切比雪夫不等式应用题例题

切比雪夫不等式及其应用

王林（2013080201031）

指导教师：吕恕

摘要：切比雪夫不等式是概率论中的一个重要内容，它是证明切比雪夫大数定律的重要

工具和理论基础。从切比雪夫不等式的证明切入，然后利用切比雪夫不等式证明了切比雪夫大数定律，最后给出了切比雪夫不等式的一些应用，讨论了切比雪夫不等式的概率边界问题。 关键词：切比雪夫不等式 切比雪夫大数定律 实际应用

0.引言

切比雪夫不等式是概率论中的一个重要内容，它不但用于理论证明，而且用于随机变量取值概率的估计，且其推广形式有许多方面的应用。

1.切比雪夫不等式

设随机变量X存在数学期望E(X)和方差D（X)，则对任意实数?有：P{X-E(X)}??}? 证明：（1）设X为离散型随机变量，其分布列为P(X=Xi）=Pi（i=1,2,3...)则P{|X-E(X)|??}=

D(X)?2

|Xi?E(X)|???Pi?1?2?(Xi?E(X))2Pi?i?1?D(X)

?2（2）设X为连续性随机变量，其概率密度为P（X),由于E(X),D(X)均存在

切比雪夫不等式证明一、

试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。

分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此 1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布.

解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且 ~XB(1000,1/2).因此 500 2 1

1000=×==npEX, 250) 2

答题完毕，祝你开心! 1 1( 2 1

1000)1(= ××= =pnpDX, 而所求的概率为

}500600500400{}600400{ << =< }100100{< < =EXXP }100{< =EXXP 975.0 100 1 2 = ≥ DX . 二、

切比雪夫(Chebyshev)不等式

对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0,

恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2 切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX|>=ε}

越小，P{|X-EX|<ε

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二维切比雪夫不等式

作者：唐建航

来源：《学习导刊》2013年第10期

摘要：本文根据一维切比雪夫不等式推导出二维切比雪夫不等式 关键字：概率论 切比雪夫不等式 二维切比雪夫不等式

概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变量的“几乎所有”值都会“接近”平均.切比雪夫不等式对任何分布形状的数据都适用.本文简述了二维切比雪夫不等式. 定义一 对于两个随机变量和 记

称作随机变量和的协方差，如果，， 则

称作随机变量和的相关系数.

定理一 切比雪夫不等式 设是某一概率空间，，是非负随机变量.那么，对任意， 证明：注意到

其中是集合的示性函数. 于是，根据数学期望的性质 从而切比雪夫不等式得证.

定理二 已知随机变量，.且其数学期望为和.那么存在

证明 我们知道，对于某一概率空间，是某一随机变量，其值域为如果设，则显然可以表示为

其中为概率空间

篇一：经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式 篇一

mathwang

几个经典不等式的关系

一 几个经典不等式

（1）均值不等式

设a1,a2,？an?0是实数

a?a?？?a12n ？?？

111n?+？?a1a2an

其中ai?0,i?1,2,？n.当且仅当a1?a2?？?an时，等号成立。

n

（2）柯西不等式

设a1,a2,？an,b1,b2,？bn是实数，则

？a

21

22?a2?？?an?？b12?b22?？?bn2?？?a1b1?a2b2?？?anbn?

2

当且仅当bi?0(i?1,2,？，n)或存在实数k，使得ai?kbi(i?1,2,？，n)时，等号成立。

（3）排序不等式

设a1?a2?？?an，b1?b2?？?bn为两个数组，c1，c2，？，cn是b1，b2,？，bn的任一排列，则

a1b1?a2b2?？?anbn?a1c1?a2c2?？?ancn?a1bn?a2bn?1?？?anb1 当且仅当a1?a2?？?an或b1?b2?？?bn时，等号成立。

（4）切比晓夫不等式

对于两个数组：a1?a2?？?an，b1?b2?？?bn，有

a1b1?a2b2?？?anbn?a1?a2?？?an?？b1?b2?？?bn?a1bn?a2bn?

第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式本次课讲授第三章第4—8节，方差，协方差、 相关系数与大数定理； 下次课讲授第四章第1-4节：正态分布的密度与 期望方差。 下次上课前完成作业9,上课时交作业P37---40

页重点：方差与协方差 难点：方差协方差与独立相关系数之间的关系

第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式概括各类情况的均值公 式 定义：E ( X ) xi P ( xi ) xP ( x ) i 1

若X连续，则令P ( xi X xi x ) P ( xi ) f ( xi ) xi , E ( X ) xi P ( xi ) xi f ( xi ) xi xf ( x )dxi 1 i 1

x

Y g( X )时，E (Y ) E[ g( X )] g( x ) P ( x ) g( x ) f ( x )dx

Z g( X , Y )时，E g( X , Y ) g( xi , y j ) P ( xi , y j )i j

x

g( x , y ) f ( x , y )dxdy

回顾： 1.原点矩 定义1

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教育专线：65030765 地址：成都青羊区培风东街 435 号(三十七中斜对面)

4.

2008 年 5 月 12 日，汶川发生了里氏 8.0 级地震，给当地人民造成了巨大的损失.某中学全体师生积极 捐款，其中九年级的 3 个班学生的捐款金额如下表：

老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息： 信息一：这三个班的捐款总金额是 7700 元； 信息二：二班的捐款金额比三班的捐款金额多 300 元； 信息三：一班学生平均每人捐款的金额大于 48 元，小于 51 元. .. .. 请根据以上信息，帮助老师解决： (1) 二班与三班的捐款金额各是多少元? (2) 一班的学生人数是多少?

5.

某学校计划组织 385 名师生租车旅游，现知道出租公司有 42 座和 60 座客车，42 座客车的租金为每辆 320 元，60 座客车的租金为每辆 460 元. (1) 若学校单独租用这两种客车各需多少钱? (2) 若学校同时租用这两种客车 8 辆(可以坐不满),而且比单独租用一种车辆节省

1、 某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每

间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。

2、 有10名菜农,每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩,已知甲种蔬菜每亩可收入

0.5万元,乙种蔬菜每亩可收入0.8万元,若要使总收入不低于15.6万元,则应该如何安排人员？

3、 出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内需付10元车费),达到或超过5km

后,每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计),现在某人乘这种出租 汽车从甲地到乙地支付车费17.2元,从甲地到乙地的路程大约是多少?

4、 在双休日,某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园,公司先派一个

人去了解船只的租金情况,这个人看到的租金价格表如下:

那么,怎样设计租船方案才能使所付租金最少?(严禁超载)

5、 (2001安徽)某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的

工人月工资分别为600元和1000元.现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？

6、 某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人月工资分别为

600元和1000元.现要求乙种

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4.

2008 年 5 月 12 日，汶川发生了里氏 8.0 级地震，给当地人民造成了巨大的损失.某中学全体师生积极 捐款，其中九年级的 3 个班学生的捐款金额如下表：

老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息： 信息一：这三个班的捐款总金额是 7700 元； 信息二：二班的捐款金额比三班的捐款金额多 300 元； 信息三：一班学生平均每人捐款的金额大于 48 元，小于 51 元. .. .. 请根据以上信息，帮助老师解决： (1) 二班与三班的捐款金额各是多少元? (2) 一班的学生人数是多少?

5.

某学校计划组织 385 名师生租车旅游，现知道出租公司有 42 座和 60 座客车，42 座客车的租金为每辆 320 元，60 座客车的租金为每辆 460 元. (1) 若学校单独租用这两种客车各需多少钱? (2) 若学校同时租用这两种客车 8 辆(可以坐不满),而且比单独租用一种车辆节省

1.一家游泳馆每年6～8月出售夏季会员证，每张会员证80元，只限本人使用，凭证购入场券每张1元，不凭证购入场券每张3元：

⑴什么情况下，购会员证与不购会员证付一样的钱？ ⑵什么情况下，购会员证比不购会员证更合算？ ⑶什么情况下，不够会员证比购会员证更合算？

注意：解题过程完整，分步骤，能用方程解的用方程解 80+X=3x 80=2X X=40

X=40，购会员证与不购会员证付一样的钱 X>40购会员证比不购会员证更合算 X<40不够会员证比购会员证更合算

2.下列是3家公司的广告：

甲公司：招聘1人，年薪3万，一年后，每年加薪2000元 乙公司：招聘1人，半年薪1万，半年后按每半年20％递增． 丙公司：招聘1人，月薪2000元，一年后每月加薪100元 你如果应聘，打算选择哪家公司？（合同期为2年） 甲:3+3.2=6.2万

乙:1+1.2+1.2*1.2+1.2*1.2*1.2=1+1.2+1.44+1.728=5.368万 丙:0.2*24+0.01+0.02+0.03+0.04+??0.12=4.8+0.78=5.58万

甲工资最高,去甲

3.某风景区集体门票的收费标准是：20人以内（含20人）。每人25元，超过20人的，超过的部分每人10元，某班51名学生该风

经典啊啊

初一下数学不等式应用题汇总

例1、 甲、乙两商店以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费。顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？ 首先考虑一下：

甲商店优惠方案的起点为购物款达 元后； 乙商店优惠方案的起点为购物款达 元后

（1）现在有4个人，准备分别消费40元、80元、140元、160元，那么去哪家商店更合算？为什么？

（2）如果累计购物超过100元，那么在甲店购物花费小吗？

（3）累计购物超过100元而不到150元时，在哪个店购物花费小？累计购物恰好是150元时，在哪个店购物花费小？

（4）根据甲乙商店的销售方案，顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？你能为消费者设计一套方案吗？

解：设累计购物Ｘ元（Ｘ＞１００），如果在甲店购物花费小，则 50+0.95(X-50)>100+0.9(X-100) 得 X>150

答:累计购物超过150元时在甲店购物花费小

例2、某班同学外出春游，需拍照合影留念；若一张底片需0.57元，冲印一张需