f x x x π=-

-的最小正周期是__________________ . 2. 函数2()sin (2)4f x x π=-

的最小正周期是 __________________ . 3. 函数1)4(cos 22--=π

x y 是 ( )

A .最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数

C. 最小正周期为

2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数

4. 已知函数2()sin 22sin f x x x =-

(I )求函数()f x 的最小正周期。

(II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。

5. 已知函数2()2cos 2sin f x x x =+

(Ⅰ)求()3

f π

的值; (Ⅱ)求()f x 的最大值和最小值

6. 已知函数(x)f 22cos 2sin 4cos x x x =+-。

(Ⅰ)求()3

f π

=的值; (Ⅱ)求(x)f 的最大值和最小值。

2 7. 已经函数22cos sin 11(),()sin 2.224x x f x g x x -==-

两角和与差的正弦、余弦和正切公式,二倍角公式

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考点5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式,二倍角公式

1. (15盐城市盐都区时杨中学届高三上学期1月调考) 若cos(??)?的值是______.

【考点】二倍角的余弦,三角函数的化简求值. 【答案】?π31n(is,则23?)?π67 9π31, 3【分析】∵cos(??)?∴sin(2??)?cos(π6ππ2ππ?2??)?cos(2??)?2cos2(??)?1 263317?2?()?1??.

3922. (15泰州一模)在平面直角坐标系xOy中,角α的终边经过点P(3,4).

(1)求sin(α+

π)的值; 4????????(2)若P关于x轴的对称点为Q,求OP?OQ的值.

【考点】 平面向量数量积的运算;两角和的正弦函数. 【解】(1)∵角α的终边经过点P(3,4),∴sin??43,cos??…(4分) 55∴sin??π?ππ42327????sin?cos?cos?sin?????2.…(7分) 4?44525210?(2)∵P(3,4)关于x轴的对称点为Q,

(3,?4)∴Q.…(9分)

????????∴OP?(3,4),OQ?(3,?4),

????????∴OP?OQ?3?3?4?(?4)??7. …(14分

任意角和弧度制 任意角的三角函数 诱导公式

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任意角和弧度制 任意角的三角函数 诱导公式

【知识梳理】 1.角概念的推广

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

(1)按旋转方向不同分为正角、负角、零角; (2)按终边位置不同分为象限角和轴线角。 ①象限角及其集合表示:

②轴限角及其集合表示:

2.终边相同的角

终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角,它们彼此相差2kπ(k∈Z),即β∈{β|β=2kπ+α,k∈Z},根据三角函数的定义,终边相同的角的各种三角函数值都相等。 3.弧度制

(1)1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示。

(2)角α的弧度数:如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对值是

l. r

180

(3)弧度与角度互换公式:1rad=180°≈57.30°,1°=

≈0.01745(rad)。

(4)弧长、扇形面积的公式

弧长公式:l | |r( 是圆心角的弧度数),

扇形面积公式:S 4.三角函数定义

5.三角函数线:(三角函数象限符号)

11

lr | |r2。 22

6.同角三角函数的基本关系

sin 22 tan

(1)平方关系:sinα+cosα=1;(2)商数关系:

任意角和弧度制 任意角的三角函数 诱导公式

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任意角和弧度制 任意角的三角函数 诱导公式

【知识梳理】 1.角概念的推广

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

(1)按旋转方向不同分为正角、负角、零角; (2)按终边位置不同分为象限角和轴线角。 ①象限角及其集合表示:

②轴限角及其集合表示:

2.终边相同的角

终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角,它们彼此相差2kπ(k∈Z),即β∈{β|β=2kπ+α,k∈Z},根据三角函数的定义,终边相同的角的各种三角函数值都相等。 3.弧度制

(1)1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示。

(2)角α的弧度数:如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对值是

l. r

180

(3)弧度与角度互换公式:1rad=180°≈57.30°,1°=

≈0.01745(rad)。

(4)弧长、扇形面积的公式

弧长公式:l | |r( 是圆心角的弧度数),

扇形面积公式:S 4.三角函数定义

5.三角函数线:(三角函数象限符号)

11

lr | |r2。 22

6.同角三角函数的基本关系

sin 22 tan

(1)平方关系:sinα+cosα=1;(2)商数关系:

5.3 - 同角三角比的关系和诱导公式 - 图文

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5.3同角三角比的关系和诱导公式

1.公式: sin??cos??1

2222sin??tan? tan??cot??1 cos?2.推广:sin??cos??1这种关系称为平方关系,类似的平方关系还有:

sec2??tan2??1 csc2??cot2??1

3.

sin?cos??tan?这种关系称为商数关系,类似的商数关系还有:?cot? cos?sin?4.tan??cot??1这种关系称为倒数关系。类似的倒数关系还有:csc??sin??1

sec??cos??1

第二组诱导公式的推导

由负角的定义,可知角α与角-α的终边关于x轴对称(如图)。在角α的终边上取一点P,使OP的长为1,此时点P的坐标为(cosα,sinα)。点P关于x轴的对称点P?(cosα,-sinα)一定在角-α的终边上,且OP?的长为1,因此点P?的坐标又可表示为(cos(-α),sin(-α))

所以有sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

由三角比的商数关系得:tan(-α)=-tanα

cot(-α)=-cotα

第三组诱导公式的推导

将角α的终边绕着原点O按逆时针方向旋转π弧度,得到角π+α的终边,可知角α和角

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习

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两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习

一、知识要点:

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)S(???):sin(???)?sin?cos??cos?cos?; (2)C(???):cos(???)?cos?cos??sin?sin?; (3)T(???):tan(???)?tan??tan?.

1?tan?tan?2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S(2?):sin2??2sin?cos?α;

(2)C(2?):cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin?; (3)T(2?):tan2??22222tan?.

1?tan2?3.常用的公式变形

(1)tan??tan??tan(???)(1?tan?tan?); (2)cos??21?cos2?1?cos2?; ,sin2??2222(3)1?sin2??(sin??cos?),1?sin2??(sin??cos?),sin??cos??4.函数f(x)?asinx?bcosx(a,b为常数),可以化为f(x)?2sin(??).

4?a2?b2sin(x??)?a2?b2cos(x??),其中

?(?)可由a,b的值唯一确定.

两个技巧

(1)

巧用公式计算钟表角

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巧用公式计算钟表角

在平日的学习过程和近几年中考试题中,我们常会遇到与钟表上的角度计算有关的问题,多数师生在解决这类问题时感到困难大,通常都会采用画简易的表盘示意图的形式,去数两针之间的所夹的格数,既费时又易错。若能仅从时针、分针转动所成的角度入手解决则较容易。我们知道,时针、分针转动一周经过12大格或60小格.因此,每小时时针转动30°,每分钟分针转动6°,每分钟时针转动0.5°。假设时间是m时n分,在教学中笔者得到了钟表角的计算公式是:∣m×30°+0.5°n-6°n

∣。 下面就常见的几种典型例题对此公式的应用加以举例说明:

一、 求某一时刻时针、分针的夹角.

例1.9点22分时,时针与分针的夹角是多少度?

22解:9点22分时,时针转过了(9+)×30°=281°,分针转过了22×6°=132°,

60其度差为∣281°-132°∣=149°,∴时针与分针的夹角是149°.

例2.7点40分时,时针与分针的夹角是多少度?

40解:7点40分时,时针转过了(7+)×30°=230°,分针转过了40×6°=240°,

60其度差为∣230°-240°∣=10°,∴时针与分针的夹角是10°.

例3. 2点54分时,时针与分针的夹角是多少度?

分析

数学三角对数公式

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三角公式、对数公式、数学公式

倍角公式

Sin2A=2SinA CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)

(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) )

半角公式

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

和差化积

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB