矩阵秩的性质大全及证明

关于矩阵秩的证明

-----09数应 鄢丽萍

中文摘要

在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。

所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。

关键词：初等变换 向量组的秩 极大线性无关组

约定用E表示单位向量，AT表示矩阵A的转置，r(A)表示矩阵A的秩。在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质： （1） r(A)=r(AT); （2）

?r(A) k?0r(kA)=?

0 k?0?

（3） 设A,B分别为n×m与m×s矩阵，则 r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s} (4) (5) (6)

矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。

r(A)=n,当且仅当A≠0

?r??A O??A C????=r(A

矩阵的秩的可加性性质分析

2 1年第5 00期

金色年华

数学教

矩阵的秩的可加性性质分析陈宇

(商丘医学高等专科学校临床医学系，河南商丘 4 60 ) 7 10

【 -c摘￣]章给出了矩阵的秩具有可加性的一个充分条件， s获得了矩阵论中的若干定理与命题的简单证法，而刻画了一类矩阵的进秩特征。

【关键词】矩阵的秩；幂等阵；对合阵

矩阵的秩是线性代数中一个基本而深刻的概念，是矩阵最重

要的数字特征之一。它最早是由Sl sr 16年引进的”。随 y et于 81 v e后，y etr Foe i s SI s与 rbnn建立了矩阵秩的一些重要的不等式， v e u并且用矩阵秩的某些特征来刻画一些重要矩阵，如幂等矩阵、对合矩阵等。为叙述方便，我们以命题的形式表示如下。 命题 1 sl s r y et不等式 ) A、都是 I c v e (设 B 1阶矩阵，则rA ) (+rB) ( B≥rA) (一n

对(:行等换： (一]:A鳓 D:j初变 ):一 -J+ 进一 (。 B即 rA≥rA) rB)。 ( B) (+ (一n

命题 2 n阶矩阵是 A幂等阵 ( A) 即A=的充要条件为 rA) (+r(—=n E A)。

证明 () 1必要性由 A= A可得 A-

２０１１年５月湖北成人教育学院学报Ｍａｙ，２０１１第１７卷第３期ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕＢｅｉＡｄｕｌｔＥｄｕｃａｔｉｏｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅＶ０１．１７ＮＯ．３矩阵的秩例题教学浅析陈洪１，陶燕芳２（１．华中农业大学理学院，湖北武汉，４３００７０；２．长江职业学院公共课部，湖北武汉，４３００７４）［摘要】本文从矩阵的秩的定义和定理出发，对三个矩阵的秩的典型例题进行分析讲解。加深学生对抽象概念的理解和掌握。［关键词】矩阵的秩；不等式；教学方法［中图分类号］０１５１．２１［文献标识码］Ａ［文章编号］１６７３－－３８７８（２０１１）０３—０１２２—＿０１矩阵的秩是线性代数的重要内容，它不仅是矩阵的一分析：引导学生注意最关键的条件ＡＢ＝０。这是一个个本质属性，而且在解线性方程组、判断向量组的线性相矩阵方程，如何将其与矩阵的秩联系起来是解题的关键。关性、求矩阵的特征值等方面有广泛的应用。因此，涉及由于矩阵方程可以通过分块的方法最终转为线性方程组。到此知识点的题目类型较多，且多需要综合运用各种知故通过线性方程组解的讨论将有助于找到条件与结论的识。由于教学中此内容课时较紧，学生往往在解抽象矩阵联系。基本思路如下：ＡＢ＝ＤｊＡ（ｂ１，ｂ：，…，ｂ，）＝ＤｊＡ６１

LUOYANG NORMAL UNIVERSITY

2012届 本科毕业论文

正定矩阵的性质及推广

院（系）名称 专 业 名 称 学学指

导

教生

姓

名 号 师

数学科学学院 数学与应用数学

李俊霞 080414076 黄盛 讲师 2012.5

完 成 时 间

洛阳师范学院本科毕业论文

正定矩阵的性质及推广

李俊霞

数学科学学院 数学与应用数学专业 学号： 080414076

指导教师：黄盛

摘要：正定矩阵是一类比较重要且应用广泛的矩阵，作为一种特殊的矩阵，当然有许多与其它矩阵不同的性质，本文首先给出了正定矩阵的若干性质. 其次，给出了正定矩阵在证明不等式、求函数的极值、多项式因式分解等方面的具体应用. 最后对正定矩阵作了进一步的推广，得到了广义正定矩阵的一些性质，并给出了相应的证明.

关键词：正定矩阵；广义正定矩阵；正对角矩阵；实对称矩阵

1 关于正定矩阵的定义

本科阶段学习的正定矩阵局限于实对称矩阵，它的常规定义为

定义1?1? n阶实对称矩阵A称为正定的，如果对?0?X??x1,x2, ... ,xn??Rn?1 ,都

T有XTAX?0.这种正定矩阵的全体记作PS.

1970年，C.R.Johnson首先提出了较广义的正

JIU JIANG UNIVERSITY

毕 业 论 文 （设 计）

题 目幂等矩阵的性质及应用 英文题目Properties and Application

of Idempotent Matrix

院 系 理学院 专 业 数学与应用数学 姓 名 邱望华 年 级 A0411 指导教师 王侃民

二零零八年 五月

摘 要

幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。

[关键词] 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合

I

Abstract

The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well

幂零矩阵性质及应用

数本041 严益水 学号：410401109

摘要：

幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。它具有一些很好的性质。本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。

关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数 一、 预备知识

（下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、 《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社）

（一） 一些概念

1、令A为n阶方阵，若存在正整数k，使Ak?0，A称为幂零矩阵。 2、若A为幂零矩阵，满足Ak?0的最小正整数称为A的幂零指数。

?a11?a1n??a11?an1?????3、设A??????，称A???????为A

幂零矩阵性质及应用

数本041 严益水 学号：410401109

摘要：

幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。它具有一些很好的性质。本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。

关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数 一、 预备知识

（下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、 《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社）

（一） 一些概念

1、令A为n阶方阵，若存在正整数k，使Ak?0，A称为幂零矩阵。 2、若A为幂零矩阵，满足Ak?0的最小正整数称为A的幂零指数。

?a11?a1n??a11?an1?????3、设A??????，称A???????为A

第1篇：正定矩阵的几种经典证明方法

科技论坛　正定矩阵的几种经典证明方法　封京梅　（陕西广播电视大学，陕西西安７１０１１９）　摘要：矩阵是数学中一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而正定　矩阵因其特有的性质及广泛的应用领域使得很多学者对其进行了大量的研究，本文主要利用特征值，单位矩阵，上三角矩阵，可逆矩阵等　知识给出正定矩阵的几种证明方法和一些性质，希望能起到推广正定矩阵应用的作用。　关键词：正定矩阵；可逆矩阵；特征值；主子式　零，由归纳法的假设可知Ａ。是正定矩阵，换句话说存在可逆的ｎ一１　引言　ｑ　ｑ　矩阵的思想很早就已经有了，至少可以追溯到汉代中国学者在　级矩阵Ｇ使Ｇ　ＡＧ＝　（Ｅ　是ｎ一１级单位矩阵），　解线性方程组时的应用上。而经过近几年的发展，矩阵论已经是代　数学中的一个重要分支了，而正定矩阵因其特有的性质及应用也受　到了人们的广泛关注．但是正定矩阵的证明方法一直成为我们应用　正定矩阵的瓶颈，为此我们将给出几种经典的证明方法及重要性　质．首先，对以下名词加以说明：　①正定矩阵：实数域Ｒ上二次型刷＝ｘ＇Ａｘ，若对任意　一　，恐，‘‘　）　∈　，Ｘｏ；０均有价。Ｊ＞０，则称ｇｘ）为正定

正交矩阵与酉矩阵的性质和应用

0 前 言.......................................................................................................................... 1 1 欧式空间和正交矩阵................................................................................................ 2

1.1 欧式空间.......................................................................................................... 2 1.2 正交矩阵的定义和性质.................................................................................. 2

1.2.1 正交矩阵的定义和判定....................................

第2.6节 矩阵的秩一.矩阵秩的概念二.矩阵秩的求法 三.矩阵秩的不等式 四.小结 思考题

一、矩阵秩的概念任何矩阵 Am n , 总可经过有限次初等行 变换 把它变为行阶梯形，行阶 梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的 .矩阵的秩

定义1 在 m n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列(k m , k n),位于这些行列交叉 处的个 k 元素, 不改2

变它们在 A 中所处的位置次序而得 的k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式.

k k m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cm Cn 个.

定义 2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子 式 D,且所有 r 1 阶子式(如果存在的话 )全等 于 0,那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 r ( A) .并规定零矩阵的秩 等于零 . m n 矩阵 A 的秩 r ( A) 是 A 中不等于零的子式的最高阶数 .

对于 AT, 显有 r ( AT ) r ( A).

例1

1 2 3 求矩阵 A 2 3 5 的秩. 4 7 1

解

1 2 在 A 中， 0. 2 3

又 A的 3 阶