高数曲面积分总结

高等数学学习辅导 多元函数积分学 1

多元函数积分学

一、主要内容

1、重积分的概念与性质.

2、二重积分的计算方法：直角坐标、极坐标.

3、三重积分的计算方法：直角坐标、柱面坐标、球面坐标. 4、重积分的应用：几何应用、物理应用.

5、两类曲线积分（对弧长的、对坐标的）的概念与性质. 6、两类曲线积分的计算公式（化为定积分）.

7、两类曲面积分（对面积的、对坐标的）概念与性质. 8、两类曲面积分的计算公式（化为二重积分）. 9、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式及其应用. 10、场论的重要概念：通量与散度，环量与旋度.

二、学习要求

1、理解各种积分的概念，了解各种积分的性质及相互之间关系，并会正确应用于积分的计算之中。

2、掌握各种积分的计算方法：对重积分会在不同的坐标系下计算；对曲线、曲面积分与会利用各种积分之间的关系计算。

3、理解多元函数积分的元素法。会用元素法写出一些几何量和物理量的重积分表达式。线、面积分表达式并进行计算。

4、掌握格林公式，高斯公式、斯托克斯公式（条件、结论和应用）

5、掌握曲线（面）积分与积分

第十三章 曲线积分与曲面积分

定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.

第一节 对弧长的曲线积分

一、 对弧长的曲线积分的概念与性质

在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为y?f?x?，x??a,b?，其上每一点的密度为??x,y?．

如图13-1我们可以将物体分为n段，分点为

M1,M2,...,Mn, 每一小弧段的长度分别是?s1,?s2,...,?sn．取其中的一小段弧Mi?1Mi来分

图13-1

析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点

??i

第十章 曲线积分与曲面积分

第一节 第一类曲线积分

1.设xOy平面内有一分布着质量的曲线弧L,在点(x,y)处它的线密度为?(x,y),用对弧长的曲线积分表示：

（1）这曲线弧L的长度S?_______; （2）这曲线弧L的质量M?_______;

（3）这曲线弧L的重心坐标：x?___;y?___;

（4）这曲线弧L对x轴,y轴及原点的转动惯量Ix?____;Iy?____;I0?____. 解 （1）S?（2）M??ds;

L?L?(x,y)ds;

y?(x,y)ds?, y???(x,y)dsLLx?(x,y)ds? （3）x?, ??(x,y)dsLL （4）Ix??Ly2?(x,y)ds, Iy??x2?(x,y)ds, I0??(x2?y2)?(x,y)ds

LLx2y2??1,其周长为a,求?(3x2?4y2)ds. 2.（1）设L为椭圆

L43 （2）设L为圆周x?y?64,求

22?Lx2?y2ds.

x2y2??1,即3x2?4y2?12, 解 （1）L：43从而

?(3xL2?4y2)ds=?12ds=12?ds=12a.

LL22 （2）L：x?y?64, 从而

?Lx2?y2ds=?8ds=8?ds

第十章 曲线积分与曲面积分

第一节 第一类曲线积分

1.设xOy平面内有一分布着质量的曲线弧L,在点(x,y)处它的线密度为?(x,y),用对弧长的曲线积分表示：

（1）这曲线弧L的长度S?_______; （2）这曲线弧L的质量M?_______;

（3）这曲线弧L的重心坐标：x?___;y?___;

（4）这曲线弧L对x轴,y轴及原点的转动惯量Ix?____;Iy?____;I0?____. 解 （1）S??dLs;

（2）M??L?(x,y)ds;

（3）L?(x,y)dsx??x, Ly?(x,y)ds, ??(x,y)dsy??L?L?(x,y)ds （4）I2x??Ly2?(x,y)ds, Iy??Lx?(x,y)ds, I0??22L(x?y)?(x,y)ds

2.（1）设L为椭圆

x2y2224?3?1,其周长为a,求?L(3x?4y)ds.

（2）设L为圆周x2?y2?64,求?22Lx?yds.

解 （1）L：x2y224?3?1,即3x?4y2?12,

从而

?22L(3x?4y)ds=?L12ds=12?ds=12aL.

（2）L：x2?y2?64, 从而?x2?y2Lds=?L8ds=8?L

第十章 曲线积分与曲面积分

第一节 第一类曲线积分

1.设xOy平面内有一分布着质量的曲线弧L,在点(x,y)处它的线密度为?(x,y),用对弧长的曲线积分表示：

（1）这曲线弧L的长度S?_______; （2）这曲线弧L的质量M?_______;

（3）这曲线弧L的重心坐标：x?___;y?___;

（4）这曲线弧L对x轴,y轴及原点的转动惯量Ix?____;Iy?____;I0?____. 解 （1）S?（2）M??ds;

L?L?(x,y)ds;

y?(x,y)ds?, y???(x,y)dsLLx?(x,y)ds? （3）x?, ??(x,y)dsLL （4）Ix??Ly2?(x,y)ds, Iy??x2?(x,y)ds, I0??(x2?y2)?(x,y)ds

LLx2y2??1,其周长为a,求?(3x2?4y2)ds. 2.（1）设L为椭圆

L43 （2）设L为圆周x?y?64,求

22?Lx2?y2ds.

x2y2??1,即3x2?4y2?12, 解 （1）L：43从而

?(3xL2?4y2)ds=?12ds=12?ds=12a.

LL22 （2）L：x?y?64, 从而

?Lx2?y2ds=?8ds=8?ds

第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

第十章 曲线积分与曲面积分答案

一、选择题 1．曲线积分

?x??f(x)?e?sinydx?f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)有一阶连续偏导?L数，且f(0)?0，则f(x)? B

A.

1(e?x?ex) B. 1(ex?e?x) C. 1(ex222?e?x) D.0 2．闭曲线C为x?y?1的正向，则

C??ydx?xdyx?y? C

A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C为4x2?y2?1的正向，则

?ydx?xdy2C?4x2?y? D

A.?2? B. 2? C.0 D. ?

4．?为YOZ平面上y2?z2?1，则

??(x2?y2?z2)ds? D

?A.0 B.

? C. 1? D. 142?

5．设C:x2?y2?a2，则?(x2?y2)ds? C

CA.2?a2 B. ?a2 C. 2?a3 D. 4?a3 6. 设?为球面x2?y2?z2?1

高等数学

六、选择题（共 10 小题，）

1、

2、

3、设OM是从O（0，0）到M（1，1）的直线段，则与曲线积分I x2 y2

OM

e

ds不

相等的积分是

(A)

1

x

e

2dx (B)

1

y

0e

22dy

(C)

2

erdr

(D)

1

r0

e2dr

答（ ） 4、L为从A（0，0）到B（4，3）的直径，则 L

(x y)ds

（A） 4

0(x 3

4

x)dx （B）

4

30

(x

4x) 916

dx （C）

3

(

4

3

y y)dy

（D）

3

(

493y y) 16

dy

答：（ ）

5、C为y x2上从点（0，0）到（1，1）的一段弧。则I

L

yds ______________。（A）

1

0 4x2dx （B）

1

y ydy （C）

1

x 4x2dx

（D）

1

1

y

y

dy

答：（ ）

6、

7、设L为下半圆周 . 将曲线积分 化为定积分的正确结果是

8、设L是圆周 x2+y2=a2 (a>0)负向一周，则曲线积分

答 ( )

2xdx ydy

9、设L是 |y|=1－x2表示的围线的正向，则 22L2x y

(A) 0. (C) 2 . (B) 2π. (D) 4ln2.

答 ( )

10、若是某二元函数的全微分，则a,

补充内容 一．二重积分

定义：设D为xy平面上的有界闭区域，f(x,y)为定义在D上的函数。用任意的曲线把D分成n个小区域?1,?2,??n. 以??i表示小区域的面积，这些小区域构成D的一个分割T, 以di表示小区域?i的直径，称T?maxdi为分割T的细度。在每个?i上任取一点

1?i?nn(?i,?i)，作和式?f(?i,?i)??i，称它为函数f(x,y)在D上属于分割T的一个积分和。

i?1如果

n lim?f?(i?,i?)?i

T?0i?1存在，则称f(x,y)在D上可积，此极限值就称为f(x,y)在D上的积分，记为

??Df(x,y)d?，即

n

??Df(x,y)?d?T?0li?mi?1f?i(?i?,?)i。

定理：有界闭区域上的连续函数必可积。

性质：1. 若f(x,y)在区域D上可积，k为常数，则kf(x,y)在D上也可积，且

??Dkf(x,yd)??k??fx(y,d?)

D 2. 若f(x,y),g(x,y)在D上都可积，则f(x,y)?g(x,y)在D上也可积，且

??[fD(x,y

第十一章 曲线积分与曲面积分试题

一．填空题（规范分值3分）

11.1.1.2 设在xoy平面内有一分布着质量的曲线L，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧对x轴的转动惯量Ix=。?y2?(x,y)ds

L11.1.2.2 设在xoy平面内有一分布着质量的曲线L，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧的质心坐标x=；y=。

x?(x,y)dsy?(x,y)ds??yx=；= ??(x,y)ds??(x,y)dsLLLL11.1.3.1在力F?F(x,y,z)的作用下，物体沿曲线L运动。用曲线积分表示力对物体所做的功W?。?F(x,y,z)?dr

L?x?x(t)11.1.4.2 有向曲线L的方程为???t??，其中函数x(t),y(t)在??,??上一阶导数连

y?y(t)?续，且?x?(t)?2??y?(t)?2?0，又P(x,y),Q(x,y)在曲线L上连续，则有：

?P(x,y)dx?Q(x,y)dy???P(x,y)cos??Q(x,y)cos??ds，

LL那么cos?=；cos?=。

cos?=

x?(t)?x?(t)???y?(t)?22cos?=

y?(t)?x?(

第十一章 曲线积分与曲面积分试题

一．填空题（规范分值3分）

11.1.1.2 设在xoy平面内有一分布着质量的曲线L，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧对x轴的转动惯量Ix=。?y2?(x,y)ds

L11.1.2.2 设在xoy平面内有一分布着质量的曲线L，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧的质心坐标x=；y=。

x?(x,y)dsy?(x,y)ds??yx=；= ??(x,y)ds??(x,y)dsLLLL11.1.3.1在力F?F(x,y,z)的作用下，物体沿曲线L运动。用曲线积分表示力对物体所做的功W?。?F(x,y,z)?dr

L?x?x(t)11.1.4.2 有向曲线L的方程为???t??，其中函数x(t),y(t)在??,??上一阶导数连

y?y(t)?续，且?x?(t)?2??y?(t)?2?0，又P(x,y),Q(x,y)在曲线L上连续，则有：

?P(x,y)dx?Q(x,y)dy???P(x,y)cos??Q(x,y)cos??ds，

LL那么cos?=；cos?=。

cos?=

x?(t)?x?(t)???y?(t)?22cos?=

y?(t)?x?(