数列求通项的方法

数列求通项

【教学目标】

一、知识目标

1、解决形如Sn?f(n)、 Sn?f(an)、 Sn?1?Sn.f( n、) Sn?1?Sn?f(n)、通项公式的确定。 an+1?pan?f(n)(其中p是常数） 2、通过学习让学生掌握和理解几种类型的通项公式的求法。 二、能力目标

在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导入数列通项公式，培养学生类比思维能力。通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。通过归纳总结，促进学生自主学习和归纳的能力。 三、情感目标

通过公式的推导使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法。 【教学重点】

通过学习让学生能够熟练准确的掌握通项公式的求法，并能解决实际问题。 【教学难点】

1、 如何将an+1?pan?f(n)转化为我们熟悉的等差和等比数列。

2、 理解和掌握an+1?pan?f(n)此类型的数列通项公式确定的数学思想方法。 【考点分析】

高考对数列的考察重点是等差、等比数列的定义，通项公式，以及前n项和的灵活运用。解答题中，大部分的数列题目都会要求先求出通项公式，因此掌握数列通项公式的求法是解决数列

高三复习课《数列求通项公式的基本方法与技巧》说课稿

邵东三中 王芙蓉

各位老师，大家好！我是来自邵东三中的一名数学教师，我本节课说课的内容是高三复习课《数列求通项公式的基本方法与技巧》，所用的教材是普通高中课程标准人教A版。

高三第一阶段复习，也称“知识篇”。在这一阶段，学生重温高一、高二所学课程，全面复习巩固各个知识点，熟练掌握基本方法和技能；然后站在全局的高度，对学过的知识产生全新认识。在高一、高二时，是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，学的知识往往是零碎和散乱，而在第一轮复习时，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，把各个知识点融会贯通。对于高中的学生，第一轮复习更为重要，我们希望能做高考试题中一些基础题目，必须侧重基础，加强复习的针对性，讲求实效。 一、 教材与学情分析

（一）教材的地位和作用

1、数列是高中数学的重要内容之一，也是与大学数学相衔接的内容，在测试学生逻辑推理能力和理性思维水平，以及考查学生创新意识和创新能力等方面有不可替代的作用。数列是反映自然规律的基本数学模

针对常见递推数列通向公式求法进行了详细介绍(附方法和例题)

递推数列求通项公式的常见类型及方法

递推数列求通项即依据给出数列中相邻两项或几项的关系式，an与Sn的关系式等，求出通项公式，是数列中的重要内容，是高考中常见的题目．本文给出常见的类型和方法．

1. an 1 an f(n).

1,2, n 1，得

a2 a1 f(1)方法：叠加法. 令n

a3 a2 f(2)

an an 1 f(n 1)

以上n 1个式子相加，得an

例１．数列

解: 令n a1 f(i). i 1n 1 an 中，a1 1,an an 1 1(n 2)，求数列 an 的通项. 2n n 2,3, ,n,得

1a2 a1 22 2

1a3 a2 23 3

2. 1n2 n111 an a1 2 2 2 2 23 3n n111 a1 1 22 3(n 1)n11111 1 (1 ) ( ) ( ) 223n 1n1 2 .nan 1 anf(n). an an 1

1,2, n 1,得

a2 a1f(1)方法:累积法. 令n

a3 a2f(2)

an an 1f(n 1).

以上n 1个式子求积，得an

例2. 数列 a1 f(i). i 1n 1 an 中，a1 2,an

针对常见递推数列通向公式求法进行了详细介绍(附方法和例题)

递推数列求通项公式的常见类型及方法

递推数列求通项即依据给出数列中相邻两项或几项的关系式，an与Sn的关系式等，求出通项公式，是数列中的重要内容，是高考中常见的题目．本文给出常见的类型和方法．

1. an 1 an f(n).

1,2, n 1，得

a2 a1 f(1)方法：叠加法. 令n

a3 a2 f(2)

an an 1 f(n 1)

以上n 1个式子相加，得an

例１．数列

解: 令n a1 f(i). i 1n 1 an 中，a1 1,an an 1 1(n 2)，求数列 an 的通项. 2n n 2,3, ,n,得

1a2 a1 22 2

1a3 a2 23 3

2. 1n2 n111 an a1 2 2 2 2 23 3n n111 a1 1 22 3(n 1)n11111 1 (1 ) ( ) ( ) 223n 1n1 2 .nan 1 anf(n). an an 1

1,2, n 1,得

a2 a1f(1)方法:累积法. 令n

a3 a2f(2)

an an 1f(n 1).

以上n 1个式子求积，得an

例2. 数列 a1 f(i). i 1n 1 an 中，a1 2,an

求数列通项公式，关键是观察已知“递推式的形式”，进而决定选择什么方法求通项。

数列求和问题，关键是观察所求出通项公式的形式，进而决定选择什么方法求和。

几种常见的数列的通项公式的求法

【一、观察法】关键是找出各项与项数n的关系

例1．根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2）1,2,3

n

1245916

,4, （3）1,1017

2

,31,2212, （4）, ,52334

, , 45

2

n答案：（1）an 10 1 （2）an n （3）an 2; （4）an ( 1)n 1 n. ;

n 1n 1n2 1

【二、定义法】已知数列类型、或者是能判断出数列类型（此方法常考）

例2．等差数列 an 是递减数列，且a2 a3 a4=48，a2 a3 a4=12，则数列的通项公式是例3．在各项为负数的数列{an}中，已知2 an=3 an+1，且a2a5=例4．已知a1=1,且数列{1

1

an 1

2

2

82n-2.数列{an}的通项公式是 －（） 273

}是公差为2的等差数列,则{an}的通项公式为

例5．（1）数列{an}中,an+1=an+2 且an>0，a1=2，求an

递推数列通项求解方法

类型一：an?1?pan?q（p?1）

思路1（递推法）：an?pan?1?q?p(pan?2?q)?q?p??p?pan?3?q??q???q? ……?pn?1a1?q(1?p?p2?…?pn?2?q?qn?1。 )??a1??p??p?11?p??思路2（构造法）：设an?1???p?an???，即??p?1??q得??qp?1，数列

?an???是以a1??为首项、p为公比的等比数列，则an??q?n?1qan??a1?p?。 ?p?11?p???q?n?1??a1??p，即p?1?p?1?q例1 已知数列?an?满足an?2an?1?3且a1?1，求数列?an?的通项公式。 解：方法1（递推法）：

an?2an?1?3?2(2an?2?3)?3?2??2?2an?3?3??3???3?……?2n?1?3(1?2?2?…?22n?23?n?13?n?1)??1??2??2?3。 ?2?1?1?2?方法2（构造法）：设an?1???2?an???，即??3，?数列?an?3?是以a1?3?4n?1n?1n?1为首项、2为公比的等比数列，则an?3?4?2?2，即an?2?3。

1

类型二：an?1?an?思路1（递推

递推数列通项求解方法

类型一：an?1?pan?q（p?1）

思路1（递推法）：an?pan?1?q?p(pan?2?q)?q?p??p?pan?3?q??q???q? ……?pn?1a1?q(1?p?p2?…?pn?2?q?qn?1。 )??a1??p??p?11?p??思路2（构造法）：设an?1???p?an???，即??p?1??q得??qp?1，数列

?an???是以a1??为首项、p为公比的等比数列，则an??q?n?1qan??a1?p?。 ?p?11?p???q?n?1??a1??p，即p?1?p?1?q例1 已知数列?an?满足an?2an?1?3且a1?1，求数列?an?的通项公式。 解：方法1（递推法）：

an?2an?1?3?2(2an?2?3)?3?2??2?2an?3?3??3???3?……?2n?1?3(1?2?2?…?22n?23?n?13?n?1)??1??2??2?3。 ?2?1?1?2?方法2（构造法）：设an?1???2?an???，即??3，?数列?an?3?是以a1?3?4n?1n?1n?1为首项、2为公比的等比数列，则an?3?4?2?2，即an?2?3。

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类型二：an?1?an?思路1（递推

递推数列通项求解方法

类型一：an?1?pan?q（p?1）

思路1（递推法）：an?pan?1?q?p(pan?2?q)?q?p??p?pan?3?q??q???q? ……?pn?1a1?q(1?p?p2?…?pn?2?q?qn?1。 )??a1??p??p?1?1?p?思路2（构造法）：设an?1???p?an???，即??p?1??q得??qp?1，数列

?an???是以a1??为首项、p为公比的等比数列，则an??q?n?1qan??a1?p?。 ?p?11?p???q?n?1??a1??p，即p?1?p?1?q例1 已知数列?an?满足an?2an?1?3且a1?1，求数列?an?的通项公式。 解：方法1（递推法）：

an?2an?1?3?2(2an?2?3)?3?2??2?2an?3?3??3???3?……?2n?1?3(1?2?2?…?22n?23?n?13?n?1)??1??2??2?3。 ?2?1?1?2?方法2（构造法）：设an?1???2?an???，即??3，?数列?an?3?是以a1?3?4n?1n?1n?1为首项、2为公比的等比数列，则an?3?4?2?2，即an?2?3。

类型二：an?1?an?思路1（递推法）

求数列通项公式的方法

一、公式法

例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n，a1?2，求数列{an}的通项公式。

an?1an3an?1an3an????{}是，则，故数列n?1nn?1nn2222222an3a23??1?1?(n?1)以1为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，21222n231n所以数列{an}的通项公式为an?(n?)2。

22解：an?1?2an?3?2n两边除以2n?1，得

评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?2n转化为

an?1an3?n?，说明数列n?1222aan3{n}?1?(n?1)是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列nn222{an}的通项公式。

二、累加法

例2 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]???(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)???2?1]?(n?1)?1(

1、递推方法：用枚举法求初始值，建立递推关系，利用递推关系求解。

例1、将圆分成n(n?2)个扇形S1,S2,?,Sn，现用m(m?2)种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求相邻的扇形的颜色互不相同，问有多少种不同的染色方法？ 解析：利用递推关系f(m,n+1)=(m-2)f(m,n)+(m-1)f（m,n-1),结合初值f(m,1)=m,f(m,2)=m(m-1),利用特征根法，即可算出f(m,n)=(m-1)^n+(-1)^n*(m-1)

例2、用1,2,3组成n位数，如果要求没有2个1相邻，问：这样的n位数共有多少个？ an?1?2an?2an?1,a1?3,a2?8.???1?3,c1?c2?2/3,c1?c2?1.

an?1?(2/3?1)/2?(1?3)n?(1?2/3)/2?(1?3)n

2、几类常见递推问题

①多项式（或含指数式）线性一阶递推数列

基本形式：an?pan?1?f(n),(n?2,p为常数，f(n)是k次多项式或含杂指数式） 基本方法：an?g(n)?p(an?1?g(n?1))，其中：pg(n?1)?g(n)?f(n)

2a1?1,an?an?1?n2?15,(n?2),求an.解析：令gn?an