复变函数的图形可以在三维空间中画出来

三维空间的最接近点对问题

刘志辉

（中国民航大学 天津 300300）

摘要：最接近点对问题的求解就是在点集空间中求解最接近的一对点的距离。本文利用分治策略并结合预排序和分层映射技术把一维、二维情况下的最接近点对问题推广至三维，使问题在O(n?logn)时间内得以解决，相对时间复杂度为

O(n2)的普通方法而言，效率得到很大的提高。 关键词：最接近点对；鸽舍原理；分层映射；

在文献[1]中，对一维和二维情况下的最接近点问题的求解进行了详细描述，于是引起了人们对三维情况下的最接近点对问题的关注。文献[2]中，提出了一种对三维最接近点对问题的求解方法：先对三维空间的点集进行两次预排序，利用与二维情况下相类似的合并算法，在O(n?logn)时间内求出最接近的点对。但是其合并过程所采用的算法不明确，令人质疑。本文只需对空间点集进行一次预排序，然后在合并过程中采用分层映射技术使其在O(n)的时间内完成合并，从而整个算法的时间复杂度为O(n?logn)，并且算法思路清晰。可以证明在渐近意义下，此算法已是最优算法。

一、一维和二维情况下的最接近点对问题

把一维情况下点集S中的n个点退化为x轴上的n个实数x1,x2,...,xn。于是最接近点对即为这n个实数中

第四篇 计算机仿真

第二十一章 计算机仿真在复变函数中的应用

基于MATLAB语言的广泛应用，我们介绍的计算机仿真方法主要立足于对MATLAB 语言的仿真介绍，而其它的数学工具软件（MATHEMATIC,MATHCAD,MAPLE）的仿真方法是类似的．

本章将重点介绍使用MATLAB进行复数、复变函数的各类基本运算以及定理的验证；并介绍仿真计算留数、积分的方法；以及复变函数中Taylor级数展开，Laplace 变换和Fourier变换．

21.1 复数运算和复变函数的图形

21.1.1 复数的基本运算 1复数的生成

复数可由语句z=a+b*i 生成，也可简写成z=a+bi；另一种生成复数的语句是z=r*exp(i*theta)，其中theta是复数辐角的弧度值， r 是复数的模． 2复矩阵的生成

创建复矩阵有两种方法． (1)一般方法

例 21.1.1创建复矩阵的一般方法． 【解】仿真程序为

A=[3+5*I -2+3i i 5-i 9*exp(i*6) 23*exp(33i)]

%运行后答案为A =3.0000+5.0000i -2.0000+3.0000i 0+1.0000i 5

第四篇 计算机仿真

第二十一章 计算机仿真在复变函数中的应用

基于MATLAB语言的广泛应用，我们介绍的计算机仿真方法主要立足于对MATLAB 语言的仿真介绍，而其它的数学工具软件（MATHEMATIC,MATHCAD,MAPLE）的仿真方法是类似的．

本章将重点介绍使用MATLAB进行复数、复变函数的各类基本运算以及定理的验证；并介绍仿真计算留数、积分的方法；以及复变函数中Taylor级数展开，Laplace 变换和Fourier变换．

21.1 复数运算和复变函数的图形

21.1.1 复数的基本运算 1复数的生成

复数可由语句z=a+b*i 生成，也可简写成z=a+bi；另一种生成复数的语句是z=r*exp(i*theta)，其中theta是复数辐角的弧度值， r 是复数的模． 2复矩阵的生成

创建复矩阵有两种方法． (1)一般方法

例 21.1.1创建复矩阵的一般方法． 【解】仿真程序为

A=[3+5*I -2+3i i 5-i 9*exp(i*6) 23*exp(33i)]

%运行后答案为A =3.0000+5.0000i -2.0000+3.0000i 0+1.0000i 5

六维空间考试答案

1.资源帖子可以包含多少个种子？

有且仅有一个可以不在主楼

可以有两个以上必须在主楼

可以有两个以上可以不在主楼

有且仅有一个必须在主楼

2.发帖被审核，哪种行为是违规的？

PM相关版面的版主，请其注意后台审核

去水区发帖抱怨帖子审核速度太慢

喝杯茶慢慢等，版主也有不在的时候

3.下面哪个资源贴可以在六维发布？

涉及色情的电影贴

在高清版块发布的非高清资源帖

资源内容不违规，六维目前没有的资源

某些有争议的政治敏感性帖子

4.本站推荐用什么客户端下载上传？

迅雷

FlashGet

μtorrent

比特精灵

5.下列哪种投诉建议的途径是不合理的？

点帖子下的“报告”链接

PM 相关版主，说明情况

相关版面置顶帖有投诉专用帖

水区发帖大发牢骚

在投诉区发帖，条例清楚且附上相关链接或者截图

6.下列哪个说法不符合漫版版规之规定？

新番更新必须添加TAG，其他情形推荐添加

发布个人珍藏的精美动漫壁纸，选择“漫画画集”分类

同一主题帖两人之间版聊超过5次（10帖）即会被版主处罚发布漫画要求至少附图一张

7.为什么有的人无法进入高清区？

六维空间考试答案

高清区的门槛是1000积分，该会员积分不足1000

哇哦，系统BUG了吧

浏览器出了故障了吧，改天再来

8.根据其他资源区版规，下列哪种帖不会成为不规

复变函数习题集

第三章 复变函数的积分

一、 判断题

（1） 微积分中的求导公式、洛必达法则、中值定理等均可推广到复变函数。（ ） （2） 在整个复平面上有界的解析函数必为常数。（ ） （3） 积分

z?a?r?1dz的值与半径r(r?0)的大小无关。（ ） z?a（4） 若在区域D内有f?(z)?g(z)，则在D内g?(z)存在且解析。（ ）

（5） 若f(z)在0?z?1内解析，且沿任何圆周c:z?r(0?r?1)的积分等于零，则

f(z)在z?0处解析。（ ）

（6） 设v1,v2在区域D内均为u的共轭调和函数，则必有v1?v2。（ ） （7） 解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。（ ） （8） 以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。（ ） 二、选择题：

1．设C为从原点沿0至1?2i的有向线段，则Rezdz?( )

C?（A）

1111?i （B）??i （C）?i （D）??i

22222．设C为不经过点0,1与?i的正向简单闭曲线，则

?C1dz为( )

z(z?1)2(z?i)（A）

?i?i （B）? （C）0 （D

复变函数习题集

第三章 复变函数的积分

一、 判断题

（1） 微积分中的求导公式、洛必达法则、中值定理等均可推广到复变函数。（ ） （2） 在整个复平面上有界的解析函数必为常数。（ ） （3） 积分

z?a?r?1dz的值与半径r(r?0)的大小无关。（ ） z?a（4） 若在区域D内有f?(z)?g(z)，则在D内g?(z)存在且解析。（ ）

（5） 若f(z)在0?z?1内解析，且沿任何圆周c:z?r(0?r?1)的积分等于零，则

f(z)在z?0处解析。（ ）

（6） 设v1,v2在区域D内均为u的共轭调和函数，则必有v1?v2。（ ） （7） 解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。（ ） （8） 以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。（ ） 二、选择题：

1．设C为从原点沿0至1?2i的有向线段，则Rezdz?( )

C?（A）

1111?i （B）??i （C）?i （D）??i

22222．设C为不经过点0,1与?i的正向简单闭曲线，则

?C1dz为( )

z(z?1)2(z?i)（A）

?i?i （B）? （C）0 （D

第一章 复数与复变函数

一、复数几种表示 （1）代数表示 z?x?yi

（2）几何表示：用复平面上点表示

（复数z、点z、向量z视为同一概念） （3）三角式：z?r(cos??isin?) （4）指数式 ： z?rei? 辐角Argz?argz?2k? |z|?x2?y2

y?arctan,x?0,?x?y?arctan??,x?0,y?0x argz?? ?y?arctan??,x?0,y?0x???/2,x?0,y?0???/2,x?0,y?0?z?zz?z,y? x? 22i二、乘幂与方根

（1）乘幂： z?rei?，zn?rnein? （2）方根： nz?n|z|e

第二章 解析函数

一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数 求导法则与一元实变函数类似

函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域内处处可导

2k??argzin,k?0,1,2,?n?1

注：（1）点解析?点可导， 点可导推不出点解析 （2）区域内解析与可导等价

二、定理1 w?f(z)?u?iv在z0可导?u,v在z0可微，满足C-R方程

定理2 w?f(z)?u

复变函数作业 班级 姓名 学号

第一次作业（第一章习题） 1．设z?1?3i2，求|z|及Arg z. 2．设z1?i1?,z?i，试用指数形式表 z1 z2及z122?3z.

2

3．解二项方程 z4?a4?0(a?0).

4．证明|z21?z2|?|z21?z2|?2(|z21|?|z2|2)，并说明其几何意义。

1

复变函数作业 班级 姓名 学号

9．试证：复平面上的三点a?bi,0,1共直线。

?a?bi

?xy14．命函数f(z)???x2?y2,若 z?0,试证：??0,若 z=0.

15．试证：函数f(z)?z在z平面上处处连续。

f(z)在原点不连续。2

复变函数作业 班级 姓名 学号

第二次作业（第二章习题）

2．洛必达(L’Hospital)法则 若f(z)及g(z)在点z0解析，且

f(z0)?g(z0)?0,g'(z0)?0.

则（试证） limf(z)f'(z0)z?zg(z)?g

国家高技术研究发展计划(863计划)地球观测与导航技术领域

“地理空间的三维建模和分析软件及其应用示范”

重点项目申请指南

一、指南说明

国家863计划地球观测与导航技术领域重点项目“地理空间的三维建模和分析软件及其应用示范”针对三维空间建模与分析应用的重大需求，突破三维空间实体的高效建模、一体化数据管理、高性能空间分析和可视化等关键技术，研发具有自主知识产权的高性能、高可用性的三维空间信息可视化分析组件，集成开发自主产权的三维GIS软件平台，并结合典型城市进行系统集成、综合测试与应用示范，占领新一代地理信息系统技术的战略制高点，实现我国三维地理信息系统技术的创新和跨越式发展。

为公正、公平、公开地选择项目牵头单位，充分发挥相关企业、科研院所及高等院校的优势，集成全国三维空间建模分析与应用技术的优势力量开展本项目的工作，特此发布本重点项目申请指南。

二、指南内容 1．项目名称

地理空间的三维建模和分析软件及其应用示范 2．项目总体目标

1

设计可扩展的真三维GIS软件体系结构，研究地上与地下目标统一的三维空间数据模型与数据结构；研究高效的三维空间索引、海量数据并行存储管理、高可用性的人机协同交互等关键技术；研发多源数据建模、模型转换与模

复变函数作业 班级 姓名 学号

第一次作业（第一章习题） 1．设z?1?3i2，求|z|及Arg z. 2．设z1?i1?,z?i，试用指数形式表 z1 z2及z122?3z.

2

3．解二项方程 z4?a4?0(a?0).

4．证明|z21?z2|?|z21?z2|?2(|z21|?|z2|2)，并说明其几何意义。

1

复变函数作业 班级 姓名 学号

9．试证：复平面上的三点a?bi,0,1共直线。

?a?bi

?xy14．命函数f(z)???x2?y2,若 z?0,试证：??0,若 z=0.

15．试证：函数f(z)?z在z平面上处处连续。

f(z)在原点不连续。2

复变函数作业 班级 姓名 学号

第二次作业（第二章习题）

2．洛必达(L’Hospital)法则 若f(z)及g(z)在点z0解析，且

f(z0)?g(z0)?0,g'(z0)?0.

则（试证） limf(z)f'(z0)z?zg(z)?g