考研数学高数基础讲义

考研数学高数基础知识

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GCT数学.微积分部分

第1章函数的极限与连续

1.1函数 一 函数

1定义 设x和y是两个变量，D是给定的数集，如果对于每个数x?D，变量y按照一定的法则，总有一个确定的值与它对应，则称y是x的函数，记作y?f(x)，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。 2 表示法

3 基本初等函数

二 特性

1函数的有界性

设函数f(x)在区间I上有定义，如果?M?0，使得对?x?I，有f(x)?M，则称f(x)在区间I上有界，否则，称f(x)在区间I上无界。

2函数的单调性

设函数f(x)在区间I上有定义,如果?x,x?I且x?x时，有

f(x)?f(x)）则称f(x)在区间I上是单调增（或f(x)?f(x（或)单调减）的。 3函数的奇偶性

设函数f(x)的定义域X关于原点对称，（即若x?X，则必有

，如果?x?X，有f(?x)?f(x)成立，则称f(x)为偶函数，?x?X）

如果?x?X，有f(?x)??f(x)成立，则称f(x)为奇函数。 4函数的周期性

设函数f(x)的定义域是X，如果?常数T?0，使得对?x?X，有x?T?X，且

f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，使上式成立的最小正数T称为f

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2010考研强化班高等数学讲义主讲：汪诚义

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考研强化班高等数学讲义(四至五章)

第四章 常微分方程

§4.1 基本概念和一阶微分方程

（甲） 内容要点 一、基本概念

1、 常微分方程和阶 2、 解、通解和特解 3、 初始条件

4、 齐次线性方程和非齐次线性方程 二、变量可分离方程及其推广

1、

dydx?p(x)Q(y)dy(Q(y)?0)

2、齐次方程：

?y??f?? dx?x?三、一阶线性方程及其推广

1、2、

dydxdydx?P(x)y?Q(x) ?P(x)y?Q(x)y?(??0,1)

四、全微分方程及其推广（数学一）

1、 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0,满足?Q?x?p?y??P?y

2、 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0,?Q?x?但存在R(x,y)，使?(RQ)?x??(RP)?y

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五、差分方程（数学三）

(李正元考研高数基础讲义)

新东方高等数学笔记（主讲：李正元） 第四章微分、中值定理及其应用

第四章 微分、中值定理及其应用

§1一元函数微分学中的基本定理 ——中值定理

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新东方高等数学笔记（主讲：李正元）

第四章微分、中值定理及其应用

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新东方高等数学笔记（主讲：李正元） 第四章微分、中值定理及其应用

§2 微分学理论的应用

——利用导数研究函数的变化

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总体说明：与高联专职教师交流后，计划在年里复习完高数，高数上下册共12章，这样分下来的话内容少的每周一章，内容多，需要花时间的重点章两周复习一章，高数以前基本都学习了一次，这次复习请你把教材仔细读一遍，边看边思考，理清头绪，概念的引出，定理、公理的推导证明都是要看的地方，书上的例题要看懂，及时做课后习题来巩固。

之前准备根据大家课表的空余时间，安排几点几分到几点几分看哪一节，但我想了下，这样不太合理，跟机器似的，可能我估计这部分完成的时间跟你的实际完成时间有差距，加上个人作息习惯和效率的因素，这样做可能误导你了。因此，我给以周来安排复习工作，具体的时间分配你自己来安排，但自己要大体有个度，比如这章6节，那么周三晚上之前应该就是完成3节这个样子，考研是为自己考，这个自觉能力应当具备，要这么小的时间这么明确的任务也安排不好，我给你安排了几点几分到几点几分看什么的话，你落实也是形式，效果值得商榷。

要是你自制力很不好，需要我根据你课表来安排的话，跟我回复下，下次我具体安排。

要求：复习的内容课本要精看一遍，适当的做点笔记，遇到问题先要自己思考，不会的再联系答疑，高联有个QQ在线答疑的，课后要求做的题要动手做，不能看看好像会就算了，眼高手低是大忌，为

考研数学的命题特点

1. 基础性

【例一】极限定义

1、lim是什么？（lim是什么？）

x??n??①lim

x??1）“x??”存在六种情形 （1）x?x0

???0,0?x?x0??, （2）x?x0?

???0,0?x?x0??, （3）x?x0?

???0,0?x0?x??, (4) x??

?X?0,x?X, (5) x???

?X?0,x?X,

(6) x???

?X?0,x??X,

2极限趋向的“过程性”

——若limf(x)?，则f(x)在x??时处处有定义 x??（命题A?B，则B?A）

故有：若f(x)在x??时至少一点无定义，

?limf(x)不存在。

x??1??sin?xsin()?x??（2016）求lim

x?01xsin()x1【分析】x??，xsin()?0

xx~0, sinx~x. 狗~0，sin狗~狗 111xsin()?0, xsin()~sin(xsin())

xxx故原式=1

知道为什么这么做不对吗？来看看正解吧!

11【正解】当x=，|k|充分大，xsin()=0。还记

xkπ得极限的定义吗？x?0时可以取到0嘛？答案当然是不可以！但是却可以取到除零外任意小的

11点，例如取x=，此时xsin()

考研数学的命题特点

1. 基础性

【例一】极限定义

1、lim是什么？（lim是什么？）

x??n??①lim

x??1）“x??”存在六种情形 （1）x?x0

???0,0?x?x0??, （2）x?x0?

???0,0?x?x0??, （3）x?x0?

???0,0?x0?x??, (4) x??

?X?0,x?X, (5) x???

?X?0,x?X,

(6) x???

?X?0,x??X,

2极限趋向的“过程性”

——若limf(x)?，则f(x)在x??时处处有定义 x??（命题A?B，则B?A）

故有：若f(x)在x??时至少一点无定义，

?limf(x)不存在。

x??1??sin?xsin()?x??（2016）求lim

x?01xsin()x1【分析】x??，xsin()?0

xx~0, sinx~x. 狗~0，sin狗~狗 111xsin()?0, xsin()~sin(xsin())

xxx故原式=1

知道为什么这么做不对吗？来看看正解吧!

11【正解】当x=，|k|充分大，xsin()=0。还记

xkπ得极限的定义吗？x?0时可以取到0嘛？答案当然是不可以！但是却可以取到除零外任意小的

11点，例如取x=，此时xsin()

第一章 函数 极限 连续

一．求极限方法小结

极限是整个微积分的基础，要理解微积分，首先要很好地理解极限的概念.

有多种求极限的方法，究竟该用哪种方法求极限，关键是要判断极限属于哪一种类型.

1. 知识要点

（1）利用极限的定义求极限. （2）利用极限运算法则求极限. （3）利用不等式求极限. （4）利用变量代换法求极限. （5）利用两个重要极限求极限. （6）利用单调有界准则求极限. （7）利用函数的连续性求极限. （8）利用等价无穷小代换求极限. （9）利用单侧极限求极限.

（10） 利用罗必达法则求极限. （11） 利用导数定义求极限. （12） 利用定积分定义求极限. （13）

利用Taylor公式求极限.

2．典型例子

例1：设x1?2,x2?2?1x,?,x1n?1?2?,?1xn(答案：1?2)

例2：求lim?n???1??n2?1?1n2?2???1??n2?n????例3：求lim?1?n????1???1?n?111? ?(n2?1)2(nn?1)n??例4：求

lim1?3?5?(2n?1)n??2?4?6?2n 例5：求 lim??1?x????x?x2ln??1?x

2011考研基础班概率

主讲：马超

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考研数学基础班概率与统计讲义

第一章 随机事件和概率

第一节 基本概念

1、概念网络图

古典概型????几何概型?????加法B?C???????减法B?C?基本事件????????????随机试验E??样本空间???P(A)?五大公式?条件概率B/C和乘法公式BC??

????随机事件A??全概公式????????贝叶斯公式????????独立性????贝努利概型??

2、重要公式和结论

m! 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 (m?n)!m!nCm? 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 n!(m?n)!nPm?（1）排列组合公式 （2）加法和乘法原加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由nword文档 可自由复制编辑

理 （3）一些常见排列 （4）随机试验和随机事件 （5）基本事件、样本空间和事件 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由