线性代数第一章知识点总结

1. 二阶行列式--------对角线法则 :

2. 三阶行列式 ①对角线法则

②按行（列）展开法则

3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。 所有排列的种数用 表示， = n ！

逆序数：对于排列

…

，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。

整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。

奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.

4.

其中： 是1,2,3的一个排列，

t(

)是排列

的逆序数

5. 下三角行列式:

副三角跟副对角相识

对角行列式：

副对角行列式：

6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D =

②互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。 互换两行：

③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面

④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0

⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于

矩阵理论第一章 线性代数相关知识

矩阵理论成都信息工程学院 李胜坤

矩阵理论第一章 线性代数相关知识

第一章

线性代数相关知识

线性空间的定义与例子定义 如果数集 P 中任意两个数作某一运算后的结果仍在 对这个运算是封闭的。对加， P 中，我们就称数集 P 对这个运算是封闭的。对加，减， 乘，除四则运算封闭的数集 称为数域。 称为数域。 P

定义 是一个非空的集合, 是一个数域， 设 V 是一个非空的集合 P 是一个数域， 中定义两种代数运算, 一种是加法运算, 在集合 V 中定义两种代数运算 一种是加法运算 另一种是数乘运算, 并且这两种运算满足下列八 另一种是数乘运算 并且这两种运算满足下列八 条运算律： 条运算律： α + β = β +α (1) 加法交换律 ) (2) 加法结合律 )

(α + β ) + γ = α + ( β + γ )

矩阵理论第一章 线性代数相关知识

(3) 零元素 ) 在 V 中存在一个元素 0 ,使得对 于任意的 α ∈ V 都有

α +0 =α(4) 负元素 ) 对于 V 中的任意元素 α 都存 在一个元素 β 使得

α+β =0

负元素. 则称β 是 α 的 负元素 (5) 数 1 )

1α = α

矩阵理论第一章 线性代数相关

1. 二阶行列式--------对角线法则 :

2. 三阶行列式 ①对角线法则

②按行（列）展开法则

3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。 所有排列的种数用 表示， = n ！

逆序数：对于排列

…

，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。

整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。

奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.

4.

其中： 是1,2,3的一个排列，

t(

)是排列

的逆序数

5. 下三角行列式:

副三角跟副对角相识

对角行列式：

副对角行列式：

6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D =

②互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。 互换两行：

③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面

④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0

⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于

上海交通大学出版

（一）

1，（1）

69

6 12 8 9 0

812

cos(x)sin(x)

cos(x) cos(x) ( sin(x) sin(x)) 1

sin(x)cos(x)

（2）

x 11223222

(x 1) (x x 1) x x x x x x 1 x

（3）x2 x2 x 1

x3 x2 1123

（4）

312 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 1 3 3 2 1 1 3 2

231

1 8 27 6 6 6 18

也可化简为上三矩阵角或者按某一行（列）展开。

ab

（5）b

c

cx

（6） 1

ca abc abc abc c3 a3 b3 3abc a3 b3 c3 ab34

x0 x2 4x 3 x1

2，（1） 1726354 0 5 0 3 0 1＝9,为奇排列.例如和式的第二项5表示与排列

中第二项7构成逆序的数，也就是7后面比7小的数的个数。 （2） 985467321 8 7 4 3 3 3 2 1＝31，为奇排列. （3）

2n 1 2n 1 531 n n 1 2 1

n n 1

当n 4k 1,4k 2时2

为奇排列，否则为偶排列。

22

3，在a1,a2, ,an共有Cn个数对，逆序数为s，故顺序数为Cn

习题1.1

1、写出下列随机试验的样本空间.

（1）生产产品直到有4件正品为正，记录生产产品的总件数.

（2）在单位园中任取一点记录其坐标.

（3）同时掷三颗骰子，记录出现的点数之和. 解：（1）??{4,5,6,7,8?} （2）??{(x.y)x?y?1} （3）??{3,4,5,6,7,8,9,10,?,18}

2、同时掷两颗骰子，

1

22x、y分别表示第一、二

两颗骰子出现的点数，设事件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，B表示“点数之差为零”，C表示“点数之积不超过20”，用样本的集合表示事件B?A，BC，B?C.

解：

B?A?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6)}

3、设某人向靶子射击3次，用Ai表示“第i次射击击中靶子”（i?1,2,3），试

B?C?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6),(4.6),(6.4),(5.6),(6.5)}

2

BC?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4)}

用语言描述下列事件.

A?A2 （1）1(A?A)A123 （2）

（3）A1A2?A1A2 解：（1）第1，2次都没有中靶

（2）第三次中靶且

第1，2中

《线性代数》第一章习题解答

1．解：(1)31542的逆序数=2+0+2+1=5

(2)264315的逆序数=1+4+2+1+0=8 (3)54321的逆序数=4+3+2+1=10

(4)246?(2n?2)(2n)135?(2n?3)(2n?1)=1+2+3+?(2n－1)＝

2．解：四阶行列式中含有a31的项可表示为(?1)其中j1,j2,j4为2，3，4的全排列。

故带有负号的项有：?a12a24a31a43，?a13a22a31a44，?a14a23a31a42

?(j1j21j4)n(n?1) 2a1j1a2j2a31a4j4，

x21x13x2443．解：展开式中含有x的项必须每行都取含x的项相乘，

5x6x1743x即?x?3x?6x?x?18x，

含有x的项为(?1)?(4231)x?3x?6x?7?(?1)?(1324)x?2?x?x??128x

334

关于“如何做线性代数习题”的一些说明：每个人都有自己的一套学习方法，并经

过不断借鉴他人优点、总结自我经验，不断完善学习方法。做习题是学习方法中一部分。

现介绍一种简单的习题解答方法：拿到习题后不要立即动手，应当先观察，看题目考你的是哪个知识点；再思考，初步猜测要用哪些方法（所

习题1.1

1、写出下列随机试验的样本空间.

（1）生产产品直到有4件正品为正，记录生产产品的总件数.

（2）在单位园中任取一点记录其坐标.

（3）同时掷三颗骰子，记录出现的点数之和. 解：（1）??{4,5,6,7,8?} （2）??{(x.y)x?y?1} （3）??{3,4,5,6,7,8,9,10,?,18}

2、同时掷两颗骰子，

1

22x、y分别表示第一、二

两颗骰子出现的点数，设事件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，B表示“点数之差为零”，C表示“点数之积不超过20”，用样本的集合表示事件B?A，BC，B?C.

解：

B?A?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6)}

3、设某人向靶子射击3次，用Ai表示“第i次射击击中靶子”（i?1,2,3），试

B?C?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6),(4.6),(6.4),(5.6),(6.5)}

2

BC?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4)}

用语言描述下列事件.

A?A2 （1）1(A?A)A123 （2）

（3）A1A2?A1A2 解：（1）第1，2次都没有中靶

（2）第三次中靶且

第1，2中

第一章测试题

一、填空题(每小题4分，共40分)

1. Dn a ij a , D a ij

2. xx是 x 3 2,x3 px q 0 的三个根，则行列式：, 1,xx

12x3

xx

31x2 x2x3x1 00L010 00L200

MMNMMM

3、行列式 D

01997L000 0L000 0

0L001

a1

00b1ab

c 4. 0

a2b20

5. Dcbd

0b 4

3a30d

bc

b4

a4

abd

A14 A24 A34 A44

6、在五阶行列式中，a12a53a41a24a35 的符号为：

2 x 1 1

7 .

f x x x x x 3

的系数是： 12x abcd

8. ba dc

cda b

d cba

ab09、若a、b均为实数，则当a= ,b= ,时， ba

0 0

10 1

一、 计算下列行列式

1

1231x

yyLy3

1 122z

xyLy1 . D5

23 1 102. Dn z

zxL

y

12301MMMOM 2

2

1

1

z

z

zLx

daa,c

三、解答题

1、y、u取何值时，齐次方程组有非零解

习题1.1

1、写出下列随机试验的样本空间.

（1）生产产品直到有4件正品为正，记录生产产品的总件数.

（2）在单位园中任取一点记录其坐标.

（3）同时掷三颗骰子，记录出现的点数之和. 解：（1）??{4,5,6,7,8?} （2）??{(x.y)x?y?1} （3）??{3,4,5,6,7,8,9,10,?,18}

2、同时掷两颗骰子，

1

22x、y分别表示第一、二

两颗骰子出现的点数，设事件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，B表示“点数之差为零”，C表示“点数之积不超过20”，用样本的集合表示事件B?A，BC，B?C.

解：

B?A?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6)}

3、设某人向靶子射击3次，用Ai表示“第i次射击击中靶子”（i?1,2,3），试

B?C?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6),(4.6),(6.4),(5.6),(6.5)}

2

BC?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4)}

用语言描述下列事件.

A?A2 （1）1(A?A)A123 （2）

（3）A1A2?A1A2 解：（1）第1，2次都没有中靶

（2）第三次中靶且

第1，2中

第一章 行列式

一 填空题

1. n阶行列式aij的展开式中含有a11的项数为 （n-1）！ ?1?2?n(n?1)22.行列式

?na110? (?1)?1?2??n

a12a2200a13a23a330a14a24a34的值a443. 行列式00a11a22a33a44

4.在n阶行列式A=|aij|中,若i?j时, aij=0(i,j=1,2,…,n),则A=解: A其实为下三角形行列式. 5. 排列134782695的逆序数为 10 . 解：0+0+0+0+0+4+2+0+4=10

6. 已知排列1274i56j9为偶排列，则(i,j)? (8,3) . 解：127435689的逆序数为5，127485639的逆序数为10

a11a22?ann

7. 四阶行列式中带有负号且包含a12和a21的项为 -a12a21a33a44 . 解：四阶行列式中包含a12和a21的项只有-a12a21a33a44和a12a21a43a34

2x112?1x中,x3的系数为 -2 x8.在函数f(x)??x?x解: 行列式展开式中只有对角线展