矩阵的秩的定义通俗

２０１１年５月湖北成人教育学院学报Ｍａｙ，２０１１第１７卷第３期ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕＢｅｉＡｄｕｌｔＥｄｕｃａｔｉｏｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅＶ０１．１７ＮＯ．３矩阵的秩例题教学浅析陈洪１，陶燕芳２（１．华中农业大学理学院，湖北武汉，４３００７０；２．长江职业学院公共课部，湖北武汉，４３００７４）［摘要】本文从矩阵的秩的定义和定理出发，对三个矩阵的秩的典型例题进行分析讲解。加深学生对抽象概念的理解和掌握。［关键词】矩阵的秩；不等式；教学方法［中图分类号］０１５１．２１［文献标识码］Ａ［文章编号］１６７３－－３８７８（２０１１）０３—０１２２—＿０１矩阵的秩是线性代数的重要内容，它不仅是矩阵的一分析：引导学生注意最关键的条件ＡＢ＝０。这是一个个本质属性，而且在解线性方程组、判断向量组的线性相矩阵方程，如何将其与矩阵的秩联系起来是解题的关键。关性、求矩阵的特征值等方面有广泛的应用。因此，涉及由于矩阵方程可以通过分块的方法最终转为线性方程组。到此知识点的题目类型较多，且多需要综合运用各种知故通过线性方程组解的讨论将有助于找到条件与结论的识。由于教学中此内容课时较紧，学生往往在解抽象矩阵联系。基本思路如下：ＡＢ＝ＤｊＡ（ｂ１，ｂ：，…，ｂ，）＝ＤｊＡ６１

矩阵的秩的可加性性质分析

2 1年第5 00期

金色年华

数学教

矩阵的秩的可加性性质分析陈宇

(商丘医学高等专科学校临床医学系，河南商丘 4 60 ) 7 10

【 -c摘￣]章给出了矩阵的秩具有可加性的一个充分条件， s获得了矩阵论中的若干定理与命题的简单证法，而刻画了一类矩阵的进秩特征。

【关键词】矩阵的秩；幂等阵；对合阵

矩阵的秩是线性代数中一个基本而深刻的概念，是矩阵最重

要的数字特征之一。它最早是由Sl sr 16年引进的”。随 y et于 81 v e后，y etr Foe i s SI s与 rbnn建立了矩阵秩的一些重要的不等式， v e u并且用矩阵秩的某些特征来刻画一些重要矩阵，如幂等矩阵、对合矩阵等。为叙述方便，我们以命题的形式表示如下。 命题 1 sl s r y et不等式 ) A、都是 I c v e (设 B 1阶矩阵，则rA ) (+rB) ( B≥rA) (一n

对(:行等换： (一]:A鳓 D:j初变 ):一 -J+ 进一 (。 B即 rA≥rA) rB)。 ( B) (+ (一n

命题 2 n阶矩阵是 A幂等阵 ( A) 即A=的充要条件为 rA) (+r(—=n E A)。

证明 () 1必要性由 A= A可得 A-

第2.6节 矩阵的秩一.矩阵秩的概念二.矩阵秩的求法 三.矩阵秩的不等式 四.小结 思考题

一、矩阵秩的概念任何矩阵 Am n , 总可经过有限次初等行 变换 把它变为行阶梯形，行阶 梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的 .矩阵的秩

定义1 在 m n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列(k m , k n),位于这些行列交叉 处的个 k 元素, 不改2

变它们在 A 中所处的位置次序而得 的k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式.

k k m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cm Cn 个.

定义 2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子 式 D,且所有 r 1 阶子式(如果存在的话 )全等 于 0,那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 r ( A) .并规定零矩阵的秩 等于零 . m n 矩阵 A 的秩 r ( A) 是 A 中不等于零的子式的最高阶数 .

对于 AT, 显有 r ( AT ) r ( A).

例1

1 2 3 求矩阵 A 2 3 5 的秩. 4 7 1

解

1 2 在 A 中， 0. 2 3

又 A的 3 阶

第2.6节 矩阵的秩一.矩阵秩的概念二.矩阵秩的求法 三.矩阵秩的不等式 四.小结 思考题

一、矩阵秩的概念任何矩阵 Am n , 总可经过有限次初等行 变换 把它变为行阶梯形，行阶 梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的 .矩阵的秩

定义1 在 m n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列(k m , k n),位于这些行列交叉 处的个 k 元素, 不改2

变它们在 A 中所处的位置次序而得 的k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式.

k k m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cm Cn 个.

定义 2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子 式 D,且所有 r 1 阶子式(如果存在的话 )全等 于 0,那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 r ( A) .并规定零矩阵的秩 等于零 . m n 矩阵 A 的秩 r ( A) 是 A 中不等于零的子式的最高阶数 .

对于 AT, 显有 r ( AT ) r ( A).

例1

1 2 3 求矩阵 A 2 3 5 的秩. 4 7 1

解

1 2 在 A 中， 0. 2 3

又 A的 3 阶

第4章矩阵的秩与n维向量空间

本章主要内容：n维向量的概念与线性运算向量组的线性相关线性无关的概念及其有关的重要理论向量组的最大无关组向量组的

秩矩阵的秩与向量组的秩之间的关系向量空间与子空间

基底与维数向量的坐标与坐标变换公式向量的内积正交

矩阵

教学目的及要求：理解n维向量的概念，掌握向量的线性运算．理解向量组

的线性相关，线性无关的定义及有关的重要结论．理解向

量组的最大无关组与向量组的秩，理解矩阵的秩与向量组

的秩之间的关系，并掌握用初等变换求向量组的秩．理解

基础解系的概念，了解n维向量空间及子空间，基底，维

数，坐标等概念．掌握向量的内积及其性质、向量的长度

及其性质、正交向量、正交向量组及其性质、正交规范化

方法以及正交矩阵及其性质．

教学重点：向量组的线性相关、线性无关的概念及其有关的重要理论；向量组的正交规范化的方法；正交矩阵的概念及其性质．

教学难点：向量组的线性相关、线性无关的概念及其有关的重要理论；施密特正交化方法及应用

教学方法：启发式

教学手段：讲解法

教学时间：8学时

教学过程：

1 4．1 矩阵的秩

矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征，是矩阵在初等变换下的一个不变量，它能表述线性代数变换的本质特性，矩阵的秩在研究n 维向量空间的空间结构及向量之间的相

关于矩阵秩的证明

-----09数应 鄢丽萍

中文摘要

在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。

所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。

关键词：初等变换 向量组的秩 极大线性无关组

约定用E表示单位向量，AT表示矩阵A的转置，r(A)表示矩阵A的秩。在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质： （1） r(A)=r(AT); （2）

?r(A) k?0r(kA)=?

0 k?0?

（3） 设A,B分别为n×m与m×s矩阵，则 r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s} (4) (5) (6)

矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。

r(A)=n,当且仅当A≠0

?r??A O??A C????=r(A

线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就

矩阵的Jordan标准形有两个局限，其一、是只有方阵才能求其Jordan标准形；其二、Jordan标准形毕竟不如对角矩阵来得方便。本节讨论的矩阵奇异值分解，将克服这些局限性。 定理1如果A为n阶复矩阵，则有：

1）矩阵AA，AA的特征值都是非负实数； 2）矩阵AA与AA的非零特征值都相同。

n证：1）设??C为AA的特征值?所对应的特征向量，则AA是Hermite矩阵，所以?HHHHHH是实数；并且0??A?,A???因为??0，所以??0。

??,AHA????,???????,??，

?同理可证，AA的特征值也是非负实数。

3）将AA的特征值按顺序记为：?1??2????r??r?1??r?2????n?0， 设?i?CHHHn?i?1,2,?,r?为AHA的非零特征值?i?i?1,2,?,r?所对应的特征向量，

?i?i?1,2,?,r?，有(AAH)A?i=?iA?i?i?1,2,?,r?，

则由AA?i=?i因为A?i是非零向量，所以?i也是AAH的非零特征值；

HH同理可证，AA的非零特征值也是AA的非零特征值。

以下证明AA与AA的非零特征值完全相同，这只要证明AA与AA的非零特征值的代数重数相同即可。

设y1,y2,?,yp为

理解矩阵（一） 收藏

前不久chensh出于不可告人的目的，要充当老师，教别人线性代数。于是我被揪住就线性代数中一些务虚性的问题与他讨论了几次。很明显，chensh觉得，要让自己在讲线性代数的时候不被那位强势的学生认为是神经病，还是比较难的事情。

可怜的chensh，谁让你趟这个地雷阵？！色令智昏啊！

线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧

理解矩阵（一） 收藏

前不久chensh出于不可告人的目的，要充当老师，教别人线性代数。于是我被揪住就线性代数中一些务虚性的问题与他讨论了几次。很明显，chensh觉得，要让自己在讲线性代数的时候不被那位强势的学生认为是神经病，还是比较难的事情。

可怜的chensh，谁让你趟这个地雷阵？！色令智昏啊！

线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧