二次函数的概念和性质

5、4二次函数y=ax图象和性质

学习目标:

1．经历探索二次函数y=ax2的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．

2．会作出y=ax2的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a对二次函数图象的影响．

3．能说出y=ax图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

4．体会二次函数是研究某些实际问题的数学模型． 学习重点:

理解和掌握二次函数y=ax2的图象和性质 学习难点:

由函数图象概括出y=ax2的性质． 预习效果反馈

1．二次函数的一般形式：y=ax2＋bx＋c（a≠0），当 时，为y=ax2

＋c的形式；当 时，即为y=ax2的形式． 2．二次函数y=ax2图象的对称轴为 ，顶点坐标为 ． 3．二次函数y=2x2，与y=－2x2的图象形状相同，对称轴都是 轴，顶点都是 ，只是 不同，它们的图象关于 对称． 4．二次函数y=ax2中，a不仅可以决定开口方向，也决定 ． 学习过程:

一、动手操作、自主探究 1、阅读P26页“实验与探究”，并完成课本上的问题

2、总结并完成P27页“交流与发现”中的四个问题，完成课本中的填

《二次函数y=ax2的图象和性质》教学

设计

一、教学目标

1．了解二次函数的图象是一条抛物线；会画二次函数y =ax 2的图象． 2．掌握二次函数y =ax 2的性质，并会灵活应用．

二、教学重点及难点

重点：

1．探索二次函数2

ax y =的性质；

2．能运用二次函数2ax y =的图象和性质解决简单的实际问题． 难点：

1．用描点法画出二次函数y =ax 2的图象；

2．探索二次函数y =ax 2的性质． 三、教学用具

多媒体课件，三角板或直尺。

四、相关资源

《一次函数图象与性质研究过程》动画，《函数y =x 2的图象画法》动画，《函数y =0.5x 2，y =2x 2的图象》图片，《函数222122

y x y x y x =-=-=-，，的图象》图片。 五、教学过程

【温故知新】

1．同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的？

师生活动：教师用多媒体出示问题，学生集体回答．

小结：先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质．

2．我们能否类比研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质呢？如果可以，应先研究什么？

师生活动：学生独立思考，回答问题．教师重点关注：学生能否联想到研究一次函数性质的方法——从特殊到一般的，分类的思想．

小结：可以用研究一

二次函数的图像和性质

数 学

二次函数的定义

形如 y= __________________( 其中 a, b , c是常数 ，a≠0)的函数，叫做二次函数.

二次函数的图象及性质 1.图象：二次函数的图象是________. 2.抛物线的开口与最值：当a>0时，抛物线的开口向________,顶点 的纵坐标是函数的________值；当a<0时，抛物线的开口向 ________, 顶点的纵坐标是函数的________值. 3.性质：当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而________,在对 称轴的右侧，y随x的增大而________;当a<0时，在对称轴的左侧，y 随x的增大而________,在对称轴的右侧，y随x的增大而________. 4.抛物线y=a(x-h)2+k是由抛物线y=ax2通过平移得到的，平移后的 顶点坐标为(h,k).

二次函数的解析式

1.一般式：y=________. 2.顶点式：y=________. 3.交点式：y=________.

二次函数与一元二次方程

b2-4ac>0 抛物线与x轴有________个交点； b2-4ac=0 抛物线与x轴有且只有________公 共点；

数学组宫平

教学目标: 教学目标 1 会用描点法画出二次函数 的图像 开口方向,对称轴 顶点坐标 开口方向 对称轴,顶点坐标 对称轴 3 培养学生经历由具体到一般的探索事物的 规律的过程

y = a( x h) + k2

y = a ( x h) 2 + k 的 2 会说出二次函数图像

复习归纳:完成下列两表 复习归纳 完成下列两表 填表

抛物线

开口方向 对称轴 顶点坐标2

y = 0.5x2

开口向下 开口向下 开口向下

直线X=0 直线

(0,0) (0,1) (0,-1)

y = 0.5x +1

直线X=0 直线

y = 0.5x 12

直线X=0 直线

填表: 填表

抛物线

开口方向 对称轴直线X=0 直线

顶点坐 标(0, 0) (1, 0)

y = 2x

2

开口向上2

y = 2(x 1)

直线X=1 开口向上 直线2

y = 2( x + 1)

直线X=-1 开口向上 直线

(-1, 0)

新课讲授: 新课讲授操作题1:在同一坐标系内 画出函数 操作题 在同一坐标系内,画出函数 在同一坐标系内

1 2 y = x 1 2

1 2 y = ( x + 1) 1 2

1 2 y= x 2的图像. 的图像

指导:(1) 列表时 要合理取值 首先考虑对称性 其次尽量取整 列表时,要合

数学来源于生活

奥运赛场腾空的篮球

运动场上飞舞的跳绳

节日里的喷泉

26.1.1 二次函数(1)

y=kx+b (k≠0)

变 量 之 间 的 关 系

一次函数

正比例函数

y=kx (k≠0) 函 数反比例函数

y= (k≠0)

k x

二次函数

游戏准备如图，正方形的棱长为x, 它的表面积y可以表2 y=6x 示为

问题2:某工厂一种产品现在的年产量是20万件， 计划今后两年增加产量。如果每年比上一 年产量的增长率都为x ,那么两年后这种 产品的产量为y万件，请表示y与x之间的 关系。 2

y = 20 ( 1+ x)y = 20x2+

即：

40x + 20

问题3:多边形的对角线数d与边数n有什么关系？由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点, 从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作

(n-3)条对角线

d =

1 2

n(n - 3 )

M

N

1 3 2 即 d= n - n 2 2

观察思考：以上问题中的各式有什么共同点?2 y=6x

1 d= 2

3 2 n -

2

n

y = 20x2 + 40x + 20

归纳总结：概念：一般地，形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做二次函数。其中x是自变量。 ax² 叫做二次

1，（2011山东滨州，7，3分）抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）

A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 【答案】B

【思路分析】y＝(x＋2)2－3的顶点为(－2，－3)，抛物线y＝x2的顶点为(0，0)，所以平移的过程是先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．

【方法规律】确定抛物线的顶点，顶点平移的方向和距离就是抛物线平移的方向和距离．口诀：“左加右减，上加下减”．

【易错点分析】易于平移的规律混淆出现错误． 【关键词】抛物线的平移 【推荐指数】★☆☆☆☆ 【题型】常规题，易错题

2．（2011山东济宁，8，3分）已知二次函数y?ax2?bx?c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：

x y …… …… 0 4 1 1 2 0 3 1 4 4 …… …… 点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1?x1?2，3?x2?4时，y1与y2的大小关系正确的是（ ）

A．y1?y2 B．y1?y2

§6.2 二次函数的图象和性质（6）----[ 教案]

备课时间: 主备人:

教学目标：

1．能根据实际问题列出函数关系式、

2．使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围。

3．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。

重点难点：

根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围，既是教学的重点又是难点。

教学过程：

一、复习旧知

1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

22

(1)y＝6x＋12x； (2)y＝－4x＋8x－10

2. 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少? 二、范例

有了前面所学的知识，现在我们就可以应用二次函数的知识去解决两个实际问题； 例1、要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?

例2．某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的

二次函数的图像和性质是按照感知实例—自学导学—合作交流—展示提升—巩固生成—初步应用的研究主线展开. 以教导学，以好的问题引导教学，注重概念发生发展的过程，学生亲身经历这个过程，而且在这个过程中有高质量的数学思维．面对学生的思维老师给予及时的评价。

从教材处理看，重点突出了二次函数的图象及性质的教与学，师生经历了有意义的探究活动。利用情境导学，通过合作交流的形式，较好地帮助学生突破了教学难点，抓住了这一类函数的图象变化这个关键，使问题化难为易。复习二次函数的图像时利用活动的抛物线变换不同位置和a.b.c的值联系起来，和一元二次方程根的判别式联系起来，和二次函数图像与x.y轴的交点个数和交点位置联系起来，和二次函数的顶点坐标以及对称抽联系起来，和一元二次不等式的求解及解集联系起来，和二次函数图像与x.y轴的交点及原点构成的三角形的面积等联系起来，和二次函数的图像与x.y轴的交点及顶点构成的四边形的有关知识联系起来，这种灵活的数形结合，生动形象的诠释了二次函数的图像和性质，增强了学生的学习兴趣，提高了学生对二次函数的图像和性质的灵活运用的能力，激发了学生勇于创新敢于创新的欲望，解决了学生对数学死记硬背的缺点，符合这个万众创新的时代的要求。

从教学

§6.2 二次函数的图象和性质（1）教案

备课时间: 主备人:

教学目标:

经历探索二次函数y=x的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究二次函数性质的经验．掌握利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．能够作为二次函数y=－x的图象，并比较它与y=x图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系． 教学重点:

利用描点法作出y=x的图象过程中，理解掌握二次函数y=x的性质，这是掌握二次函数y=ax＋bx＋c（a≠0）的基础，是二次函数图象、表达式及性质认识应用的开始．要注意图象的特点． 教学难点:

函数图象的画法，及由图象概括出二次函数y=x2性质，它难在由图象概括性质，结合图象记忆性质． 教学过程:

一、作二次函数y=x2的图象。 二、议一议：

1.你能描述图象的形状吗？与同伴交流。

2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？ 3.当x<0时，y随着x的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？ 4.当x取什么值时，y的值最小？

5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。 三、y=x的图象的性质：

22

2

2

2

2

2

三、例题：

【例1】求出函数y=x＋2与函数y=x的图象的交

§6.2 二次函数的图象和性质（6）----[ 教案]

备课时间: 主备人:

教学目标：

1．能根据实际问题列出函数关系式、

2．使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围。

3．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。

重点难点：

根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围，既是教学的重点又是难点。

教学过程：

一、复习旧知

1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

22

(1)y＝6x＋12x； (2)y＝－4x＋8x－10

2. 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少? 二、范例

有了前面所学的知识，现在我们就可以应用二次函数的知识去解决两个实际问题； 例1、要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?

例2．某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的