自相关函数与互相关函数有何异同

2.4.3 相关函数

１．自相关函数

自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值与

另一时刻取值的依赖关系，其定义式为

（2.4.6）

对于周期信号，积分平均时间T为信号周期。对于有限时间内的信号，例如单个脉

冲，当T趋于无穷大时，该平均值将趋于零，这时自相关函数可用下式计算

（2.4.7）

自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值，它是时移变量τ的函 数。

例如信号

的自相关函数为

若信号是由两个频率与初相角不同的频率分量组成，即

，则

对于正弦信号，由于

，其自相关函数仍为

由此可见，正弦（余弦）信号的自相关函数同样是一个余弦函数。它保留了原信号

的频率成分，其频率不变，幅值等于原幅值平方的一半，即等于该频率分量的平均功率

，但丢失了相角的信息。

自相关函数具有如下主要性质：

（1）自相关函数为偶函数，

，其图形对称于纵轴。因此，不论时移

方向是导前还是滞后（τ为正或负），函数值不变。

（2）当τ＝0时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即

基音是指浊音时声带振动所引起的周期，基音周期是指声带振动频率的倒数。

基音提取的主要困难：

（1）声门激励信号并不是一个完全周期的序列 （2）声门共振峰有时会影响激励信号的谐波结构 （3）语音信号是准周期的，受共振峰结构、噪声的影响。 （4）基音周期变化范围大

为此提出了各种各样的基音检测算法，如自相关函数(ACF)法、峰值提取算法(PPA)、平均幅度差函数(AMDF)法、并行处理技术、倒谱法、SIFT、谱图法、小波法等等。

此算法比较适合于噪声环境下的基音提取。但通常情况下基音频率大于基音周期的自相关峰时，单独使用自相关函数会导致半倍和双倍基音的提取误差。

自相关函数提供了一种获取周期信号周期的方法。在周期信号周期的整数倍上，它的自相关函数可以达到最大值，因此可以不考虑起始时间，而从自相关函数的第一个最大值的位置估计出信号的基音周期，这使自相关函数成为信号基音周期估计的一种工具。

语音信号是非平稳的信号，所以对信号的处理都使用短时自相关函数。短时自相关函数是在信号的第N个样本点附近用短时窗截取一段信号，做自相关计算。

短时自相关函数有以下重要性质：

①如果{s(n)}是周期信号，周期是P，则R(?)也是周期信号，且周期相同，即R(?)

第一专题:

1、相关函数的计算方法（方法的选取及选取的原因） 2、相关函数的性质和应用（选一个应用讲解并仿真）

相关函数的计算方法

利用计算机计算自相关估值有两种方法。一种是直接方法，先计算出随机信号和它的滞后序列的乘积，再取其平均值即得相关函数的估计值。另一种是间接方法，先用快速变换算法计算随机序列的功率谱密度，再作反变换计算出相关函数。

1、直接计算 （1）公式计算 对于时域信号，可以直接按照下面的公式来计算其相关函数，两个能量信号

s1(t)和s2(t)互相关函数的定义为

R12(x)??s1(t)s2(t?x)dt

-?功率信号s1(t)和s2(t)的互相关函数定义为

??1R12(x)?limT??T??T/2-T/2s1(t)s2(t?x)dt

（2）自相关函数的估计

在计算机处理数字信号的过程中，一般是对自相关函数进行估计来计算。 假定X[k]是宽平稳各态遍历信号，x[k]是其中的一个样本，其自相关可由单一样本x[k]的时间平均来实现，即

1k?NRx[n]?limx[k]x[k?n]? N??2N?1k?-N由于在实际中仅能得到随即信号的一次样本序列x[0]，x[1]，……，x[N-1]，用xN[k]来表示，因此只能得到自相

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6.8

§6.7 信号通过线性系统的自相 关函数,能量谱和功率谱分析能量谱和功率谱分析 能量谱和功率谱分析 信号经线性系统的自相关函数 信号经线性系统的自相关函数

北京邮电大学电子工程学院 2003.1

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第 2 页

时域 前面,从 频域中研究了 前面, s域

激励 响应 三者的关系 系统

现在,从激励和响应的自相关函数,能量谱,功率谱 现在,从激励和响应的自相关函数,能量谱, 所发生的变化来研究线性系统所表现的传输特性. 所发生的变化来研究线性系统所表现的传输特性.

X

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第

一.能量谱和功率谱分析e(t ) E(jω) H(jω) h(t ) H(jω) r(t )

3 页

时域 频域

r(t ) = h(t ) * e(t )

R(jω) = H(jω) E(jω)r(t )的能量谱密度为 r (ω) ε2

e 是能量有限信号, e ε 假定 (t )是能量有限信号,(t )的能量谱密度为 e (ω),

εe (ω) = E(jω)εr (ω) = R(jω)

2

X

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第

显然R(jω) = H (

实验6.美国股票价格指数与经济增长的关系

——自相关性的判定和修正

一、实验内容：研究美国股票价格指数与经济增长的关系。 1、实验目的:

练习并熟练线性回归方程的建立和基本的经济检验和统计检验；学会判别自相关的存在，并能够熟练使用学过的方法对模型进行修正。

2、实验要求：

（1）分析数据，建立适当的计量经济学模型 （2）对所建立的模型进行自相关分析 （3）对存在自相关性的模型进行调整与修正

二、实验报告 1、问题提出

通过对全球经济形势的观察，我们发现在经济发达的国家，其证券市场通常也发展的较好，因此我们会自然地产生以下问题，即股票价格指数与经济增长是否具有相关关系？

GDP是一国经济成就的根本反映。从长期看，在上市公司的行业结构与国家产业结构基本一致的情况下，股票平均价格的变动跟GDP的变化趋势是吻合的，但不能简单地认为GDP增长，股票价格就随之上涨，实际走势有时恰恰相反。必须将GDP与经济形势结合起来考虑。在持续、稳定、高速的GDP增长下，社会总需求与总供给协调增长，上市公司利润持续上升，股息不断增加，老百姓收入增加，投资需求膨胀，闲散资金得到充分利用，股票的内在含金量增加，促使股票价格上涨，股市走牛。

本次试验研究的1970-1987年

线性预测中的自相关系数

1．原理

线性预测是语音编码中的基本算法，其基本原理如下： 设语音信号的样值序列Xk Xk x1,x2, ,xk ，第k时刻的取样值xk可以用之前的P个样值的线性组合来预测。

k aixk i x

i 1P

实际样值与预测值之间的误差为：

k xk aixk i ek xk x

i 1P

因此预测系统的传递函数为：

H Z X Z

EZ 1

1 aiz i

i 1P 1 AZ其中H(Z)是一个全极点滤波器，称为综合滤波器。A(Z)是H(Z)的逆滤波器，称为分析滤波器。在语音线性预测编码中，A(Z)的系数反映了声道特性。

为了使预测误差最小，采用最小均方误差准则，即使误差的均方值

2 k E ek E xk x2

k

k 1 2 P

E xk aixk i k 1 i 1 PP2

最小。在预测阶数P给定后， k2就是所有预测系数 ai 的函数，因此：

2 ek x k k 0 E 2 xk x ai ai

k xk i 0 E xk x

可见，要使ek的预测误差最小，则ek必须与所有数据xk i正交，称为正

交性原理。将上式展开，可得：

E xkxk i ajE xk jxk i

j 1P

其中E xk j

统计方法

第五章自相关

统计方法

第一节自相关定义及D-W检验一，自相关的定义 当误差项不再是相互独立的，即 cov(µiµj) ≠0,就产生了自相关(Autocorrelation),也叫序列相关(serial correlation)。 即µt、µt-1 µt-2……是相关的。 µt 、µt-k被称为k阶自相关 µt 、 µt-1被称为1阶自相关 µt 、µt-2被称为2阶自相关 ……以此类推。

统计方法

二自相关的检验:Durbin—Watson Test(DW检验) 关于自相关的检验就是检验µt和µt-1之间的相关性， 需要计算它们的相关系数ρ。由于ρ是总体的， 无法得到，因此通过回归初始模型，利用计算 出的ρ 的估计值代替ρ 来进行检验，ût和ût-1 cov(ût,ût-1) ρ hat=_______________ √var(ût) √var(ût-1)

统计方法

计算Durbin—Watson 统计量，用d来表示： Σ( ût - û

John Hull的《风险管理与金融机构》第10章,讲相关系数与Copula函数。

Chapter 10 相关系数与Copula函数

John Hull的《风险管理与金融机构》第10章,讲相关系数与Copula函数。

引言 假设一家公司对市场的两个不同的变量有风险暴露，两个 变量之中的任何一个变量增加1个标准差，公司会收益 1000万美元；两个变量之中的任何一个变量减少1个标准 差，公司会亏损1000万美元。

如果这两个市场变量的变化有很强的正相关性，公司面临 的整体风险很大；如果市场变量的相关性为0,公司面临 的整体风险会小一些，但整体风险仍然很大；如果市场变 量的变化有很强的负相关性，公司面临的整体风险会大大 减小。 这个例子说明：相关系数及波动率的合理估计，对于正确 检测风险的暴露至关重要。2/72 2/20

John Hull的《风险管理与金融机构》第10章,讲相关系数与Copula函数。

引言

本章内容：-讨论对于相关系数如何做出一个类似检测波动率的检验方法； - 通过Copula函数定义两个或者更多变量之间的相关结构； - 利用Copula计算一个贷款组合的风险价值度。

3/72 3/20

John Hull的《风险管理与金融机构》第1

在我身边处处有人互相关爱，其中有一位陌生人对我的关爱我记得特别深刻。

我还记得那是一个下雨的傍晚，雨下得周边雾蒙蒙的，看向对面灯光闪炫的城市，再配上这雾蒙蒙的雨，显得格外美丽。但是，这美丽的景色正好与我的心情唱反调，我走的路坑坑洼洼，十分不好走，到处都是小碎石，一不留神，就会摔跤。

说来也奇怪，每当我心情不好在这散心时，一般我都很注意脚下的东西。可今天，我脚下一个没留神，居然摔了一跤。今天运气怎么这么差？”我小声嘀咕道，我从地上爬起来，该回家了。我刚走没两步，一阵强烈的刺痛袭击了我，那阵刺痛，直钻我的骨头。我只能走到灯光足的一些地方看一看伤势。我一步一步地向前挪动，到了灯光充足的地方，我才发现，膝盖那一块流了很多血，并且当时也没人看到作文我，我着急的快要哭了。但是这时候，有一位叔叔骑着自行车过来了，他看到了我，便下了自行车，低头亲切并担忧的问我：小朋友，你怎么了，这么晚还不回家，是受伤了吗？”我点了点头，并指了指我的膝盖，叔叔仔细地看了看说：唔，好像有点严重呢，这样吧，我先带你去医院包一下伤口，然后你再用我的手机打给你爸爸。”我点了点头。

一系列的事情解决完以后，我打了电话给我爸爸，他到了这里以后，刚想感谢那位叔

重庆各区县乡村人口所占比例的空间自相关分析

选题：

在ArcGIS中分别计算全局Moran’I 指数和局部Moran’I指数，分析重庆各区县乡村人口所占比例的空间关联程度。 实验目的：

根据重庆市各区县之间的邻接关系，采用二进制邻近权重矩阵，选取各区县2008年的重庆各区县的总人口及乡村人口，计算出重庆各区县乡村人口所占的比例，在ArcGIS里面分别计算全局Moran’I 指数和局部Moran’I指数，分析空间关联程度。 实验数据：

1．重庆统计年鉴中2008年重庆市各区县的总人口及乡村人口数量（excel表格）

2．重庆市各区县的矢量图（shp.文件） 软件：

ArcGIS10.2 操作过程与结果分析：

第一步：导入Excel数据文件和重庆市各区县的矢量图 ，并建立关联 1. Catalog——Folder Connections，在对应的文件夹下打开重庆市各区县城镇化率的EXCEL表格及重庆市各区县shp文件

2.右键单击重庆区县界shp.文件后，Joins and Relates——Join，选择“地区”为关联字段，将两个文件关联起来

3.右键单击关联后的重庆区县界shp.文件，导出为Export_Output文件，新文件