数形结合在中学数学解题中的应用论文

数形结合在中学数学解题中的应用

（湖北师范学院数学与统计学院，湖北 黄石 435002）

1.引言

数形结合思想方法是数学知识的本质之一、基础之一，也是重点之一，它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略。所谓数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系，通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，并且解法简便。

在国内，我国数学方法论的倡导者、数学家徐利治陆续发表了《浅谈数学方法论》、《数学方法论宣讲》等论著，并提出了很多创新性的观点，在数学界中引起了强烈的共鸣；在国外，日本著名数学家、教育家米山国藏发表了《数学的精神、思想与方法》，系统论述了贯穿于整个数学的数学精神、重要数学思想与若干有效的数学方法。纵观国内外数学思想方法方面研究的现状，可以看出，虽然很多数学专家对于数学思想方法的含义及教学有过很深层次的探讨，且有了较为明显的成效，但在新课程改革不断发展的今天，这方面的研究工作还有待于

数形结合在中学数学解题中的应用

沭阳县华冲中学 223600 闫 安

【摘 要】本文给出了数形结合在中学数学解题中的应用，具体包括在方程、不等式、函数、解析几何、向量等问题中的应用. 通过上述问题的探讨与研究，得出在一定条件下利用数形结合解题能起到事半功倍的效果.

【关键词】数形结合 方程 不等式 函数 解析几何 向量

一、前言

恩格斯说“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”.[1] 数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系在人的意识中的反映，经过思维活动而产生的结果，它是对数学知识与数学理论的本质认识.

在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这类思想可以称之为基本数学思想.数形结合思想就是其中的一类重要形式.下面对数形结合思想在数学解题中的应用谈谈一些自己的看法. 数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合.这样可使复杂的问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题的目的.数形结合有两种基本形式，一是“数”的问题转化为“形”的性质去解决，它往往具有直观性，易于理解与接受的优点.数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解方程

数形结合在初中数学解题中的应用

摘要：数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,因而数学研究总是围绕着数与形进行的. 数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化. 关键词：数学，数，形，数形结合

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,因而数学研究总是围绕着数与形进行的. 数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题.数学思想方法是数学的灵魂和精髓，是知识转化为能力的桥梁，是解题过程中劈山开路、披荆斩棘的宝剑，是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于知识的发生、发展和应用的过程中.

初中数学新课程《标准》中，安排了“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合”四个

数形结合思想在解题中的应用

摘 要

数形结合思想简而言之就是把数学中的“数”与数学中的“形”结合起来解决数学问题的一种数学思想.数形结合具体地说就是将抽象语言与直观图形结合起来,使抽象思维与形象思维结合起来,通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题.

数形结合思想是一种非常重要的数学解题方法,是数学学习普遍适用的方法,把知识的学习、能力的提升和智力的发展有效结合.应用“数形结合”的方法,将问题转化,不仅能简化计算过程,而且使解题的思路也变得非常明确清晰,让人一目了然.因此,将这种方法运用于中学数学的学习及教学,可大大提高其效率.本文在概述数形结合思想的基础上,分析了数形结合思想在中学数学解题中的应用,主要体现在数轴问题、不等式问题、最值问题、方程根的存在性问题、求极值问题和线性规划问题等,并针对解决不同类型的题目给出详细的例题分析,然后给出了在培养学生在利用数形结合时需要注意的几个问题,最后,通过调查研究数形结合的教学现状得出结论和教学启示,以提高学生运用数形结合思想解题的能力.

关键词：以形助数;以数解形;数形结合;应用

The combination of number and shape in the problem

毕 业 论 文

数形结合在解题中的应用

系 别 数 学 系 专 业 数学教育 班 级 11级数学教育（4）班 学 号 110202198 姓 名 吴 伟 指导教师 张 娟

2014年 5月12日

目 录

摘要 ..................................................... 1 一、 绪 论 ............................................. 2 1.1 本文研究的目的及意义 ............................ 2 1.2 方程问题 ........................................ 3 二、数形结合思想方法概述 ................................. 3 2.1 数形结合的思想方法 ................

数形结合在解题中的应用

目录

第一章 引言 ................................................................. 2 第二章 数形结合在解题中的应用 ............................................... 3

2.1 数形结合在集合中的应用 .............................................. 3

2.1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 ............................ 3 2.1.2 利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题 .................... 3 2.2 数形结合在解析几何中的应用 .......................................... 4

2.2.1 与斜率有关的问题 .............................................. 5 2.2.2 与距离有关的问题 .............................................. 5 2.2

河北师范大学本科生毕业论文

本科生毕业论文设计

浅谈数形结合在中学教学中的应用

作者姓名: XXX 指导教师: XXX

所在学院: 数学与信息科学学院 专业(系): 数学与应用数学 班级(届): 2010届数学B班

二〇一四年 月 日

河北师范大学本科生毕业论文

目录

中文摘要、关键词 ··················· 错误！未定义书签。 绪言 ·································· 2 1数形结合思想 ····························· 2 1.1数形结合思想的概述 ························ 2 1.2数形结合思想的发展 ························ 3 2数形结合思想在高中教学中的应用 ···················· 4 2.1数形结合的思想在集合问题中的应用 ················· 4 2.2数形结合的思想在不等式问题中的应用 ················ 5 2.3数形结合思想在有关方程和函数的问题中的应用 ············ 6 2.4数形结合在数列问题中的应用

河北师范大学本科生毕业论文

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浅谈数形结合在中学教学中的应用

作者姓名: XXX 指导教师: XXX

所在学院: 数学与信息科学学院 专业(系): 数学与应用数学 班级(届): 2010届数学B班

二〇一四年 月 日

河北师范大学本科生毕业论文

目录

中文摘要、关键词 ··················· 错误！未定义书签。 绪言 ·································· 2 1数形结合思想 ····························· 2 1.1数形结合思想的概述 ························ 2 1.2数形结合思想的发展 ························ 3 2数形结合思想在高中教学中的应用 ···················· 4 2.1数形结合的思想在集合问题中的应用 ················· 4 2.2数形结合的思想在不等式问题中的应用 ················ 5 2.3数形结合思想在有关方程和函数的问题中的应用 ············ 6 2.4数形结合在数列问题中的应用

共19页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第1页

数形结合思想在解题中的应用

陈勇

河南理工大学数学与信息科学学院数学与应用数学专业2009级2班

摘要：数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法,用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质。所谓数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数含义,又揭示其几何直观,使数量关系与空间形式和谐结合在一起的方法。它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。数与形是中学数学研究的两类基本对象,既相互独立,又互相渗透。尤其在坐标系建立以后数与形的结合更加紧密,而且在数学应用中若就数而论缺乏直观性,若就形论缺乏严密性,当二者结合往往可优势互补,收到事半功倍的效果。本文试从函数图像和几何图形两个方面,举例说明“以形助数”在解决数学问题中的一些妙用。

关键词：数学思想；数形结合；以形助数；以数辅形

[1]

§1 引言

1.1数形结合思想的背景

早在数学萌芽时期,人们在度量长度、面积和体积的过程中,就把数和形联系起来了。我国宋元时期,系统地引进了几何问题代数化的方法,用代数

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..

中学数学数形结合论

摘要：中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但

数与形有联系，这个联系常称之为数形结合，或形数结合．因此，中学数学的基本知识也可以相应地分做三大类，一类是关于纯粹数的知识，一类是关于纯粹形的知识，一类是关于数形结合的知识．实数、代数式、方程(组)、不等式(组)、函数等是关于数的知识，平面几何和立体几何是关于形的知识，数形结合的知识是哪些呢？我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系．例如，表示实数与直线上的点之间所具有的一一对应关系的数轴、表示有序实数与平面上的点之间所具有的一一对应关系的平面坐标系、表示复数与平面上的点之间或复数与平面上以某定点为始点的向量之间所具有的一一对应关系的复平面．建立在这些对应关系上的数学知识有函数的图象以及曲线与方程作为研究对象的解析几何等．有一些关于数的知识，其自身就是借助于形来表述的，也可以算做数形的结合，如锐角三角函数是借助于直角三角形来定义的，任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的．以上所述是把数形结合作为一类数学基本知识来考虑的，但是，数形结合也可看作是一种数学思想方法．事实上，数学方法总是一定数学知识的内容的反映．

关键词：数形结合、线段