函数的微分和微积分一样不

多元函数练习题1. 讨论二重极限 时, 下列算法是否正确?

1 解法1 原式 lim 0 x 0 1 1 y xy 0

解法2 令 y k x ,

解法3 令 x r cos , y r sin ,

分析: 解法1

1 lim 1 1 0 x 0 y xy 0x 时, 1 x 1 y

此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 第二步未考虑分母变化的所有情况, 例如, y 此时极限为 1 . 解法2 令 y k x ,

1 1, x

此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 例如 y x x 时2

解法3 令 x r cos , y r sin ,

此法忽略了 的任意性,极限不存在 ! 由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 同时还可看到,

本题极限实际上不存在 . 特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的.

x2 y2 2 2 2. 证明: , x y 0 3 f ( x, y ) ( x 2 y 2 ) 2 0 , x2 y2 0 在点

实验一 : 一元函数微分学

实验1 一元函数的图形（基础实验）

实验目的 通过图形加深对函数及其性质的认识与理解, 掌握运用函数的图形来观察和分析 函数的有关特性与变化趋势的方法,建立数形结合的思想; 掌握用Mathematica作平面曲线图性的方法与技巧.

基本命令

1. 在平面直角坐标系中作一元函数图形的命令Plot: Plot[f[x],{x,min,max},选项]

Plot有很多选项(Options), 可满足作图时的种种需要, 例如,输入

Plot[x^2,{x,-1,1},AspectRatio->1,PlotStyle->RGBColor[1,0,0],PlotPoints->30]

则输出y?x2在区间?1?x?1上的图形. 其中选项AspectRatio->1使图形的高与宽之比为1. 如 果不输入这个选项, 则命令默认图形的高宽比为黄金分割值. 而选项PlotStyle->RGBColor[1,0,0] 使曲线采用某种颜色. 方括号内的三个数分别取0与1之间. 选项PlotPoints->30令计算机描点作 图时在每个单位长度内取30个点, 增加这个选项会使图形

第七章 多元函数微积分

一、填空题 1．函数z?arcsin2．设z?xy?arcsin的定义域为（a＞0，b＞0）____________________。 ab?z1?________________________________。 ，则?xxy3．设z?y2x，则

?z?________________________________。 ?x4．设z?xy?x3，则

?z?z??____________________________。 ?x?y5．若f(x?y,x?y)?xy?y2，则f(x,y)?____________________。 6．limsinxy?________________________。

x?0xy?227．若z?x?y?f(x?y)且当y?0时z?x，则f(x)?________，z?________。 8．lim(1?x?ky??xy)?___________________。 yy?029．设二元函数z?ln(x?y)，则dzx?1?________________________。

10．设z?arcsin(xy)，则

?z?___________________。 ?y11．设f(x,y)?x?y?

微积分的思想和方法

（部分讲义）

黄 荣 第四讲

第四章 定积分与不定积分

[教学目标]

1、了解定积分产生的历史、实际背景，理解定积分的概念，掌握定积分的性质；

2、理解原函数与不定积分的概念； 3、掌握不定积分性质与其本积分公式； 4、掌握定积分的牛顿一莱布尼兹公式； 5、了解定积分在实际问题中的应用； 6、了解简单微分方程的概念。 [重点难点]

定积分、不定积分的概念、牛顿一莱布尼兹公式。 [学习建议]

1、学习定积分概念时，应充分注意体现微积分的基本思想。 2、学员学习不定积分时，要注意加强练习，尽量做到掌握不定积分的计算方法。

3、牛顿一莱布尼兹公式，建立了微分和积分之间的联系，学员应适当练习，切实掌握。

4、为了掌握计算技能，学员必须做适当的练习。 [课时分配]

面授8课时，自学16 课时。 [面授辅导] 1、不定积分 1.1.1原函数

▲如果函数f(x)与f(x)定义在同一区间(a，b)，并且处处都有：F1(x)=f(x) 或df(x)=f(x)dx

则称f(x)是f(x)的一个原函数。 下列是一些简单函数的原函数： 出数 cosx sinx ex en

ex xn+1 原函数 si

北京理工大学

微积分-常微分方程解法

常微分方程各种解题方法

程功 2011/2/16

1.几个基本定义

（1）微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.

实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.

分类1: 常微分方程： 未知函数为一元函数 偏微分方程： 未知函数为多元函数

分类2:

微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之. 一阶微分方程F(x,y,y?)?0,y??f(x,y);

高阶?n?微分方程F(x,y,y?,?,y(n))?0,y(n)?f(x,y,y?,?,y(n?1)).

分类3: 线性与非线性微分方程.y??P(x)y?Q(x),x(y?)2?2yy??x?0;

?dy?3y?2z,??dx分类4: 单个微分方程与微分方程组.?

?dz?2y?z,??dx（2）微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.

微分方程的解的分类：

① 通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.

例y??y,通解y?Cex;

y???y?0,通解y?C1sinx?C2cosx;

② 特解: 确定了通解中任意常数以后的解. （

第六讲 Matlab微分和积分

理论介绍：微分、有限差分、积分、离散求和 软件求解：函数及常见注意事项 一．一元函数导数与微分

Matlab由命令函数diff来完成求导运算，调用格式为：diff(fun,’variable’,n)，其中fun为待求导运算的函数，variable为求导变量，n为求导阶次。 1.一般求导运算

例1 求函数y?cos3x?cos3x的导数 程序：clear syms x

y=cos(x)^3-cos(3*x); dy=diff(y) 2.求高阶导数

例2 求函数y?ln程序：clear syms x

y=log((x+2)/(1-x)); dy=diff(y,x,3)

注意：求高阶导数运算对计算机硬件要求较高，如果阶次太高可能导致计算机死机。Ctrl+C键终止计算机运算。 3.符号函数导数运算

例3 设函数u(x,y),v(x,y)都是可导函数，求函数F?uv的导数程序：clear syms x y

F=sym('u(x,y)*v(x,y)'); diff(F) diff(F,y)

1

x?21?x的3阶导数

dFdF ,dxdy二．一元函数导数、微分的应用

微分式研究函数局部性质的有力工具，通过对函数导

多元函数微积分复习题

一、单项选择题

1．函数f?x,y?在点?x0,y0?处连续是函数在该点可微分的 ( B )

(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;

(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.

2．设函数f?x,y?在点?x0,y0?处连续是函数在该点可偏导的 (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;

(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.

3．函数f?x,y?在点?x0,y0?处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).

(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;

(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数z?f(x,y), 下列结论正确的是 ( C ).

A. 若limx?x?A, 则必有l

第一章 函数

教学过程:

一、集合及其表示、运算

（一）集合的概念

1.【定义】集合—具有某种属性的事物组成的全体.用大写字母A,B,C?表示.

例如①自然数集:N?{0,1,2,3,4,?},而

N??{1,2,3,4,?}；

② 整数集Z?{0,?1,?2,?3,?}；

③ 有理数集: Q=｛p p?Z,q?N?,且p与q互质｝；

q④ 实数集:R, 而R??{x|x?0,x?R} . 集合的例子：

(1) 2009年1月2日出生的人.

(2) 方程 x?5x?6?0的根. (3) 全体偶数.

(4) 直线 x?y?1?0上所有的点.

不是集合的例子：很小的数；张雨的好朋友.

2.元素——组成集合的各个事物或对象, 用小写字母a,b,c?表示.

3.集合与元素的关系(从属关系)

(1) a属于A——事物a是集合A的元素. 记作a?A； (2) a不属于A——事物a不是集合A的元素. 记作a?A.

4.有限集----含有有限个元素. 无限集----含有无限个元素. （二）集合的表示方法

(1) 列举法——用列举全体元素表示集合的方法. 即A?{a1,a2,?,an}.

例如 A?{1,2,3,4,5,6}.

(2) 描述法——用元素具有的

1.高等数学概念

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 定义

设函数f(x）=0在[a,b]上有解，在[a，b]中任意插入若干个分点 a=x0

把区间[a，b]分成n个小区间

[x0，x1]，...[xn-1，xn]。

在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi），作函数值f（ξi）与小区间长度的乘积f（ξi）△xi，并作出和

如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，

这时我们称这个极限I为函数f(x）在区间[a,b]上的定积分， 记作

定积分 即：

展开式 编辑本段微积分学的建立

从微积分成为一门

高等数学微积分教程

第三节

多元复合函数微分法

高等数学微积分教程

第三节 复合函数的微分法一. 复合函数的微分法 dy dy du = 一元复合函数的微分法则--链导法:(1).z = f [ ( x),ψ ( x)]dx du dx

推广

定理1 设 u = (x) 和 v = ψ (x) 都在点x可导,而z=f(u,v)在对应点 (u,v)可微,则复合函数 z = f [ ( x),ψ ( x)] 在点x可导,且 全导数dz f du f dv = + dx u dx v dx

u z v x

(证明略) 注:1.上述定理可推广到所有的多元复合函数.

2. 因为多元复合函数类型复杂,所以不要死记公式,要学会用 复合关系图.

高等数学微积分教程

例如: z = f (u , v, w), u = ( x), v = ψ ( x), w = h( x)dz f du f dv f dw = + + dx u dx v dx w dx

z

u v w

x

u z v

x y

(2).z = f [ ( x, y ),ψ ( x, y )]

定理2 设 u = ( x, y ) 和 v = ψ ( x, y ) 都在点