微分几何第二章总结

微分几何主要习题解答

第二章 曲面论

§1曲面的概念

1.求正螺面r={ ucosv ,u sinv, bv }的坐标曲线.

解 u-曲线为r={ucosv0 ,u sinv0,bv0 }=｛0,0，bv0｝＋u {cosv0,sinv0,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r={u0cosv,u0sinv,bv }为圆柱螺线．

２．证明双曲抛物面r＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r={ a（u+v0）, b（u-v0）,2uv0}={ av0, bv0,0}+ u{a,b,2v0}表示过点{ av0, bv0,0}以{a,b,2v0}为方向向量的直线;

v-曲线为r=｛a（u0+v）, b（u0-v）,2u0v｝=｛au0, bu0,0｝+v{a,-b,2u0}表示过点(au0, bu0,0)以{a,-b,2u0}为方向向量的直线。

3．求球面r={acos?sin?,acos?sin?,asin?}上任意点的切平面和法线方程。 解 r?={?asin?cos?,?asin?sin?,acos?} ，r?={?acos?sin?,acos?cos?,0}

?????????x?acos?

第二章 导数与微分总结

一、导数与微分概念 1．导数的定义

设函数y?f?x?在点x0的某领域内有定义，自变量x在x0处有增量?x，相应地函数增量?y?f?x0??x??f?x0?。如果极限 limf?x0??x??f?x0??y ?lim?x?0?x?x?0?x，

存在，则称此极限值为函数f?x?在x0处的导数（也称微商），记作f??x0?，或y?x?x0dydf?x?，等，并称函数y?f?x?在点x0处可导。如果上面的极限不存在，

dxx?x0dxx?x0则称函数y?f?x?在点x0处不可导。

导数定义的另一等价形式，令x?x0??x，?x?x?x0，则

f??x0??limx?x0f?x??f?x0?

x?x0f?x??f?x0?f?x0??x??f?x0??lim? ?x?0x?x0?xf?x??f?x0?f?x0??x??f?x0??lim? ?x?0x?x0?x 我们也引进单侧导数概念。 右导数：f???x0??lim?x?x0 左导数：f???x0??lim?x?x0 则有

f?x?在点x0处可导?f?x?在点x0

目 录

绪 论 ................................................................................................ 1

内容简介 ................................................................................................................................... 1

第一章 预备知识 .................................................................................. 2

引言........................................................................................................................................... 2 § 1.1 三维欧氏空间中的标架 ....................

目 录

绪 论 ................................................................................................ 1

内容简介 ................................................................................................................................... 1

第一章 预备知识 .................................................................................. 2

引言........................................................................................................................................... 2 § 1.1 三维欧氏空间中的标架 ....................

第二章 导数与微分

重点：导数与微分的概念、关系、导数的几何意义、函数的可导性与连续性之间的关系、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则、基本初等函数的导数公式。

难点：隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数、对数求导法、一阶微分形式的不变性。

第一节 导数概念

1．填空题.

2??x, x?0（1） 已知f?x???，则 f?(0)= 0 .

2???x, x?01及x2?3的两点，作过这两点的割线，则抛物（2） 在抛物线y?x2上取横坐标为x1?`线y?x2上在点 (2, 4) 处的切线平行于这条割线.

（3） 已知f'(3)?2，则limh?0f?3??f?3?h?? 1 . 2h?x2, x?1b? -1 . （4）欲使函数使f?x??? 在x?1处可导，则 a? 2 ，?ax?b, x?12．选择题. （1）设y?f(x)在x?a处可导，则

x?0 lim'f?a?x??f?a?x??（ B ）

x''A. f(a)； B. 2f(a) ； C. 0 ； D. f(2a). （2）设 f(x)为可导

第二章 电子显微分析

一、教学目的

理解掌握电子光学基础、电子与固体物质的相互作用、衬度理论等电子显微分析的基本理论，掌握透射电镜分析、扫描电镜分析、电子探针分析的应用和特点，掌握用各种衬度理论解释电子显微像，掌握电子显微分析样品的制备方法，了解透射电镜、扫描电镜、电子探针的结构。

二、重点、难点

重点：电子与物质的相互作用、衬度理论、电子探针X射线显微分析。 难点：电子与物质的相互作用、衬度理论。 三、教学手段 多媒体教学 四、学时分配 14学时

概述：

一、光学显微镜的局限性： 1.分辨能力（分辨率）：

分辨能力（分辨率、分辨本领）：

一个光学系统能分开两个物点的能力，数值上是刚能清楚地分开两个物点间的最小距离。

0.61?0.61?r?=(nm)

nsinaN.Ar —分辨率（r小，分辨能力越高） λ—照明光的波长

n—透镜所处环境介质的折射率 а—透镜孔径半角（°） nsina—数值孔径 用N.A表示 电子

以电子显微镜在高放大倍数时所能达到的分辨率比光学显微镜高得多。 二、电子显微分析：

是利用聚焦电子束与试样物质相互作用产生的各种物理信号、分析试样物质的微区形貌、晶体结构和化学组成。

透射电子显微镜（TEM）

扫描电子显

第二章 导数与微分

重点：导数与微分的概念、关系、导数的几何意义、函数的可导性与连续性之间的关系、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则、基本初等函数的导数公式。

难点：隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数、对数求导法、一阶微分形式的不变性。

第一节 导数概念

1．填空题.

2??x, x?0（1） 已知f?x???，则 f?(0)= 0 .

2???x, x?01及x2?3的两点，作过这两点的割线，则抛物（2） 在抛物线y?x2上取横坐标为x1?`线y?x2上在点 (2, 4) 处的切线平行于这条割线.

（3） 已知f'(3)?2，则limh?0f?3??f?3?h?? 1 . 2h?x2, x?1b? -1 . （4）欲使函数使f?x??? 在x?1处可导，则 a? 2 ，?ax?b, x?12．选择题. （1）设y?f(x)在x?a处可导，则

x?0 lim'f?a?x??f?a?x??（ B ）

x''A. f(a)； B. 2f(a) ； C. 0 ； D. f(2a). （2）设 f(x)为可导

第一节 导数概念

1、填空题

2

（1）f (0) （2）4x 12x 9 （3）16 （4）y 2x 1 （5）e

2、选择题

（1）C （2）B （3）D （4）D （5）B 3、a 2,b 1

4、y f (x) nxn 1，k f'(1) n，切线方程为y 1 n(x 1) 由于切线过点( n,0)，故0 1 n( n 1)，解之得 n 1

limf( n) lim(1

n

1n

，从而f( n) (1

1n

)，即

n

1n

n

) 1x1x

n

1e

1x

5、x 0，f (x) 2xsin

x 0，f (x) 2xcos

cos

2

1x (

1x

) 2xcos2

1x sin

1x

xsin

x 0，按左右导数来求

f(x) f(0)

x 0f(x) f(0)

x

xsin lim

x 0

22

1 0 1 0

f (0) lim

x 0

xxcos

f (0) lim

x 0

lim

x 0

x

11

2xsin cos,x 0 xx

x 0所以f(x) 0

11

2xcos sin,x 0

xx

6、f (0) lim

f( x) f(0)

x

1

( x)sin

lim

x 0

1

x 0

x

lim( x)

x

第一节 导数概念

1、填空题

2

（1）f (0) （2）4x 12x 9 （3）16 （4）y 2x 1 （5）e

2、选择题

（1）C （2）B （3）D （4）D （5）B 3、a 2,b 1

4、y f (x) nxn 1，k f'(1) n，切线方程为y 1 n(x 1) 由于切线过点( n,0)，故0 1 n( n 1)，解之得 n 1

limf( n) lim(1

n

1n

，从而f( n) (1

1n

)，即

n

1n

n

) 1x1x

n

1e

1x

5、x 0，f (x) 2xsin

x 0，f (x) 2xcos

cos

2

1x (

1x

) 2xcos2

1x sin

1x

xsin

x 0，按左右导数来求

f(x) f(0)

x 0f(x) f(0)

x

xsin lim

x 0

22

1 0 1 0

f (0) lim

x 0

xxcos

f (0) lim

x 0

lim

x 0

x

11

2xsin cos,x 0 xx

x 0所以f(x) 0

11

2xcos sin,x 0

xx

6、f (0) lim

f( x) f(0)

x

1

( x)sin

lim

x 0

1

x 0

x

lim( x)

x

第二章 导数与微分

内容概要 名称 主要内容 导数的定义f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0) ?x?0?xf(x0?h)?f(x0)f?(x0)?lim h?0h 函数的求导法则f?(x0)?limx?x0f(x)?f(x0) x?x0(1) 导数的四则运算法则 i.[u(x)?v(x)]??u?(x)?v?(x) ??ii.[u(x)?v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x) iii.[u(x)u?(x)v(x)?u(x)v?(x)]??(v(x)?0) 2v(x)v(x) (2) 复合函数的求导法则(链式法则) dydydu?? dxdudx(1)求隐函数的导数时,只需将确定隐函数的方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y隐函数的导数 的项时,把y当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出dy dx(2)对数求导法:对幂指函数y?u(x)v(x),可以先在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量x求导,最后解出所求导数 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,即 反函数的导数 f?(x)?1,其中x??(y)为y?f(x)的反函数 ??(y) (1) 直接法:利用基本求导公式及导数的运算