近世代数第一章总结
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近世代数第一章答案
近世代数第一章基本概念答案
§ 1 . 集合
1.B?A,但B不是A的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 由题设以及真子集的定义得,A的每一个元都属于B,因此A?B.于是由
B?A A?B
得A?B.所以上述情况在A=B时才能出现.
2. 假设A?B,A?B?? A?B??
解 (i) 由于A?B,所以A的每一个元都属于B,即A的每一个元都是A和B的共同元,因而由交集的定义得
A?A?B
但显然有
A?B?A
所以
A?B?A
(ii) 由并集的定义,A?B的每一个元素都属于A和B之一,但A?B,所以A?B的每一元素都属于B:
A?B?B
另一方面B?A?B,所以A?B?B.
§ 2 . 映射
1. A={1,2,?,100}.找一个A?A到A的映射.
解 用?a,b?表示A?A的任意元素,这里a和b都属于A .按照定义做一个满足要求的映射即可,例如 ?: ?a,b?→a 就是这样的一个,因为?替A?A的任何元素?a,b?规定了一个唯一的象a,而a?A.
读者应该自己再找几个A?A到A的映射. 2.在你为习题1所找的映射之下,是不是A的每一个元都是A?A的一个元的象?
解 在上面给出的映射?之下,A的每一个元素都
近世代数一
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一、单项选择题(每小题3分,共12分)
1.设A=R(实数集),B=R+(正实数集) υ:a→10a+1,?a∈A 则?是从A到B的( )。 A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射 2.剩余类加群Z6中,元素[1]的阶是( )。 A.1 B.2 C.3 D.6 3.7阶循环群的生成元个数是( )。 A.1 B.2 C.6 D.7
?a0??4.设R=??那么R关于矩阵的加法和乘法构成环,则这个矩阵环是( )。 ?0b?a、b?Z?,
????A.有单位元的可换环 B.无单位元的可换环 C.无单位元的非可换环 D.有单位元的非可换环 二、填空题(每小题3分,共24分)
1.设集合A含有m个元,则A的子集共有_____个. 2.每一个有限群都和一个_____群同构. 3.设a、b是群G的两个元,则(ab)-2=_____.
4.在3次对称群S3中与元(1 2 3)不可交换的元有_____个. 5.剩余类环Zm是无零因子环
近世代数前两章知识总结
近世代数前两章知识总结
近世代数论文
师范学院14级数学与应用数学2班 景羡林 学号:12147139213
一、 上半学期学习总结
第一章 基本概念
1、集合的幂集:以集合A的一切子集为元素构成的集合,记为ρ A 或
Ann2。(含n个元素的集合的子集有2个,即幂集中的元素共有2
个)
2、积(笛卡尔积):A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}叫A与B的积。(A
×B≠B×A)
3、A到B的对应法则ø为A到B的映射 ① x∈A,x有象 ②
x∈A,x的象唯一 ③ x∈A,x的象在B中。
4、若A是含n个元素的集合,则A的映射共有 个,一一映射共有
n!个。
5、代数运算:一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算。
(o为A×B到D的代数运算 (a,b)∈A×B,aob有意义,且
aob唯一,属于D)。
6、满射: y∈ ,设y= (x),求出x(x为y的函数),若x存在且
x∈A,则 为满射。( 中的每一个元素都有原象);单射: a,b∈A,
若a≠b,则 (a)≠ (b)。(元素不同象不同);一一映射:即
单又满。(一一映射都有逆映射,若A与B间是一
近世代数复习
近世代数复习
一、单项选择题(20分)
1、下面的代数系统(G,*)中,( )不是群。
A. G为整数集合,*为加法 B. G为偶数集合,*为加法 C.G为有理数集合,*为加法 D. G为有理数集合,*为乘法 2、设A={所有实数},A的代数运算a?b=a+2b( ) A.适合结合律但不适合交换律;B.不适合结合律但适合交换律; C.既适合结合律又适合交换律;D.既不适合结合律又不适合交换律 3、在整数加群Z中,不包含15Z的子群是( )。 (A) 3Z (B) 5Z (C) 3Z或5Z (D)13Z 4. 设a,b,c和x都是群G中的元素且xa?bxc,acx?xac,那么
2?1x?( )
A. bc?1a?1; B.c?1a?1; C.a?1bc?1; D.b?1ca。
5、设G=Z,对G规定运算o,下列规定中只有( )构成群。 (A) aob=a+b-2 (B) aob=a? b 数的乘法)
6、设H (B) ab1∈H (C) a1b∈H - - (C) aob=2? a+3?
近世代数试卷
安徽大学2008—2009学年第一学期 《近世代数》考试试卷(B卷)
一、分析判断题(请判断下列命题对错,并简要说明理由) 1、模n的同余关系是一个等价关系.
2、整数集Z对于普通的数的乘法作成一个群. 3、?x?是Z[x]的一个极大理想.
4、在同态映射下,正规子群的象是正规子群. 5、数域F上的多项式环F[x]是一个欧氏环. 二、计算分析题
1、设两个六次置换:??(134652),??(1235)(46)计算:??,?2?,????1. 2、求剩余类环Z12的所有可逆元和所有子环. 3、在Z8中计算:([4]x3?[3]x?[2])([5]x2?x?[3]) 三、举例题(对下列的各种情形,请各举一例) 1、环的素理想而非极大理想;
2、环和其一个子环均有单位元,但二者不相等; 3、正规子群的正规子群不是原来群的正规子群. 四、证明题(本题共6小题,每小题10分,共60分) 1、证明在一个有限群中:
1) 阶数大于2的元素的个数一定是偶数;
2) 偶数阶群里阶等于2的元素个数一定是奇数. 2、设H?G,证明:对?a?G,aHa?1?G且aHa?1?H.
????a2b??a,b?数域F3、证明:对集合R????关于普通的矩阵的加法和乘法
近世代数作业
练 习 题
第一次作业
1、设A={x| x?R, |x|?5},B={x|x?R, -6?x<0}.求A?B,A?B,A?B,B?A。 2、设A,B是U的子集,规定A+B=(A?B)?(B?A)。证明: (1) A+B=B+A (2) A+?=A (3) A+A=?。
3、求下列集合的所有子集: (1) A={a, b, ?} (2) B={?} (3) C={1}
4、设f:A?B和g:B?C是映射,证明: (1) 如果f和g是单射,则gf是单射 (2) 如果f和g是满射,则gf是满射 (3) 如果gf是单射,则f是单射 (4) 如果gf是满射,则g是满射.
5、对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射f, g ,h: f: x?3x g: x?3x+1 h: x?3x+2 (1) 计算fg, gf, gh, hg, fgh (2) 分别求f, g, h的一个左逆映射 (3) 求f, g, h的一个共同的左逆映射
(4) 求f, g的一个共同的左逆映射,但不是h的左逆映射。 6、设R是实数集合,在R?R上规定二元关系“~”为:
(a, b)~ (c, d)?a+d=b+c
证明“~”是R上的一个等价关系。
7、设A={a, b, c, d, e}, S={{a},{b},{c, d, e}},求A上的一个等价关
近世代数复习
近世代数复习
一、单项选择题(20分)
1、下面的代数系统(G,*)中,( )不是群。
A. G为整数集合,*为加法 B. G为偶数集合,*为加法 C.G为有理数集合,*为加法 D. G为有理数集合,*为乘法 2、设A={所有实数},A的代数运算a?b=a+2b( ) A.适合结合律但不适合交换律;B.不适合结合律但适合交换律; C.既适合结合律又适合交换律;D.既不适合结合律又不适合交换律 3、在整数加群Z中,不包含15Z的子群是( )。 (A) 3Z (B) 5Z (C) 3Z或5Z (D)13Z 4. 设a,b,c和x都是群G中的元素且xa?bxc,acx?xac,那么
2?1x?( )
A. bc?1a?1; B.c?1a?1; C.a?1bc?1; D.b?1ca。
5、设G=Z,对G规定运算o,下列规定中只有( )构成群。 (A) aob=a+b-2 (B) aob=a? b 数的乘法)
6、设H (B) ab1∈H (C) a1b∈H - - (C) aob=2? a+3?
近世代数作业
练 习 题
第一次作业
1、设A={x| x?R, |x|?5},B={x|x?R, -6?x<0}.求A?B,A?B,A?B,B?A。 2、设A,B是U的子集,规定A+B=(A?B)?(B?A)。证明: (1) A+B=B+A (2) A+?=A (3) A+A=?。
3、求下列集合的所有子集: (1) A={a, b, ?} (2) B={?} (3) C={1}
4、设f:A?B和g:B?C是映射,证明: (1) 如果f和g是单射,则gf是单射 (2) 如果f和g是满射,则gf是满射 (3) 如果gf是单射,则f是单射 (4) 如果gf是满射,则g是满射.
5、对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射f, g ,h: f: x?3x g: x?3x+1 h: x?3x+2 (1) 计算fg, gf, gh, hg, fgh (2) 分别求f, g, h的一个左逆映射 (3) 求f, g, h的一个共同的左逆映射
(4) 求f, g的一个共同的左逆映射,但不是h的左逆映射。 6、设R是实数集合,在R?R上规定二元关系“~”为:
(a, b)~ (c, d)?a+d=b+c
证明“~”是R上的一个等价关系。
7、设A={a, b, c, d, e}, S={{a},{b},{c, d, e}},求A上的一个等价关
《近世代数》复习
《近世代数》复习
一、 群论:基本结构有循环群,对称群与商群。基本内容有:元素的周期,置换的表示,子群,陪集,正规子群,同态(映射),同构(映射),群的类方程,Lagrange定理。基本技术:o(a)=||; o(ab)=o(ba), 特别,在交换群中, o(ab)=[o(a), o(b)]; 置换的周期=非交轮换周期的最小公倍数; 中心为正规子群; |G/N|=|G|/|N|; 所有不同的共轭类做成G的一个划分,故有类方程|G|=Σ[G:C(a)](其中a取自不同的共轭类)=|C(G)| +Σ[G:C(a)](其中a取自不同的非中心元素所在的共轭类即元素个数大于等于2的共轭类); o(a)| |G|; 若H?G,则|H| | |G|; 对称群Sn中奇偶置换各占一半即n!/2; 所有偶置换组成交错群An且是Sn的非平凡的最大的正规子群; Sn中的n-轮换?的中心化子(即能与?交换的所有元素构成的子群)就是它生成的循环子群,由此可知与其共轭的元素共有(n?1)!个.
二、 环论:基本结构有交换环,无零因子环,整环,主理想整环,唯一分解环,多项式环,域与商环。基本内容有:理想,环同态(映射),环同构(映射),不可约元,整环中的因子分解,多项式环中
近世代数复习
第一章
集合A 的一个分类决定A的元间的一个等价关系; 集合A元间的一个等价关系~决定A的一个分类。
第二章
群的定义
a. 设G是一个非空集合,“?”是其上一个二元运算,若满足
1.“?”满足结合律;2.{G,?}中有单位元;3.{G,?}每个元都与逆元 则称{G,?}是一个群,简称G是一个群。
b. 若G是 一个有乘法的有限非空集合,且满足消去律。 群的性质
1.单位元唯一; 2.逆元唯一;
3.若G是群,则对G中的任意元a、b,方程ax = b和xa = b都有唯一的解 4.若G是群,则对任意G中的两个元素a、b, 有(ab)-1=b-1a-1
?1?1?1?1?1?a,a,...,a,?G?(aa...a)?aa...a12m12mmm?12a1 注:可以推广到无限:
5.单位元是群中唯一的等幂元素(满足x2 = x的元叫等幂元)
证:令x是等幂元,∴x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。
6.群满足左右消去律。
推论:若G是有限群,则其运算表中的每一行(列)都是G中元的一个排列,而且不同行(列)的排列不同。
7.若群G的元a的阶是n(有限),则ak = e n|k。 8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有