大学放缩法技巧全总结

放缩技巧

（高考数学备考资料）

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：

一、裂项放缩

例1.(1)求?k?1n24k2?124n2?11?n2n的值; (2)求证:?1?5.

2k?1k3解析:(1)因为

?211,所以n212n ???1???2(2n?1)(2n?1)2n?12n?12n?12n?1k?14k?14 (2)因为

n1111?25 1?,所以?1?1?2??1??????1????2?2?2???k352n?12n?133??k?114n?1?2n?12n?1?n2?41奇巧积累

:

(1)

1441? ?1?2?2?2???2n4n4n?1?2n?12n?1?r?1r?Cn? (2)

1211 ???1

高考数学备考之放缩技巧

1 / 24

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求

n?4kk?122的值; (2)求证:

?1??kk?1n12?5. 3解析:(1)因为 (2)因为124n?112211,所以n212n ???1???2(2n?1)(2n?1)2n?12n?12n?12n?1k?14k?14n1111?25 1?,所以?1?1?2??1??????1????2??2?2???2k352n?12n?133??k?114n?1n?2n?12n?1?n2?4奇巧积累:(1)1?4?22n4n211 1? (2)1?1????2???124n?1?2n?12n?1?Cn?1Cn(n?1)n(n?1)n(n?1)n(n?1)42 (3)Tr?1r?Cn?1n!11111??r?

数列型不等式的放缩技巧九法

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种：

一 利用重要不等式放缩

1． 均值不等式法

2例1 设Sn?1?2?2?3???n(n?1).求证n(n?1)?Sn?(n?1).

22解析 此数列的通项为ak?k(k?1),k?1,2,?,n.

n1k?k?11，n?k?k(k?1)??k???k?Sn??(k?)，

222k?1k?12即n(n?1)?Sn?n(n?1)?n?(n?1).

2222 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式ab?a?b，

2若放成k(k?1)?k?1则得Sn??(k?1)?(n?1)(n?3)?(n?1)，就放过“度”了！

22k?1②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

2 a1???ana12???annn11???a1an?

放缩法有详细答案

1 已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，求证：

证明：﹥∵=为增函数，又∵∴。

2 求证：对于一切大于1的自然数n ，恒。

证明： 原不等式变形为 ，

令 则

，所以 。

即 是单调增函数（n=2，3，…），所以 。故原不等式成立。

3 、设)1(433221+++?+?+?=n n a n 求证：2

)1(2)1(2

+<<+n a n n n 证明：∵ n n n n =>+2)1( 2

12)21()1(2+=+<+n n n n ∴ 2

12)1(+<+<n n n n ∴ 2)12(31321++++<<++++n a n n ， ∴2

)1(2)1(2

+<<+n a n n n 4求证：2222111171234n ++++< 5（湖南省理16）求证：)N n (1n 212n 11n 121∈<+++++≤

证明：因为,21n n n n n 1n n 1n n 1n n 12

n 11n 1=+=+++++≥++++++ 又,1n n n 1n 1n 1n n 12n 11n 1==+++

成都麻将实战技巧完全总结

一、如何扣牌打牌要如何打好成都麻将呢？成都麻将与广东麻将技巧不同，最初的打法是不定张的，什么叫不定张呢？也就是说玩家在一开端的时分不肯定打缺哪一门，只需在牌局完毕时缺一门就能够了；当然如今渐渐开端盛行定张了，就是玩家摸起牌就必需决定打缺哪一门，这种打法相对不定张来说技术含量降低了很多。其实不论是定张成都麻将还是不定张的成都麻将的关键所在都是留意考虑、推理、冷静不急燥（有的人手气一时不好，牌一时不好，一输就开始摔牌，骂牌变得很急燥，这样很容易打错牌，输得更多走得更远哦（:，其实普通的一场麻将每个人都有手气相比照较好的时分关键是本人能不能把握住在手气好的时分多赢手气不好的时分少输；所以不管本人当前战况是输还是赢都要留意每局当前的形势（有没有人在做大胡，以及有几个风险牌等） ，以及哪一家在什么时 、本人手上的牌型（能够做成什么胡）分出的什么牌？为什么要出？本人该怎样打？等等这些都是大家应该考虑的；（下面根据理想中的成都麻将来分享下个人的一些观念和在实战中经常遇到的情形，仅仅代表个人观念见地和打法，并非绝对，大家还是要根据实践状况来判别）（一）如何扣牌关于定张的成都麻将来说，比方手上有一门牌要好点，其他两门牌都一样多，并且搭

公务员行测考试资料分析之放缩法

“放缩法”是指在数字的比较计算中，如果精度要求不高或者数字相差比较大，通过对中间结果进行适当的“放”（扩大）或者“缩”（缩小），从而快速比较出数字的大小关系。放缩也不是盲目进行的，而是要根据“放缩”的方向来比较结果。 简单的来讲，主要有以下两种常见形式：

1、两个数相乘，那么把两个数都变小，积就变小，两数都变大，积就变大；

注：如果其中一个数变大一个数变小，结果不确定，需要结合数变大变小的幅度，因此尽量不要出现这种情况的放缩。

2、两个数相除，把分子变大分母变小，分数值就变大，把分子变小分母变大，分数值变小。

注：如果两个数都变大或变小，结果也不确定，需要结合数变大变小的幅度，因此了尽量不要出现这种情况的放缩。

【例1】下表为某公司四个部门2009年全年的营销总费用，以及营销总费用占总销售额的比例。请问四个部门当中，哪个部门2009年全年的总销售额最高?

营销总费用(万元) 营销总费用 占总销售额的比例 A部门 B部门 C部门 D部门 213.5 5.3% 194.9 234.8 165.3 7.6% 5.2% 6.1% A.A部门 C.C部门 [答案]：C [解析]：总销售额=

B.B部门 D.D部门

213

作者：杜林涛

放缩法的应用范畴及其定义

杜林涛

【摘要】放缩法是针对不等式结构、性质，将一端向另一端进行放大或缩小，使问题解决的一种变形手段. 所以放缩法被认为只适用于证明不等式成立，不被重视，它的应用范畴也大多集中在中小学的证明题. 但放缩法也是始终贯穿证明不等式的指导变形方向的一种思考方法，从这作为出发点，对放缩法在数学分析、实变函数以及点集拓扑中进行了研究. 通过分析放缩法在一般分析学中的应用，进而重新认识放缩法，发现它不仅适用于任何有关不等式的证明，还可以作为定理用来求值或判别某种性质. 放缩法应用在不等式证明之外，脱离了不等式的结构、性质，那什么是放缩法，放缩法作为可以简化问题或解决问题的一种工具，抽象成概念，即在保持某种条件不变的情况下，向特定方向进行不等变形的方法是放缩法. 放缩法具有广泛的应用性，应重视运用放缩法解决问题.

【关键词】放缩法；不等式；收敛法；集合.

放缩法的应用范畴及其应用

目 录

1 2 2.1 2.2 2.3 3 3.1 3.2 4 5

引言 ...............................................................................

高考数学备考之放缩技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩 （3）求证:1 1 3 1 3 5 1 3 5 (2n 1) 2n 1 1

2

2 4

2 4 6

2 4 6 2n

（4）求证：2(n 1 1) 1 1 1 1 (2n 1 1)

技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩

例1（1）求 n2的值; （2）求证:n

15. k 14k2 1 2

k 1k3

奇巧积累:（1）1 4 4 2

11

（2）1211 n24n24n2 1 2n 1 2n 1

C12

n 1Cn(n 1)n(n 1)n(n 1)n(n 1)

（3）T

1n

r

n! 1 1 1 1r 1

Crn

1 1

rr(r 2) r!(n r)!nr!r(r 1)r （4）(1 1n)n 1 1 12 1 13 2 1n

57种英文邮件结尾法，史上最全总结 商务英文邮件的写法讲究多多，结尾的问候语在不同场合也应使用不同的字眼。福布斯职场专家苏珊·亚当斯和礼仪顾问莱特为我们总结了以下邮件结尾（email sign-offs），并附上了用法解释。

Best

This is the most ubiquitous; it's totally safe. I recommend it highly and so do the experts.

最普遍；最安全。我和专家们都极力推荐这个。

My Best

A little stilted. Etiquette consultant Lett likes it.

有点生硬。礼仪顾问莱特喜欢这个。

My best to you

Lett also likes this one. I think it's old-fashioned.

莱特也喜欢这个。我认为它过时了。

All Best

Harmless.

可以用。

All the best

This works too.

这个也可以。

Best Wishes

Seems too much like a greeting card but it's not bad.

看起来特别像贺卡，但是还不赖。

Bes

2010高考数学备考之放缩技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求?k?1n24k2的值; (2)求证:

?1?2(2n?1)(2n?1)?n?k?11k2?53. ,所以

n解析:(1)因为 (2)因为

24n?1212n?1?12n?1?k?124k2?1?1?12n?1?2n2n?1

1n2n111?25?111?,所以?1?1?2?????????1??2???2???22n?12n?1?33?35k?1k14n?12?2n?12n?1?n?414奇巧积累:(1) (3)T1n2?44n2?1? ?1?2???4n?1?2n?12n?1?42 (2)

C11n?1C2n?2(n?1)n(n?1)?1n(n?1)?1n(n?1)

r?1?Cn?r1nr?n!r!(n?r)!n