北邮版概率论答案第一章

第一章 概率论基础 第一

事件与样本空间

一 两类现象

1、确定性现象：在一定条件下，必然发生的现象。 2、随机现象：统计规律。 二 随机试验

1、重复性 2、确定性 3、随机性 三 样本空间

?={试验的所有可能结果} 样本点 ω

例1：从编号为1，2，3的球中，有放回地取两次，每次一只，考虑顺序，观察所取到的球。

解：?={11,12,13,21,22,23,31,32,33} 事件A：全有1号球 则 A ={11,12,13,21,31} 四 随机事件

定义：试验的某种结果称为随机事件，简称为事件。 一般用A,B,C表示。

注：1、随机事件通常是样本空间的子集。

2、事件的表示方法：①集合②文字叙述

3、一次试验的结果属于事件A，则称事件A在这次试验中发生。 4、基本事件 {ω} 不可能事件? 必然事件A=? 五 事件的关系与运算

设A,B是?的两个事件

1、包含：A?B 若事件A发生必然导致事件B发生。

2、相等：A=B

3、事件的并：A?B 事件A与B至少有一个发生。 4、事件的交：A?B或AB 事件A与B同时发生。

5、事件的差：A-B=A-(A?B) 事件

第一章 概率论基础 第一

事件与样本空间

一 两类现象

1、确定性现象：在一定条件下，必然发生的现象。 2、随机现象：统计规律。 二 随机试验

1、重复性 2、确定性 3、随机性 三 样本空间

?={试验的所有可能结果} 样本点 ω

例1：从编号为1，2，3的球中，有放回地取两次，每次一只，考虑顺序，观察所取到的球。

解：?={11,12,13,21,22,23,31,32,33} 事件A：全有1号球 则 A ={11,12,13,21,31} 四 随机事件

定义：试验的某种结果称为随机事件，简称为事件。 一般用A,B,C表示。

注：1、随机事件通常是样本空间的子集。

2、事件的表示方法：①集合②文字叙述

3、一次试验的结果属于事件A，则称事件A在这次试验中发生。 4、基本事件 {ω} 不可能事件? 必然事件A=? 五 事件的关系与运算

设A,B是?的两个事件

1、包含：A?B 若事件A发生必然导致事件B发生。

2、相等：A=B

3、事件的并：A?B 事件A与B至少有一个发生。 4、事件的交：A?B或AB 事件A与B同时发生。

5、事件的差：A-B=A-(A?B) 事件

习题一

（A） 1. 写出下列事件的样本空间：

(1)把一枚硬币连续抛掷两次； (2)掷两颗骰子；

(3)连续抛一枚硬币，直至出现正面为止； (4)在某十字路口，一小时内通过的机动车辆数； (5)某城市一天内的用电量．

解 (1)?1?{(H,H),(H,T),(T,T)}，其中H表示正面，T表示反面． (2)

?2?{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),

(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

(3)?3?{(H),(T,H),(T,T,H),(T,T,T,H),?}

 (4)?4?{0,1,2,?}  (5)?5?{t,t?0}

2.A,B,C为三个事件，试将下列事件用A,B,C表示出来： (1)仅A发生；(2)均发生；(3)均

第一章习题

1、选择题

※000、设事件A,B为互不相容事件，且P(A)>0,P(B)>0，则下列结论一定成立的有

()

(A)、A,B 为对立事件； (B)、A,B互不相容；

(C)、A,B不独立； (D)、A,B相互独立。

※001、若事件A,B同时出现的概率为P(AB)=0，则()

(A)、A,B 不相容； (B)、AB是不可能事件；

(C)、AB=f未必成立； (D)、P(A)>0或P(B)>0。

※002、某射手向同一目标独立的射击5枪，若每次击中靶的概率为0.6，则恰有两枪脱靶

的概率是()

(A)、0.62′0.43 ； (B)、0.63′0.42；

(C)、C520.62′0.43； (D)、C520.63′0.42。

※003、进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在两次成功之前已经失败了

3次的概率为( (A)、4p?(123)

p) ； (B)、4p(1-p)；

563(C)

习题八

2

1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.108).现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为

4.28 4.40 4.42 4.35 4.37

问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（?=0.05）? 【解】

H0:???0?4.55;H1:???0?4.55.n?5,??0.05,Z?/2?Z0.025?1.96,??0.108x?4.364,Z?x??0

?(4.364?4.55)0.108?5??3.851,?/nZ?Z0.025.所以拒绝H0，认为总体平均值有显著性变化.

2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：

3.24 3.26 3.24 3.27 3.25

设含镍量服从正态分布，问在?=0.01下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为3.25. 【解】设

H0:???0?3.25;H1:???0?3.25.n?5,??0.01,t?/2(n?1)?t0.005(4)?4.6041x?3.252,s?0.013,t?x??0s/n?(3.252?3.25)0.013?5?0.344,

t?t0.005(4).所以接受H0，认为这批矿

北京邮电大学出版的概率论

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与

出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.

3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

ππ sinxsiny,0 x ,0 y

F（x，y）= 22

其他. 0,

求二维随机变量（X，Y）在长方形域 0 x 【解】如图P{0 X

πππ

, y 内的概率. 463

πππ

, Y 公式(3.2) 463

ππππππF(,) F(,) F(0,) F(0,) 434636

北京邮电大学出版的概率论

sinπ4 sinπ3 sinπ4 sinπ6 sin0 sinπ3 sin0

sin

π6

4

1).

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度

Ae (3x 4y)f（x，y）= ,x 0,y 0,

0,

其他.

求：（1） 常数A；

（2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1） 由

f(x,y)dxdy

-(3x

概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号

第一章 随机事件及其概率（一）

一．选择题

1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A）不可能事件 （B）必然事件 （C）随机事件 （D）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A）A1?{抽到的三个产品全是合格品} A2?{抽到的三个产品全是废品}

（B）B1?{抽到的三个产品全是合格品} B2?{抽到的三个产品中至少有一个废品} （C）C1?{抽到的三个产品中合格品不少于2个} C2?{抽到的三个产品中废品不多于2个} （D）D1?{抽到的三个产品中有2个合格品} D2?{抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A?B不等价的是

《概率论》计算与证明题 32

第一章 事件与概率

1、若A，B，C是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)ABC?A；(2)A?B?C?A；(3)AB?C；

(4)A?BC.

2、试把A1?A2???An表示成n个两两互不相容事件的和．

3、若A，B，C，D是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A，B都发生而C，D都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。

123nn?14、证明下列等式：（1）Cn； ?2Cn?3Cn???nCn?n2123n?1n?2Cn?3Cn???(?1)nCn?0； （2）Cna?r?r（3）?Cak?rCbk?Caa?. bk?05、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。

6、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；

《概率论》计算与证明题 32

第一章 事件与概率

1、若A，B，C是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)ABC?A；(2)A?B?C?A；(3)AB?C；

(4)A?BC.

2、试把A1?A2???An表示成n个两两互不相容事件的和．

3、若A，B，C，D是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A，B都发生而C，D都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。

123nn?14、证明下列等式：（1）Cn； ?2Cn?3Cn???nCn?n2123n?1n?2Cn?3Cn???(?1)nCn?0； （2）Cna?r?r（3）?Cak?rCbk?Caa?. bk?05、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。

6、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；

1. 写出下列随机试验的样本空间：

1) 记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）；

2) 一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时

取出3个球；

3) 某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；

4) 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.

解：1）设小班共有n个学生，每个学生的成绩为0到100的整数，分别记为x1,x２， xn，则全班平均分为x xi 1ni

n，于是样本空间为

12100niS {0,,, ,}={|i 0,1,2,3, 100n} nnnn

32）所有的组合数共有C5 10种，

S {123,124,125,134,135,145,234,235,245,345}

3）至少射击一次，S {1,2,3, }

4）单位圆中的坐标(x,y)满足x2 y2 1，S {(x,y)|x2 y2 1}

2. 已知A B，P(A) 0.3，P(B) 0.5，求P(A)，P(AB)，P(AB)和P(AB). 解 P(A) 1 P(A) 1 0.3 0.7 P(AB) P(A) 0.3（因为A B）

P(AB) P(B A) P(B) P(A) 0.2

P(AB) P(B) 0.5（因为A B，则B A）

3. 设有